[obm-l] RE: [obm-l] Variáveis complexas
Caro Tertuliano, Tudo bem ? Olha, eu acho que isso sai direto da definicao da integral de Cauchy. Seja z0 o ponto interior a curva C e z um ponto da fronteira. Vou denotar por INT_c a integral de linha ao longo da curva C. Entao, como a funcao e holomorfa, temos que f(z0) e dada por: f(z0) = (1/2pi.i) . INT_c (f(z)/(z-z0)) dz Portanto, tomando o modulo de f(zo) temos, |f(z0)| = | (1/2pi.i) . INT_c (f(z)/(z-z0)) dz | |f(zo)| = (1/2pi) |INT_c (f(z)/z-z0)dz | = (1/2pi).INT_c |f(z)/z-z0| dz . Seja k = f(z) quando z pertence a C, e o fato de que d=|z-z0| , entao, |f(z0)| = k(1/2pi) INT_c (dz/|z-z0|) = k.(1/2pi.d).INT_c dz = k.(1/2pid).L(c) onde L( c ) = INT_C dz e o comprimento da curva C. Acho que e isso. Se fiz errado alguma coisa, por favor, me corrijam. (Material sobre a Integral de Cauchy para rapida consulta: http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html ) Regards, Leandro Los Angeles, CA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Tertuliano Carneiro Sent: Wednesday, January 05, 2005 10:42 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Variáveis complexas Olá para todos! Se alguém puder me ajudar com este exercicio ficarei muito grato. Sejam f uma função holomorfa numdominio U, q contem a regiaocompacta determinada poruma curva de Jordan suave por partesC, e z um ponto interior a essa regiao. Se k é o maximo de /f/ ao longo de C e d é a distancia minima de z a C, entao /f(z)/ é menor ou igual ak[L(c)/2pi.d]^(1/n),para todo n naturalnao nulo, onde L(C) indica o comprimento da curva C. Um abraço! Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
[obm-l] RE: [obm-l] Variáveis complexas
Nao vi que tinha um expoente 1^n no meu email anterior. Acho que provei so para o caso n=1. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Tertuliano Carneiro Sent: Wednesday, January 05, 2005 10:42 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Variáveis complexas Olá para todos! Se alguém puder me ajudar com este exercicio ficarei muito grato. Sejam f uma função holomorfa numdominio U, q contem a regiaocompacta determinada poruma curva de Jordan suave por partesC, e z um ponto interior a essa regiao. Se k é o maximo de /f/ ao longo de C e d é a distancia minima de z a C, entao /f(z)/ é menor ou igual ak[L(c)/2pi.d]^(1/n),para todo n naturalnao nulo, onde L(C) indica o comprimento da curva C. Um abraço! Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
[obm-l] Re: [obm-l] Variáveis complexas
Oi Tertuliano,
1) Suponha que f(z) =! 0, para todo z em U. Considere g = 1/f. Então g tem
um máximo local, a dizer z = a, e portanto deve ser constante.
2) Vamos mostrar que f^(n+1)(z) = 0, para todo z em U. De fato, tome r
max{R, |z|}. Então pela fórmula integral de Cauchy temos:
f^(n+1)(z) = [(n+1)!/2.pi.i]int(|w|=r)(f(w)dw/(w-z)^(n+2)) =
|f^(n+1)(z)| = [(n+1)!/2.pi]int(|w|=r)(|f(w)||dw|/|w-z|^(n+2))
= [(n+1)!/2.pi](M.r^n).(2.pi.r)/(r-|z|)^(n+2)=
= M.(n+1)!.r^(n+1)/(r-|z|)^(n+2) =
= M.(n+1)!/[r(1-|z|/r)^(n+2)] - 0 qdo r - infty.
Isso garante que f^(n+1) é ltda e portanto, pelo Teorema de Liouville,
é constante. Assim, f é um polinômio de grau = n.
Abraços,
Yuri
-- Mensagem original --
Feliz ano novo para todos da lista. Gostaria que me ajudassem nesses problemas:
1) Seja f : U em C (complexos) uma funcao holomorfa, onde u é um domínio.
Suponha q exista um ponto a em U tq /f(a)/ é menor ou igual a /f(z)/ para
todo z em U. Mostre q ou f(a) = 0 ou f é uma funcao constante.
Obs.: /x/ representa a norma de x.
2) Seja f uma funcao inteira (holomorfa em todo plano complexo C) e suponha
q existem M, R positivos e n maior ou igual a 1 tq /f(z)/ é menor ou igual
a M/z/^n para /z/ maior ou igual a R. Mostre q f é um polinomio cujo grau
máximo é n.
Grato,
Tertuliano Carneiro
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Até mais,
Yuri
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