Re: [obm-l] exercícios de topologia
--- Carlos bruno Macedo [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Gostaria de ajuda nesses dois exercícios
Provar que
1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1
é um fechado ilimitado
com interior vazio em R^n x n
2) As matrizes ortogonais n x n formam um
subcontunto compacto de R^n x n
2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um
subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for
limitado e fechado (Teorema de Heine Borel).
Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M
pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores
linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra
linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a
raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos,
entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se
automaticamente que O eh limitado.
Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao
fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes
{N_n} em O que converge para N. A sequencia dos
vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge,
portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna
de N.
A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao
continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma
sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de
{N_n}, temos que ||v_n|| - ||v||, sendo v o
correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para
todo n, ||v_n|| -1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha
e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear,
isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. .
Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado.
Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo
compacto.
Artur
__
Do you Yahoo!?
Yahoo! Tax Center - File online by April 15th
http://taxes.yahoo.com/filing.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] exercícios de topologia
On Mon, 12 Apr 2004, Artur Costa Steiner wrote:
1) O conj das matrizes nxn com det=1 é fechado pois é imagem inversa de
1 da funcao continua determinante.É ilimitado pois é facil construir
matrizes An com detAn=1 e norma(An)=n.
--- Carlos bruno Macedo [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Gostaria de ajuda nesses dois exercícios
Provar que
1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1
é um fechado ilimitado
com interior vazio em R^n x n
2) As matrizes ortogonais n x n formam um
subcontunto compacto de R^n x n
2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um
subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for
limitado e fechado (Teorema de Heine Borel).
Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M
pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores
linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra
linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a
raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos,
entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se
automaticamente que O eh limitado.
Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao
fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes
{N_n} em O que converge para N. A sequencia dos
vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge,
portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna
de N.
A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao
continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma
sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de
{N_n}, temos que ||v_n|| - ||v||, sendo v o
correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para
todo n, ||v_n|| -1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha
e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear,
isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. .
Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado.
Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo
compacto.
Artur
__
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[obm-l] exercícios de topologia
Gostaria de ajuda nesses dois exercícios Provar que 1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1 é um fechado ilimitado com interior vazio em R^n x n 2) As matrizes ortogonais n x n formam um subcontunto compacto de R^n x n Desejo feliz páscoa a todos Carlos _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
