Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Realmente, é uma transformação de P2 em P2. Obrigado!
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Oi, Claudio,
Sua sacada do limite para sair do braçal foi muito legal Eu não
havia visto uma forma simples de contornar o "algebrismo" que
se avizinhava... e parei. Adorei ! Ah, quando lembro
quanta ferrugem ainda tenho que sacudir dos neurônios...:-)... Mas chego
lá...
Abração,
Nehab
At 14:50 26/9/2006, you wrote:
Aqui vai minha tentativa:
Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).
Então, dado x em R teremos:
T(x,ax^2+bx+c) =
(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) =
(u,au^2+cu+b), para algum u em R.
x -> +/-inf <==> |u| -> +inf
lim(|u| -> +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==>
lim(x -> +/-inf) (qax^2+(qb+p)x+qc)/(nax^2+(nb+m)x+nc)^2 = a
==>
n = 0 e qa/(nb+m)^2 = qa/m^2 = a ==>
n = 0 e q = m^2 ==>
T(x,y) = (mx,px+m^2y) ==>
Autovalores: m e m^2
T(x,ax^2+bx+c) =
(mx,am^2x^2 + (bm^2+p)x + m^2c) =
(mx, am^2x^2 + cmx + b) ==>
bm^2+p = cm e m^2c = b
Se c = 0, então b = p = 0 ==>
T(x,y) = (mx,m^2y) (m <> 0) ==>
Autovalores: m e m^2 (m <> 0)
Se c <> 0, então:
T(x,y) = (+/-raiz(b/c)*x , (+/-raiz(bc)-b^2/c)*x + (b/c)*y) ==>
m = +/-raiz(b/c) e p = +/-raiz(bc) - b^2/c ==>
Autovalores: {raiz(b/c) , b/c} ou {-raiz(b/c) , b/c}
Suponhamos, pra simplificar, que a = 1/4.
Nesse segundo caso, o vértice da parábola de origem é o ponto:
P = (-2b,c-b^2)
Tomando m = raiz(b/c), teremos:
T(P) = (-2b*raiz(b/c) , -2b*raiz(bc) + b^3/c + b), o qual de fato,
pertence à parábola-imagem y = x^2/4 + cx + b, mas não é o vértice
desta.
O vértice é (-2c,b-c^2).
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 26 Sep 2006 08:40:40 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e
autovetores
Oi, Salhab,
No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx
+ c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x,
ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}. Ou seja,
não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx +
c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.
Nehab
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Aqui vai minha tentativa:
Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).
Então, dado x em R teremos:
T(x,ax^2+bx+c) =
(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) =
(u,au^2+cu+b), para algum u em R.
x -> +/-inf <==> |u| -> +inf
lim(|u| -> +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==>
lim(x -> +/-inf) (qax^2+(qb+p)x+qc)/(nax^2+(nb+m)x+nc)^2 = a ==>
n = 0 e qa/(nb+m)^2 = qa/m^2 = a ==>
n = 0 e q = m^2 ==>
T(x,y) = (mx,px+m^2y) ==>
Autovalores: m e m^2
T(x,ax^2+bx+c) =
(mx,am^2x^2 + (bm^2+p)x + m^2c) =
(mx, am^2x^2 + cmx + b) ==>
bm^2+p = cm e m^2c = b
Se c = 0, então b = p = 0 ==>
T(x,y) = (mx,m^2y) (m <> 0) ==>
Autovalores: m e m^2 (m <> 0)
Se c <> 0, então:
T(x,y) = (+/-raiz(b/c)*x , (+/-raiz(bc)-b^2/c)*x + (b/c)*y) ==>
m = +/-raiz(b/c) e p = +/-raiz(bc) - b^2/c ==>
Autovalores: {raiz(b/c) , b/c} ou {-raiz(b/c) , b/c}
Suponhamos, pra simplificar, que a = 1/4.
