Re: [obm-l] Ideais maximais 2
Olah kleinad, revisei o problema com suas observacoes
e acho que consegui uma solucao bem mais sucinta...
QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
para algum a em [0,1]
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
(provado recentemente na lista)
Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e
tomando I como o ideal das
funções que se anulam em a, correto?
Sim, e dizendo que M=I=I_a={f em A:f(a)=0} eh ideal
maximal.
A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal, veja
teorema abaixo)
TEOREMA: Se A eh anel comutativo com unidade e I eh
ideal maximal, entao A/I eh corpo.
dem. livro Introducao a Algebra, A.Goncalves.
ou (a) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
ou (b) M C I
Suponha por absurdo M C/ I e tome f em M-I.
Como A/I eh corpo e f nao esta em I, entao f+I (que
eh elemanto de A/I) nao eh o neutro aditivo de A/I,
logo existe g+I tal que (fg+I)=(f+I)(g+I)=(1+I), isto
eh, fg=1_A
0a. fg = 1_A = 1 (funcao constante 1)
1a. fA C M (pois f estah em M e M eh ideal)
2a. fg estah em M (de 1a e porque g estah em A)
3a. 1_A estah em M (de 0a. e 2a.)
4a. (1_A)I C M (de 3a. e porque M eh ideal)
5a. I C M (de 4a.)
6a. M+I=M (de 5a.)
7a. I C M+I C A
8a. M+I=I ou M+I=A
Agora, de (a) M C/ I tem-se M+I # I (# significa
diferente), logo
9a. M+I=A
10a. M = A (de 6a. e 9a.)
11a. M # A (pois M e maximal)
12a. ABSURDO (de 10a. e 11a.)
13a. M C I (de (a) e 12a.)
Ficou provado que M C I = {f em A:f(a)=0}, para algum
a em [0,1].
1. M C I
2. M C I C A (de 1.)
3. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
4. I # A (pois I eh maximal)
(# significa diferente)
5. I = M (de 3. e 4.)
Logo, para todo ideal maximal M, existe algum a em
[0,1] tal que M = {f em A: f(a)=0}
[]'s
Eric.
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Re: [obm-l] Ideais maximais 2
Olá, Eric
Eric Campos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
para algum a em [0,1]
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
(provado recentemente na lista)
A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal, veja
teorema abaixo)
TEOREMA: Se A eh anel comutativo com unidade e I eh
ideal maximal, entao A/I eh corpo.
dem. livro Introducao a Algebra, A.Goncalves.
ou (a) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
ou (b) M C I
Na minha opinião, existe um problema de redação aqui, que mais tarde acaba
deixando pouco claro qual o seu raciocínio. Acho que o correto seria
escrever
(a) Para todo a em [0,1], M não está contido em I_a
(b) Existe a em [0,1] tal que M está contido em I_a
e tentar mostrar que a opção (a) é absurda. Só que neste caso, o tome f em
M-I fica um pouco obscuro, pq temos infinitos I possíveis. E argumentar com
algo do tipo fixado I não me parece muito promissor, mas pode ser que eu
esteja totalmente enganado.
Suponha por absurdo M C/ I e tome f em M-I.
Como A/I eh corpo e f nao esta em I, entao f+I (que
eh elemanto de A/I) nao eh o neutro aditivo de A/I,
logo existe g+I tal que (fg+I)=(f+I)(g+I)=(1+I), isto
eh, fg=1_A
Na outra mensagem eu já havia comentado: vc só pode tomar uma f em M que não
tenha raízes (do contrário ela não pode ter inversa!). Mas então 1 = f*f^(-
1) está em M, logo M = A, absurdo.
0a. fg = 1_A = 1 (funcao constante 1)
1a. fA C M (pois f estah em M e M eh ideal)
2a. fg estah em M (de 1a e porque g estah em A)
3a. 1_A estah em M (de 0a. e 2a.)
