[obm-l] Re: [obm-l] Ternos pitagóricos - uma propriedade
Olá, Pedro, Quando elevamos um número ao quadrado, temos a seguinte tabela mod4: (x, x^2) (0, 0) (1, 1) (2, 0) (3, 1) Vamos analisar a expressão módulo 4. Assim: a^2 + b^2 == c^2 (mod 4) Temos apenas 3 possibilidades para (a^2, b^2): 1. (0, 0) => c^2 = 0 2. (0, 1) => c^2 = 1 3. (1, 0) => c^2 = 1 4. (1, 1) => c^2 = 2 (impossível) Logo, a^2 ou b^2 sempre são côngruos a 0 (mod4). Isso implica que a ou b são sempre côngruos a 0 ou 2 (mod 4). *Caso 1:* Suponha que nem a nem b são múltiplos de 4. Assim, a == b == 2 (mod 4). Assim, a^2 + b^2 = c^2 == 0 (mod4). Assim, c == 0 ou c == 2 (mod4). Se c == 0(mod4), então c^2 == 0(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. Se c == 2(mod4), então c^2 == 4(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. Logo, ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. *Caso 2:* Suponha que a==2(mod4). Temos que b = 2k+1. Assim: a^2 + b^2 = c^2 == 1(mod4) (4u+2)^2 + (2k+1)^2 = (4v+1)^2 16u^2 + 16u + 4 + 4k^2 + 4k + 1 = 16v^2 + 8v + 1 Analisando mod8, temos: 4 + 4k^2 + 4k + 1 == 1 (mod 8) 4 + 4k^2 + 4k == 0 (mod 8) Dividindo por 4, temos: 1 + k^2 + k == 0 (mod2) 1 + 2k == 0(mod2) 1 == 0(mod2). Absurdo. Logo, a tem que ser múltiplo de 4. *Caso 3:* Análogo ao caso 2, apenas trocando o a com o b. Assim, concluímos que ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. Abraços, Salhab 2015-05-25 19:04 GMT-03:00 Pedro Chaves : > Caros colegas, > > Seja (a, b, c)um terno pitagórico, quer dizer: a, b e c são inteiros > positivos e a^2 + b^2 = c^2. > Como provar que a ou b é múltiplo de 4? > > Abraços! > Pedro Chaves > _ > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ternos pitagóricos - uma propriedade
Bom dia! No caminho a seguir são apresentados todos os ternos pitagóricos primitivos, ou seja, quando mdc(x,y,z) =1, http://arquivoescolar.org/bitstream/arquivo-e/42/1/tnumeros.pdf Seja (x,y,z) um terno pitagórico primitivo. Então z é ímpar e x e y tem paridades opostas. As soluções primitivas de x^2 + y^2 = z^2, com y par são x = r^2 - s^2, y = 2rs e z = r^2 + s^2 com r > s > 0 e r,s inteiros. Como x é ímpar, r e s têm paridade oposta logo pelo menos um é par e 4 |y. Para os ternos não primitivos temos (kx, ky, kz), k inteiro e k>1 , onde (x,y,z) é um terno primitivo. Portanto atende também. As demonstrações estão no arquivo. Saudações, PJMS. Em 25 de maio de 2015 20:34, Marcelo Salhab Brogliato escreveu: > Olá, Pedro, > > Quando elevamos um número ao quadrado, temos a seguinte tabela mod4: > (x, x^2) > (0, 0) > (1, 1) > (2, 0) > (3, 1) > > Vamos analisar a expressão módulo 4. Assim: a^2 + b^2 == c^2 (mod 4) > > Temos apenas 3 possibilidades para (a^2, b^2): > 1. (0, 0) => c^2 = 0 > 2. (0, 1) => c^2 = 1 > 3. (1, 0) => c^2 = 1 > 4. (1, 1) => c^2 = 2 (impossível) > > Logo, a^2 ou b^2 sempre são côngruos a 0 (mod4). Isso implica que a ou b > são sempre côngruos a 0 ou 2 (mod 4). > > *Caso 1:* > Suponha que nem a nem b são múltiplos de 4. Assim, a == b == 2 (mod 4). > Assim, a^2 + b^2 = c^2 == 0 (mod4). Assim, c == 0 ou c == 2 (mod4). > > Se c == 0(mod4), então c^2 == 0(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). > Absurdo. > Se