Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Celso]

Aqui vai uma solução.


Temos cinco tipos (pesos) de queijo.

Pesos dos queijos pesados aos pares: 20, 24, 30, 35, 36, 40, 41, 45 e 51.

Como C(5,2) = 10, e só aparecem nove números para os pesos dos pares de 
queijo, dois pares têm o mesmo peso.


Observemos também que dentre os nove números, quatro deles são ímpares.

Dados cinco números inteiros, temos seis possibilidades para o número 
da soma de dois deles ser ímpar:


(i) nenhum ímpar e cinco pares: nenhuma soma ímpar;

(ii) um ímpar e quatro pares: 4 somas ímpares;

(iii) dois ímpares e três pares: 6 somas ímpares;

(iv) três ímpares e dois pares: 6 somas ímpares;

(v) quatro ímpares e um par: 4 somas ímpares;

(vi) cinco ímpares e nenhum par: nenhuma soma ímpar.

Portanto, para se obter quatro somas ímpares, quatro dos pares dos 
queijos têm a mesma paridade.
Sejam x_1, x_2, x_3 e x_4 os pesos com a mesma paridade e d o peso de 
paridade diferente.


Então, d+x_1, d+x_2, d+x_3 e  d+x_4 são todos números ímpares. 
Igualando essas somas com os pesos ímpares, obtemos:


d + x_1 = 35

d + x_2 = 41

d + x_3 = 45

d + x_4 = 51

Segue que

x_1 + x_2  = 76 – 2d

x_1 + x_3  = 80 – 2d

x_1 + x_4  = 86 – 2d

x_2 + x_3  = 86 – 2d

x_2 + x_4  = 92 – 2d

x_3 + x_4  = 96 – 2d

Observando as somas x_i + x_j acima, vemos que se d é ímpar,
quatro dessas somas são da forma 4k+2 e duas da forma 4k;
se d é par, obtemos quatro somas da forma 4k e duas da forma 4k+2.
Como quatro dos pesos dos pares de queijos são da forma 4k, devemos ter 
que d é par e:


x_1 + x_2  = 76 – 2d = 20

x_1 + x_3  = 80 – 2d = 24

x_2 + x_4  = 92 – 2d = 36

x_2 + x_3  = 96 – 2d = 40

e

x_1 + x_4  = 86 – 2d = 30

x_2 + x_3  = 86 – 2d = 30


Segue que *d = 28*.

Substituindo d = 28 nas equações abaixo

d+x_1 = 35

d+x_2 = 41

d+x_3 = 45

d+x_4 = 51

obtemos os outros valores: x_1  = 7, x_2 = 13, x_3  =1 7 e x_4 = 23.



arkon escreveu:

 Pessoal, essa é cascuda, alguém pode resolver, por favor.

*O senhor Fondi é realmente um sujeito muito estranho. Certo dia, foi 
a uma casa de queijos e pediu:*


*- Quero um queijo que pese 31 kg, pois hoje estou completando 31 anos!*

*O vendedor, muito educadamente, respondeu:*

*- Sinto muito senhor, mas o maior queijo que temos não chega a 31 kg.*

*- Pois bem, quero dois queijos que juntos pesem 31 kg.*

*O vendedor, querendo satisfazer o desejo do senhor Fondi, buscou os 
cinco maiores queijos da casa. Ele sabia que todos os queijos pesavam 
um número inteiro de quilogramas. Pesou os queijos aos pares, fazendo 
todas as combinações possíveis, e encontrou os seguintes resultados 
diferentes: 20kg, 24kg, 30kg, 35kg, 36kg, 40kg, 41kg, 45kg e 51kg.*


*Assim, infelizmente, o desejo do senhor Fondi não pôde ser 
atendido.*< /p>


*Calcule o número de quilogramas do queijo mais pesado.*

= 
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo. 



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Fernando Lima Gama Junior]

Pesos dos 5 queijos: 7 kg, 13 kg, 17 kg, 23 kg e 28 kg!