Nesse segundo caso, o vértice da parábola de origem é o ponto:
P = (-2b,c-b^2)
Tomando m = raiz(b/c), teremos:
T(P) = (-2b*raiz(b/c) , -2b*raiz(bc) + b^3/c + b), o qual de fato, pertence à parábola-imagem y = x^2/4 + cx + b, mas não é o vértice desta.
O vértice é (-2c,b-c^2).
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 26 Sep 2006 08:40:40 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetoresOi, Salhab,No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x, ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}. Ou seja, não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx + c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.Nehab
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Olá Nehab,
entendi o q vc quis dizer..
neste caso, só posso afirmar que T(ax^2 + bx + b) é
a mesma parabola... mas nao posso garantir a existencia de um auto-vetor dentro
do conjunto {(x, ax2 + bx + c), x real} né?
bom.. neste caso, nao sei como resolver
:)
aguardo alguma solucao..
se eu tiver alguma ideia mando outra
mensagem,
abraços,
Salhab
- Original Message -
From:
Carlos Eddy Esaguy
Nehab
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, September 26, 2006 8:40
AM
Subject: Re: [obm-l] algebra linear -
autovalores e autovetores
Oi, Salhab,No meu entendimento, o problema
não sugere que T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem
do conjunto {(x, ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x
real}. Ou seja, não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do
ponto (x, ax2 + bx + c), o que torna o exercício um pouquinho mais
complicado.Nehab At 21:38 25/9/2006, you
wrote:
Olá, T(ax2 + bx + c) = ax2 + cx +
b é o mesmo que dizer: T(x, ax2 + bx + c) =
(x, ax2 + cx + b) assim, ela faria: T(x,
ax2 + bx + b) = (x, ax2 + bx + b) logo: um
auto-valor é 1, com auto-vetores (x, ax2 + bx + b) isto é, os auto-vetores do auto-valor 1 seriam as parabolas: y = ax2
+ bx + b acho que é isso... alguem da uma
conferida ai! abraços,Salhab
- Original Message -
From: Carlos Eddy Esaguy
Nehab
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, September 25, 2006 7:16 PM
Subject: Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e
autovetores
Oi, Bruno,
A interpretação é a seguinte (certamente): se a imagem da
parábola "y = ax2 +bx + c" pela transformação linear
(desconhecida) é a parábola y = ax2 + cx + b etc, etc.
...
Nehab
At 18:26 25/9/2006, you wrote:
Não entendi sua transformação.
Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o
domínio e o contra-domínio.
Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não
entendi.
Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear
basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel
das transformações T - tI, onde "t" é cada autovalor encontrado e I é a
transformação identidade.
Bruno
On 9/25/06, Tiago Machado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² -> R² tal que
T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ?
Muito obrigado.
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
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22/9/2006
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26/9/2006
RES: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Acho
que o erro no enunciado eh que a transfomração é de P2 em P2 (o espaço dos
polinômios de grau menor ou igual a 2). Aí pode-se definir
T(ax^2+bx+c)=ax^2+cx+b, que é de fato uma transfomração
linear.
Um
autovetor será um polinômio (não-nulo) que satisfaça ax^2+cx+b=k(ax^2+bx+c)
(como igualdade de polinômios, uma identidade em x). Ou seja, a=ka, c=kb e
b=kc. Resolvendo, temos:
i) Se
k=1, então qualquer polinômio onde b=c vale. Assim, temos o autovalor 1 e os
autovetores da forma ax^2+bx+b (um espaço bidimensional de autovetores, com uma
possível base dada por {x^2,x+1}).
ii) Se
k=-1, devemos ter a=0 e b=-c, que servem. Assim, temos o autovalor -1 e os
autovetores da forma bx-b (espaço de dimensão 1 gerado pelo autovetor
{x-1}).
iii) E
é só isso. Como c=kb=k^2c, se k não for nem 1 nem -1, teríamos c=0, então b=0.
Como k<>1, a=0 também. Isto seria o polinômio nulo, que não
presta.
Resposta: Autovalores 1 e -1. Os autovetores associados ao 1 estão
no autoespaço gerado por {x^2,x+1}; os associados ao -1 são os múltiplos de
{x-1}.
