[obm-l] ajuda para atacar este problema

[Bruno Rodrigues]

Oi pessoal,estou sem ideias para este problema:

Considere um número real α e constantes b  0 e γ ≥ 1 tais que para
quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale
|qα − p| ≥ b/qγ.
Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o
conjunto

XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ}
é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y|  1/N.

nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα.

Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela?
Como voces a atacariam?

Abraços

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Re: [obm-l] ajuda para atacar este problema

[Esdras Muniz]

6° problema da OBMU, só percebi q α é irracional. Tava pensando que poderia
ser feito dividindo o [0,1] como [0,1/N]; [1/N,2/N];...; [(N-1)/N,1]
e mostrando que tem um elemento do X em cada parte.

Em 28 de outubro de 2014 17:05, Bruno Rodrigues 
brunorodrigues@gmail.com escreveu:

 Oi pessoal,estou sem ideias para este problema:

 Considere um número real α e constantes b  0 e γ ≥ 1 tais que para
 quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale
 |qα − p| ≥ b/qγ.
 Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o
 conjunto

 XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ}
 é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y|  1/N.

 nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα.

 Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela?
 Como voces a atacariam?

 Abraços


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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

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Re: [obm-l] ajuda para atacar este problema

[saulo nilson]

|qα − p| ≥ b/qγ
|qa| +|p|=b/q^y
|qa|=(|p|q^y-b)/q^y
|ma|=(mN^y-b)/N^y
xN==1-b/N^y  pertence [0,1]
y=1-b/N^y-1/N
teremos
|x-y|1/N

2014-10-28 17:05 GMT-02:00 Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com:

 Oi pessoal,estou sem ideias para este problema:

 Considere um número real α e constantes b  0 e γ ≥ 1 tais que para
 quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale
 |qα − p| ≥ b/qγ.
 Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o
 conjunto

 XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ}
 é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y|  1/N.

 nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα.

 Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela?
 Como voces a atacariam?

 Abraços


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