4a. (1_A)I C M (de 3a. e porque M eh ideal)
5a. I C M (de 4a.)
6a. M+I=M (de 5a.)
7a. I C M+I C A
8a. M+I=I ou M+I=A
Agora, de (a) M C/ I tem-se M+I # I (# significa
diferente), logo
9a. M+I=A
10a. M = A (de 6a. e 9a.)
11a. M # A (pois M e maximal)
12a. ABSURDO (de 10a. e 11a.)
13a. M C I (de (a) e 12a.)
Ficou provado que M C I = {f em A:f(a)=0}, para algum
a em [0,1].
Mesmo que estivesse tudo certo, vc não teria provado que M está contido em
I_a para algum a, mas sim para todo a... Veja a observação que eu fiz logo
no início da resposta.
1. M C I
2. M C I C A (de 1.)
3. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
4. I # A (pois I eh maximal)
(# significa diferente)
5. I = M (de 3. e 4.)
Logo, para todo ideal maximal M, existe algum a em
[0,1] tal que M = {f em A: f(a)=0}
Eu acho que vc deveria se concentrar mais no que o fato de não haver um zero
de M (isto é, um a tal que M C I_a para algum a em [0,1], e por conseguinte
M = I_a visto que M é maximal) implica...
Vc poderia por exemplo tentar mostrar que qualquer ideal próprio M está
contido em algum I_a para algum a. Com efeito, é fácil ver que nenhum ideal
próprio pode ter funções sem zeros (do contrário, pela multiplicação pelo
seu inverso, 1 estaria no ideal e logo o ideal seria igual a A).
Aí temos duas possibilidades:
1) existem a_1, a_2, ..., a_n (n finito) tais que toda f em M se anula em
algum dos a_i
2) existem infinitos a_i com essa propriedade, isto é, se vc tomar um
conjunto finito de a_i então existe f em M tal que f não se anula em nenhum
dos a_i
Se (1) ocorre então M C I_(a_1, a_2, ..., a_n) = { f em A tal que f(a_i) = 0
para algum i }. Então mostre que isso implica que n = 1 e portanto M = I_
(a_1).
Depois mostre porque (2) não ocorre...
[]s,
Daniel
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[obm-l] Ideais maximais 2
Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha
solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida...
Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu
recentemente na lista sobre ideais maximais.
QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
existe a em [0,1] tal que
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
(provado recentemente na lista)
4. M+I eh ideal de A
5. I C M+I C A
(C significa esta contido)
6. M C M+I C A
7. ou (a) M+I=I
ou (b) M+I=M
ou (c) M+I=A
(a) M+I=I
1a. M C I C A (de 6. e (a))
2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
3a. I A (pois I eh maximal)
( significa diferente)
4a. I = M (de 2a. e 3a.)
OK
(b) M+I=M
1b. I C M C A (de 5. e (b))
2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal)
3b. M A (pois M eh maximal)
4b. M = I (de 2b. e 3b.)
OK
(c) M+I=A
1c. A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal)
2c. ou (ca) M C I
ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
(ca) M C I
1ca. M C I C A (de ca.)
2ca. I = M ou I = A
(pois M eh maximal)
3ca. I A (pois I eh maximal)
4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.)
OK
(cb) M C/ I
1cb. Tome f em M-I
2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1)
(pois A/I eh corpo e de 1cb.)
3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal)
4cb. fg estah em M (de 3cb.)
5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.)
6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal)
7cb. I C M (de 6cb.)
8cb. M+I=M (de 7cb.)
9cb. M+I=A (de (c))
10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.)
11cb. M A (pois M e maximal)
12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.)
13cb. M C I (de (cb) e 12cb.)
14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.)
Uff...
[]'s
Eric.
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Re: [obm-l] Ideais maximais 2
Eric Campos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha
solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida...
Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu
recentemente na lista sobre ideais maximais.