c == 2(mod4), então c^2 == 4(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). > Absurdo. > > Logo, ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. > > *Caso 2:* > Suponha que a==2(mod4). Temos que b = 2k+1. Assim: a^2 + b^2 = c^2 == > 1(mod4) > > (4u+2)^2 + (2k+1)^2 = (4v+1)^2 > 16u^2 + 16u + 4 + 4k^2 + 4k + 1 = 16v^2 + 8v + 1 > > Analisando mod8, temos: > 4 + 4k^2 + 4k + 1 == 1 (mod 8) > 4 + 4k^2 + 4k == 0 (mod 8) > > Dividindo por 4, temos: > 1 + k^2 + k == 0 (mod2) > 1 + 2k == 0(mod2) > 1 == 0(mod2). Absurdo. > > Logo, a tem que ser múltiplo de 4. > > *Caso 3:* > Análogo ao caso 2, apenas trocando o a com o b. > > Assim, concluímos que ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. > > Abraços, > Salhab > > 2015-05-25 19:04 GMT-03:00 Pedro Chaves : > > Caros colegas, >> >> Seja (a, b, c)um terno pitagórico, quer dizer: a, b e c são inteiros >> positivos e a^2 + b^2 = c^2. >> Como provar que a ou b é múltiplo de 4? >> >> Abraços! >> Pedro Chaves >> _ >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Ternos pitagóricos - uma propriedade
Obrigado a todos pelas resoluções fornecidas. Pode-se demonstrar ainda que a ou b é múltiplo de 3. Abraços! Pedro Chaves __ > Date: Mon, 25 May 2015 20:34:02 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Ternos pitagóricos - uma propriedade > From: msbro...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Olá, Pedro, > > Quando elevamos um número ao quadrado, temos a seguinte tabela mod4: > (x, x^2) > (0, 0) > (1, 1) > (2, 0) > (3, 1) > > Vamos analisar a expressão módulo 4. Assim: a^2 + b^2 == c^2 (mod 4) > > Temos apenas 3 possibilidades para (a^2, b^2): > 1. (0, 0) => c^2 = 0 > 2. (0, 1) => c^2 = 1 > 3. (1, 0) => c^2 = 1 > 4. (1, 1) => c^2 = 2 (impossível) > > Logo, a^2 ou b^2 sempre são côngruos a 0 (mod4). Isso implica que a ou > b são sempre côngruos a 0 ou 2 (mod 4). > > Caso 1: > Suponha que nem a nem b são múltiplos de 4. Assim, a == b == 2 (mod 4). > Assim, a^2 + b^2 = c^2 == 0 (mod4). Assim, c == 0 ou c == 2 (mod4). > > Se c == 0(mod4), então c^2 == 0(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. > Se c == 2(mod4), então c^2 == 4(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. > > Logo, ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. > > Caso 2: > Suponha que a==2(mod4). Temos que b = 2k+1. Assim: a^2 + b^2 = c^2 == 1(mod4) > > (4u+2)^2 + (2k+1)^2 = (4v+1)^2 > 16u^2 + 16u + 4 + 4k^2 + 4k + 1 = 16v^2 + 8v + 1 > > Analisando mod8, temos: > 4 + 4k^2 + 4k + 1 == 1 (mod 8) > 4 + 4k^2 + 4k == 0 (mod 8) > > Dividindo por 4, temos: > 1 + k^2 + k == 0 (mod2) > 1 + 2k == 0(mod2) > 1 == 0(mod2). Absurdo. > > Logo, a tem que ser múltiplo de 4. > > Caso 3: > Análogo ao caso 2, apenas trocando o a com o b. > > Assim, concluímos que ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. > > Abraços, > Salhab > > 2015-05-25 19:04 GMT-03:00 Pedro Chaves > mailto:brped...@hotmail.com>>: > Caros colegas, > > Seja (a, b, c)um terno pitagórico, quer dizer: a, b e c são inteiros > positivos e a^2 + b^2 = c^2. > Como provar que a ou b é múltiplo de 4? > > Abraços! > Pedro Chaves > _ > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
