[obm-l] Re: [obm-l] Série de Taylor

[Pedro Angelo]

Acho que dá pra provar, usando geometria do círculo, que o sen(x)/x
tende a 1 quando x tende a 0, o que é o mesmo que dizer que
sen(x)=0+x+o(x), onde o(x)/x tende a 0 quando x tende a 0, o que é o
mesmo que dizer que sen(0)=0 e sen'(0)=1, o que é um bom primeiro
passo.

Obs: Ok não querer usar derivadas, mas, falando de uma série infinita,
acho que você tem que estar disposto no mínimo a usar limites

abraços

2015-08-04 20:36 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
:
> Alguém conhece alguma demonstração da série de Taylor do seno sem usar
> derivadas?Ou conhece algum livro ou competição matemática que pede para se
> provar a série de Taylor do seno sem usar derivadas?A propósito, quem foi o
> primeiro matemático a encontrar a série de Taylor do seno, ele usou
> derivadas?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] Série de Taylor

[Ralph Teixeira]

Oi, João.

Bom, você já deve ter feito:

a) sin(x^2)=SUM (-1)^n.x^(4n+2))/(2n+1)! = x^2 -x^6/3! +x^10/5!
-x^14/7!... para todo x real (o somatório começa em n=0)
b) Podemos integrar séries de Potência termo-a-termo, então
Int (0 a x) sin(u^2) du = SUM (-1)^n.x^(4n+3)/[(4n+3).(2n+1)!] = x^3/3
- x^7/(7.3!) +x^11/(11.5!) - x^15/(15.7!) para todo x real
c) Botando x=1, vem que a integral pedida é
A= SUM (-1)^n.x^(4n+3)/[(4n+3).(2n+1)!] = 1/3 - 1/(7.3!) +1/(11.5!)
-1/(15.7!) +...

Agora:
d) Isto é uma série alternada! Se os termos da série forem
decrescentes em módulo (que é o caso aqui) e forem para 0 (idem), dá
para ver que, quando você trunca a série, a diferença entre a série
truncada e a série completa é, em módulo, NO MÁXIMO, o primeiro termo
descartado! Como 15.7! = 75600 > 1, você pode parar no terceiro
termo. Ou seja, a resposta é 1/3-1/42+1/1320 com erro menor que
1/75600.

Abraço, Ralph

P.S.: Para provar o que eu falei sobre a série alternada: suponha a
série é alternada, com termos decrescentes em módulo indo para 0,
(s.p.d.g, suponha que o primeiro termo é positivo). Sendo s1, s2, ...
,sn as somas parciais, e L o limite da série, é fácil ver que
0:
> Alguém pode me ajudar na seguinte questão?
>
> Ache uma aproximação para Integral (0 10^(-4)
>
> Eu achei a expansão de Taylor dessa integral, mas não consegui achar (e
> provar) um erro que fosse menor que 10^(-4)
> Tem como alguém me dar uma ajuda?
>
> []'s
> Joao
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