Veja a prova do Claudio
QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
existe a em [0,1] tal que
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
(provado recentemente na lista)
Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e tomando I como o ideal das
funções que se anulam em a, correto? Isso já é uma particularização e
tanto...
4. M+I eh ideal de A
5. I C M+I C A
(C significa esta contido)
6. M C M+I C A
7. ou (a) M+I=I
ou (b) M+I=M
ou (c) M+I=A
(a) M+I=I
1a. M C I C A (de 6. e (a))
2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
3a. I A (pois I eh maximal)
( significa diferente)
4a. I = M (de 2a. e 3a.)
OK
O que acontece nesta parte é que, da escolha arbitrária de a em [0,1]
para gerar I, vale M + I = I se e só vc deu a tremenda sorte de escolher
justamente o a em [0,1] tal que M é o ideal das funções que se anulam em a.
(b) M+I=M
1b. I C M C A (de 5. e (b))
2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal)
3b. M A (pois M eh maximal)
4b. M = I (de 2b. e 3b.)
OK
(c) M+I=A
1c. A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal)
2c. ou (ca) M C I
ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
(ca) M C I
1ca. M C I C A (de ca.)
2ca. I = M ou I = A
(pois M eh maximal)
3ca. I A (pois I eh maximal)
( significa diferente)
4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.)
OK
(cb) M C/ I
1cb. Tome f em M-I
2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1)
(pois A/I eh corpo e de 1cb.)
Essa parte foi muito rápida... O fato é que existe g em A-I tal que (f + I)*
(g + I) = (1 + I), ou seja, fg - 1 está em I. Porque necessariamente é fg -
1 = 0? Aliás, como é verdade que M é o ideal das funções que se anulam para
algum b em [0,1], então nenhuma função em M pode ter inversa pela própria
definição de (fg)(x) = f(x)*g(x).
3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal)
4cb. fg estah em M (de 3cb.)
5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.)
6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal)
7cb. I C M (de 6cb.)
8cb. M+I=M (de 7cb.)
9cb. M+I=A (de (c))
10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.)
11cb. M A (pois M e maximal)
12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.)
13cb. M C I (de (cb) e 12cb.)
14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.)
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Re: [obm-l] ideais maximais
Meu caro Daniel, acho que na sua solução f(x) = h(x) - h(1/2) está em J e naum em I, pois f(1/2) = 0 e J é conjunto das funções que se anulam em 1/2. Além disso, naum consegui entender o porquê de f(x) - h(x) estah em J sabendo que f estah em J e h naum estah em J. Sem falar que acho que vc deveria concluir que I = C([0,1]) e naum que J = C([0,1]). Acho que seria melhor refazermos essa solução!!! sem mais, éder. --- [EMAIL PROTECTED] wrote: Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h (1/2) 0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2) 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo J = C([0,1]). Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 = z = 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ideais maximais
Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Meu caro Daniel, acho que na sua solução f(x) = h(x) - h(1/2) está em J e naum em I, pois f(1/2) = 0 e J é conjunto das funções que se anulam em 1/2. Além disso, naum consegui entender o porquê de f(x) - h(x) estah em J sabendo que f estah em J e h naum estah em J. Sem falar que acho que vc deveria concluir que I = C([0,1]) e naum que J = C([0,1]). Acho que seria melhor refazermos essa solução!!! Então somos dois que achamos isso!!! A partir da metade eu troquei I por J... Por isso abaixo vou abolir o I, para evitar confusão! E ainda fiz uma conta que deveria dar -h(1/2) e não h(1/2). Ok: Seja M um ideal contendo J (que J é ideal é fácil de verificar), e seja h(x) em M tal que h(1/2) não é zero. Repare que eu tomei um ideal M contendo J, logo se f(x) = h(x) - h(1/2) está em J (e está porque f(1/2) = 0), automaticamente f está em M. Agora como h e f estão em M, então h(1/2) = h (x) - f(x) está em M. Como M é ideal e h(1/2) 0, segue que 1 está em M, e logo qualquer coisa que vc quiser de C([0,1]) está em M, e os dois coincidem. []s, Daniel Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ideais maximais
Gostaria de uma ajuda no problema abaixo: Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. grato desde já, éder. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ideais maximais
Bom, você tem que provar que não existe I contido em C([0,1]) tal que
J esteja contido em I, e todas as inclusões sejam próprias (ou seja,
um conjunto estritamente maior do que aquele que ele contém).