Abraço,
Ralph
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Tiago
MachadoEnviada em: segunda-feira, 25 de setembro de 2006
18:06Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] algebra
linear - autovalores e autovetoresQuais os autovalores e
autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b
?Muito obrigado.
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Oi, Salhab,
No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx
+ c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x,
ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}. Ou seja,
não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx +
c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.
Nehab
At 21:38 25/9/2006, you wrote:
Olá,
T(ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b
é o mesmo que dizer: T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx +
b)
assim, ela faria: T(x, ax2 + bx + b) = (x, ax2 + bx +
b)
logo: um auto-valor é 1, com auto-vetores (x, ax2 + bx +
b)
isto é, os auto-vetores do auto-valor 1 seriam as parabolas:
y = ax2 + bx + b
acho que é isso... alguem da uma conferida ai!
abraços,
Salhab
- Original Message -
From: Carlos Eddy Esaguy
Nehab
To:
obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, September 25, 2006 7:16 PM
Subject: Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e
autovetores
Oi, Bruno,
A interpretação é a seguinte (certamente): se a imagem da
parábola "y = ax2 +bx + c" pela transformação
linear (desconhecida) é a parábola y = ax2 + cx + b etc,
etc. ...
Nehab
At 18:26 25/9/2006, you wrote:
Não entendi sua transformação.
Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o
domínio e o contra-domínio.
Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não
entendi.
Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear
basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel das
transformações T - tI, onde "t" é cada autovalor encontrado e I
é a transformação identidade.
Bruno
On 9/25/06, Tiago Machado
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax²
+ bx + c) = ax² + cx + b ?
Muito obrigado.
--
Bruno França dos Reis
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Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Olá, T(ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b é o mesmo que dizer: T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx + b) assim, ela faria: T(x, ax2 + bx + b) = (x, ax2 + bx + b) logo: um auto-valor é 1, com auto-vetores (x, ax2 + bx + b) isto é, os auto-vetores do auto-valor 1 seriam as parabolas: y = ax2 + bx + b acho que é isso... alguem da uma conferida ai! abraços, Salhab - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, September 25, 2006 7:16 PM Subject: Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores Oi, Bruno,A interpretação é a seguinte (certamente): se a imagem da parábola "y = ax2 +bx + c" pela transformação linear (desconhecida) é a parábola y = ax2 + cx + b etc, etc. ...NehabAt 18:26 25/9/2006, you wrote: Não entendi sua transformação.Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o domínio e o contra-domínio.Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não entendi.Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel das transformações T - tI, onde "t" é cada autovalor encontrado e I é a transformação identidade. BrunoOn 9/25/06, Tiago Machado <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ? Muito obrigado.-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0 No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.8/455 - Release Date: 22/9/2006
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Olá, cara, nao entendi a transformacao é de R2 em R2 né? entao seria T(a,b) = alguma_coisa nao entendi a notacao.. explicai q te ajudo! :) mas soh pra adiantar, basta encontrar os elementos do R2, tal que: T(X) = kX, onde k é uma constante real.. k é o auto-valor e X é o auto-vetor... um abraço Salhab - Original Message - From: Tiago Machado To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, September 25, 2006 6:06 PM Subject: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ?Muito obrigado. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.8/455 - Release Date: 22/9/2006
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Oi, Bruno, A interpretação é a seguinte (certamente): se a imagem da parábola "y = ax2 +bx + c" pela transformação linear (desconhecida) é a parábola y = ax2 + cx + b etc, etc. ... Nehab At 18:26 25/9/2006, you wrote: Não entendi sua transformação. Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o domínio e o contra-domínio. Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não entendi. Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel das transformações T - tI, onde "t" é cada autovalor encontrado e I é a transformação identidade. Bruno On 9/25/06, Tiago Machado <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ? Muito obrigado. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Não entendi sua transformação.Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o domínio e o contra-domínio.Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não entendi.Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel das transformações T - tI, onde "t" é cada autovalor encontrado e I é a transformação identidade. BrunoOn 9/25/06, Tiago Machado <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ? Muito obrigado. -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ? Muito obrigado.