2008/10/14 *Vidal <[EMAIL PROTECTED]>

> Caro Denisson,
>
> Não está faltando uma medida. É justamente este fato que torna o problema
> mais interessante.
>
> ***
>
> Caro Lucas,
>
> Você não precisa supor, você pode provar que isto acontece.
>
> Primeiro perceba que todos os queijos têm pesos distintos:
> Basta assumir que 2 queijos têm pesos iguais, que você não conseguirá gerar
> 9 somas distintas, tomando-os dois a dois.
>
> Como C(5,2) = 10, e só temos 9 valores distintos para as somas dos pares,
> uma soma se repete.
>
> Abraços,
> Vidal.
>
> :: [EMAIL PROTECTED]
>
>
> On Tue, Oct 14, 2008 at 11:27, Lucas Prado Melo <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
>
>> 2008/10/14 Denisson <[EMAIL PROTECTED]>:
>> > Tá faltando uma medida.
>> Eu supus que havia dois pares de números com a mesma soma...
>>
>>
>

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Lucas Prado Melo]

On Tue, Oct 14, 2008 at 12:15 PM, *Vidal <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Caro Arkon e Lucas,
>
> Dá para diminuir um pouquinho:
>
> S = q1 + q2 + q3 + q4 + q5
> 4S = 322 + r
>
> Logo 322 + r é múltiplo de 4.
> A única possibilidade é r = 30.
>
Haha... boa.
Eu acho que o curso de ciência da computação me trouxe o hábito de
reduzir o número de coisas a serem testadas...

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[*Vidal]

Caro Denisson,

Não está faltando uma medida. É justamente este fato que torna o problema
mais interessante.

***

Caro Lucas,

Você não precisa supor, você pode provar que isto acontece.

Primeiro perceba que todos os queijos têm pesos distintos:
Basta assumir que 2 queijos têm pesos iguais, que você não conseguirá gerar
9 somas distintas, tomando-os dois a dois.

Como C(5,2) = 10, e só temos 9 valores distintos para as somas dos pares,
uma soma se repete.

Abraços,
Vidal.

:: [EMAIL PROTECTED]


On Tue, Oct 14, 2008 at 11:27, Lucas Prado Melo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> 2008/10/14 Denisson <[EMAIL PROTECTED]>:
> > Tá faltando uma medida.
> Eu supus que havia dois pares de números com a mesma soma...
>
>

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[*Vidal]

Caro Arkon e Lucas,

Dá para diminuir um pouquinho:

S = q1 + q2 + q3 + q4 + q5
4S = 322 + r

Logo 322 + r é múltiplo de 4.
A única possibilidade é r = 30.

Abraços,
Vidal.

:: [EMAIL PROTECTED]

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Lucas Prado Melo]

Oi,

minha resposta é 28kg:

considere que os pesos são q1q4, q5 > (q5+q4)/2 > q4:
q5 > 51/2 > q4
25>=q4 (um limite superior para q4)

e também podemos estabelecer um limite inferior para q4:
q5<31 => q4+q4=51<31+q4 => q4>20
Ou seja:
25>=q4>=21
e, dessa forma, 19>=q3>=15

Voltando à eq do início: 4(q1+q2+q3+q4+q5) = 4(20 + q3 + 51) = 322+r
=> 4q3-28 = r
Se calcularmos 4q3-28 para todas as possibilidades de q3, obtemos:
22, 26, 30, 34 e 38
mas somente 30 é uma soma válida, assim q3 = 17, q4 = 23 e:
q5 + q4 = q5 + 23 = 51 => q5 = 28

[]'s

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Lucas Prado Melo]

2008/10/14 Denisson <[EMAIL PROTECTED]>:
> Tá faltando uma medida.
Eu supus que havia dois pares de números com a mesma soma...

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Lucas Prado Melo]

2008/10/14 Lucas Prado Melo <[EMAIL PROTECTED]>:
> e também podemos estabelecer um limite inferior para q4:
> q5<31 => q4+q4=51<31+q4 => q4>20
q4+q5=51<31+q4 ...

> Voltando à eq do início: 4(q1+q2+q3+q4+q5) = 4(20 + q3 + 51) = 322+r
> => 4q3-28 = r
> Se calcularmos 4q3-28 para todas as possibilidades de q3, obtemos:
4q3-38

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Denisson]

Tá faltando uma medida.