Tome então um ideal I, estritamente maior do que J. Assim, existe um
elemento deste anel que não está em J, ou seja, uma função g: [0,1] -
R tal que g(1/2) != 0.
Seja então g(1/2) = a; a função h(x) = g(x) - a está em J.
Para provar que J é maximal, agora basta provar que I = C([0,1]).
Ora, é claro que, como é um ideal e contém g, J, temos que I contém o
ideal gerado por (g, J) = { f = ag + bj / a, b pertencem a C([0,1]) e
j pertence a J}.
Agora vamos provar que este ideal é tudo! Seja f em C([0,1]) - J.
(Não precisamos fazer para J, já que claramente I contém J)
Queremos escrever f na forma ag + bj. Para termos alguma chance de
conseguir isso, temos que fazer com que ag(1/2) + bj(1/2) = f(1/2).
Ora, j(1/2) = 0, logo ag(1/2) = f(1/2), e portanto a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2). Bom, sejamos bastante otimistas: faça a(x) = a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2) (função constante!!) e veja que o que sobra é (f - ag)(1/2) =
f(1/2) - a(1/2)g(1/2) = 0, logo é uma função que pertence a J. Assim,
podemos fazer b(x) = 1 para todo x e obtemos finalmente j = f - ag em
J, logo I = C([0,1]) e portanto J é maximal.
Acho que é isso.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Fri, 18 Mar 2005 17:25:18 -0300 (ART), Lista OBM
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:
Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1],
com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) =
f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que
f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal.
grato desde já, éder.
Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/
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Re: [obm-l] ideais maximais
Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h (1/2) 0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2) 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo J = C([0,1]). Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 = z = 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ideais maximais
Faltou um detalhe trivial mas importante: provar que J eh de fato um ideal. *** A reciproca eh mais legal. Seja M um ideal maximal de C([0,1]). Se f pertence a M entao, para algum x em [0,1], devemos ter f(x) = 0. Caso contrario, 1/f pertenceria a C([0,1]) e, portanto, 1 = (1/f)*f pertenceria a M, forcando M a ser igual a C([0,1]) == contradicao. Agora, suponhamos que, para cada a em [0,1], existe alguma funcao f_a em M tal que f_a(a) 0. Seja g_a = (f_a)^2 (ou seja, g_a(x) = (f_a(x))^2 para todo x em [0,1]). Eh claro que g pertence a M e g_a(a) 0. Como g_a eh continua, existe eps_a 0 tal que, para todo x no intervalo aberto I_a de centro a e raio eps_a, g_a(x) 0. Tambem eh claro que [0,1] eh coberto por Uniao(a em [0,1]) I_a. Como [0,1] eh compacto, esta cobertura aberta admite uma subcobertura finita I_a1 uniao I_a2 uniao ... uniao I_an. Sejam g_a1, g_a2, ..., g_an as funcoes g correspondentes aos I_ai. Entao h = g_a1 + g_a2 + ... + g_an pertence a M e eh tal que h(x) 0 para todo x em [0,1] == contradicao. Logo, existe z em [0,1] tal que, para toda f em M, f(z) = 0. *** Se M eh um ideal maximal, entao o anel quociente C([0,1])/M eh um corpo. Que corpo eh esse? *** A demonstracao acima fura se o anel for C((0,1)), pois (0,1) nao eh compacto. Quais sao os ideais maximais de C((0,1))? []s, Claudio. on 18.03.05 19:03, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h (1/2) 0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2) 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo J = C([0,1]). Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 = z = 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
