Ola Felipe,
observe que: d[ sen(ka) ]/da = kcos(ka)
assim: Sn = Sum[k=0 -> n] d[ sen(ka) ]/da = d{ Sum[k=0 ->n] sen(ka) }/da
opa.. agora basta encontrarmos a soma dos senos e dps derivar em relacao a "a"..
para determinar a soma dos senos utilize numeros complexos:
z = cis(a)
z^2 = cis(2a)
:
z^n = cis(na)
z + z^2 + .. + z^n = cis(a) + cis(2a) + ... + cis(na)
logo, a parte imaginaria desta soma é igual a soma dos senos..
mass.. da PG, temos que z + z^2 + .. + z^n = z(z^n-1)/(z-1)
logo, basta tomarmos a parte imaginaria de z(z^n-1)/(z-1)
z(z^n-1)/(z-1) = (z^(n+1) - z)/(z-1) * (z' -1)/(z' -1) .. onde z' é o
conjugado de z
dai temos: (z' - 1)(z^(n+1) - z)/||z-1||^2 = (z^n - 1 - z^(n+1) +
z)/||z-1||^2 ...
substituindo z, temos: (cis(na) - 1 - cis[(n+1)a] + cis(a))/(2 - 2cos(a))
a parte imaginária é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a))
logo, a soma de senos é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a))
basta derivarmos em relacao a "a" agora...
derivando, temos:
[ ncos(na) - (n+1)cos((n+1)a) + cos(a) ]/(2 - 2cos(a)) - [ sen(na) -
sen((n+1)a) + sen(a) ] * 2sen(a) / (2 - 2cos(a))^2
pronto.. este é o resultado do somatorio de kcos(ka).
abracos,
Salhab
On 4/27/07, Felipe Régis <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal,
Bem, deparei-me com a seguinte questão:
Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de
k=0 a n do termo k*cos(k*a).
Comecei a desenvolver...
p/ k=0, S(0)=0
p/ k=1, S(1)=cosa
p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a
...
p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a]
p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a)
Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não
homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém
poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula
através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse
homogênea.
E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou
mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima
ficou claro).
Obrigado,
Felipe Régis.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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