2008/10/13, arkon <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>  Pessoal, essa é cascuda, alguém pode resolver, por favor.
>
> *O senhor Fondi é realmente um sujeito muito estranho. Certo dia, foi a
> uma casa de queijos e pediu:*
>
> *- Quero um queijo que pese 31 kg, pois hoje estou completando 31 anos!*
>
> *O vendedor, muito educadamente, respondeu:*
>
> *- Sinto muito senhor, mas o maior queijo que temos não chega a 31 kg.*
>
> *- Pois bem, quero dois queijos que juntos pesem 31 kg.*
>
> *O vendedor, querendo satisfazer o desejo do senhor Fondi, buscou os cinco
> maiores queijos da casa. Ele sabia que todos os queijos pesavam um número
> inteiro de quilogramas. Pesou os queijos aos pares, fazendo todas as
> combinações possíveis, e encontrou os seguintes resultados diferentes: 20kg,
> 24kg, 30kg, 35kg, 36kg, 40kg, 41kg, 45kg e 51kg.*
>
> *Assim, infelizmente, o desejo do senhor Fondi não pôde ser atendido.*<
> /p>
>
> *Calcule o número de quilogramas do queijo mais pesado.*
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
>
>


-- 
Denisson

Re: [obm-l] SENHOR FONDI

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Arkon, quanto tempo!

Vamos lá..  primeiro vamos determinar pelo menos quantos queijos haviam:
Ele pesa todos os pares de queijo e possui 9 medidas diferentes... isto é:
C(n, 2) >= 9
deste modo: n(n-1) >= 18 ... logo:  n >= 5

vamos tentar entender a limitacoes do problema..
vamos supor que temos um queijo de pego 50.. entao temos que ter outro de
peso 1..
porem, como pegamos todas as combinacoes 2 a 2, e temos no minimo 5 queijos,
teriamos que ter
todos os outros queijos com peso 1 (se nao, teriamos um peso maior que 51,
que é a maior pesagem)..
mas dai nao teriamos peso 20, 24, etc.. logo, 50 nao é solucao..

legal.. já deu pra ter uma idéia de como as coisas funcionam..
uma ideia seria ir tentando: 49, 48, 47 ... ok ok.. nao vamos fazer isso! ;)
hehehe

vamos tentar enxergar as coisas de outra maneira..
temos n queijos, onde n >= 5... pegando o queijo mais pesado com cada um dos
outros, temos n-1 pesagens com este peso..

eita eita.. temos um probleminha agora... se tivermos 5 queijos com pesos
diferentes, vamos ter C(5, 2) = 10 pesagens diferentes...
mas temos apenas 9... acho que temos algum problema de enunciado...

abraços,
Salhab



On Mon, Oct 13, 2008 at 11:55 PM, arkon <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

>  Pessoal, essa é cascuda, alguém pode resolver, por favor.
>
> *O senhor Fondi é realmente um sujeito muito estranho. Certo dia, foi a
> uma casa de queijos e pediu:*
>
> *- Quero um queijo que pese 31 kg, pois hoje estou completando 31 anos!*
>
> *O vendedor, muito educadamente, respondeu:*
>
> *- Sinto muito senhor, mas o maior queijo que temos não chega a 31 kg.*
>
> *- Pois bem, quero dois queijos que juntos pesem 31 kg.*
>
> *O vendedor, querendo satisfazer o desejo do senhor Fondi, buscou os cinco
> maiores queijos da casa. Ele sabia que todos os queijos pesavam um número
> inteiro de quilogramas. Pesou os queijos aos pares, fazendo todas as
> combinações possíveis, e encontrou os seguintes resultados diferentes: 20kg,
> 24kg, 30kg, 35kg, 36kg, 40kg, 41kg, 45kg e 51kg.*
>
> *Assim, infelizmente, o desejo do senhor Fondi não pôde ser atendido.*<
> /p>
>
> *Calcule o número de quilogramas do queijo mais pesado.*
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

[obm-l] SENHOR FONDI

[arkon]

 Pessoal, essa é cascuda, alguém pode resolver, por favor.O senhor Fondi é realmente um sujeito muito estranho. Certo dia, foi a uma casa de queijos e pediu:- Quero um queijo que pese 31 kg, pois hoje estou completando 31 anos!O vendedor, muito educadamente, respondeu:- Sinto muito senhor, mas o maior queijo que temos não chega a 31 kg.- Pois bem, quero dois queijos que juntos pesem 31 kg.O vendedor, querendo satisfazer o desejo do senhor Fondi, buscou os cinco maiores queijos da casa. Ele sabia que todos os queijos pesavam um número inteiro de quilogramas. Pesou os queijos aos pares, fazendo todas as combinações possíveis, e encontrou os seguintes resultados diferentes: 20kg, 24kg, 30kg, 35kg, 36kg, 40kg, 41kg, 45kg e 51kg.Assim, infelizmente, o desejo do senhor Fondi não pôde ser atendido.<
 /p>Calcule o número de quilogramas do queijo mais pesado.
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