[obm-l] outro problema de probabilidade, onde errei?
Notação: X[a] lê-se "X indice a"
U[0,1] distribuicao uniforme no intervalo [0,1]
Sejam (X[ij], i,j = 1,2) variaveis aleatorias independentes
identicamente distribuidas, X[ij] ~ U[0,1].
Calcular
P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2]
Para facilitar, vou chamar min{max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]}} de M.
(e X11 estará subentendido que é X[11])
Bom pessoal, eu pensei que a probabilidade pedida pode ser calculada da
seguinte maneira:
P[M = X11 e X11 <= 1/2] ou P[M = X12 e X12 <= 1/2] ou
P[M = X21 e X21 <= 1/2] ou P[M = X22 e X22 <= 1/2]
Pela simetria, as 4 probabilidades são iguais
Entao basta calcular
4*P[M = X11 e X11 <= 1/2]
Bom mas o evento M = X11 é equivalente a:
X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}
Então
4*P[M = X11 e X11 <= 1/2] =
4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2] (I)
Bom ai que eu nao estou certo do que posso fazer.
Para mim
P[X11 = max{X11,X12}] = 1/2 (i)
P[X11 = max{X11,X21,X22}] = 2/6 (ii)
P[X11 <= 1/2] = 1/2 (iii)
E eu não sei se desmembro ou a expressao (I) por Bayes.
Ao que parece os eventos
(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2
não sao independentes enquanto
(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) me parecem ser.
Mas eu nao sei provar. Bom se isso for verdade, por Bayes:
4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22})|X11 <=1/2]*P[X11<=1/2]
Mas com a condicao X11 <= 1/2 como ficam (i), (ii) e (iii) ?
Como acabar o exercicio?
Muito obrigado
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] outro problema de probabilidade, onde errei?
P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2] =
1-P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } >= 1/2]=
1-P[{ max{X[11],X[12]}e max{X[21],X[22]} } >= 1/2]=
= 1- P[{ max{X[11],X[12]} >= 1/2]^2
Calculemos P[{ max{X[11],X[12]} >= 1/2]= 1-P[{ max{X[11],X[12]} <= 1/2]=
1-P[X[11]e X[12] >= 1/2] = 1- P[X[11]>=1/2]^2 = 1-(1/4) = 3/4
A resposta é 1-(9/16) = 7/16
==
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Sent: Thu, 22 Apr 2004 20:36:40 -0300
Subject: [obm-l] outro problema de probabilidade, onde errei?
> Notação: X[a] lê-se "X indice a"
> U[0,1] distribuicao uniforme no intervalo [0,1]
>
> Sejam (X[ij], i,j = 1,2) variaveis aleatorias independentes
> identicamente distribuidas, X[ij] ~ U[0,1].
> Calcular
> P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2]
>
> Para facilitar, vou chamar min{max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]}}
> de M.
> (e X11 estará subentendido que é X[11])
>
> Bom pessoal, eu pensei que a probabilidade pedida pode ser calculada
> da seguinte maneira:
>
> P[M = X11 e X11 <= 1/2] ou P[M = X12 e X12 <= 1/2] ou
> P[M = X21 e X21 <= 1/2] ou P[M = X22 e X22 <= 1/2]
>
> Pela simetria, as 4 probabilidades são iguais
> Entao basta calcular
> 4*P[M = X11 e X11 <= 1/2]
>
> Bom mas o evento M = X11 é equivalente a:
> X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}
>
> Então
>
> 4*P[M = X11 e X11 <= 1/2] =
> 4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2] (I)
>
> Bom ai que eu nao estou certo do que posso fazer.
> Para mim
> P[X11 = max{X11,X12}] = 1/2 (i)
> P[X11 = max{X11,X21,X22}] = 2/6 (ii)
> P[X11 <= 1/2] = 1/2 (iii)
>
> E eu não sei se desmembro ou a expressao (I) por Bayes.
>
> Ao que parece os eventos
> (X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2
> não sao independentes enquanto
> (X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) me parecem ser.
>
> Mas eu nao sei provar. Bom se isso for verdade, por Bayes:
>
> 4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22})|X11 <=1/2]*P[X11<=1/2]
> Mas com a condicao X11 <= 1/2 como ficam (i), (ii) e (iii) ?
> Como acabar o exercicio?
>
> Muito obrigado
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> Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
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Re: [obm-l] outro problema de probabilidade, onde errei?
Li com atencao sua resolucao e me pareceu muito boa prof. Morgado. Muito
obrigado. No mais, se possivel, gostaria que por gentileza indicasse se
o que eu estava desenvolvendo, apesar de ser um pouco mais atrapalhado
do que a sua maneira, estava correto.
Obrigado
Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2] =
1-P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } >= 1/2]=
1-P[{ max{X[11],X[12]}e max{X[21],X[22]} } >= 1/2]=
= 1- P[{ max{X[11],X[12]} >= 1/2]^2
Calculemos P[{ max{X[11],X[12]} >= 1/2]= 1-P[{ max{X[11],X[12]} <= 1/2]=
1-P[X[11]e X[12] >= 1/2] = 1- P[X[11]>=1/2]^2 = 1-(1/4) = 3/4
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U[0,1] distribuicao uniforme no intervalo [0,1]
Sejam (X[ij], i,j = 1,2) variaveis aleatorias independentes
identicamente distribuidas, X[ij] ~ U[0,1].
Calcular
P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2]
Para facilitar, vou chamar min{max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]}}
de M.
(e X11 estará subentendido que é X[11])
Bom pessoal, eu pensei que a probabilidade pedida pode ser calculada
da seguinte maneira:
P[M = X11 e X11 <= 1/2] ou P[M = X12 e X12 <= 1/2] ou
P[M = X21 e X21 <= 1/2] ou P[M = X22 e X22 <= 1/2]
Pela simetria, as 4 probabilidades são iguais
Entao basta calcular
4*P[M = X11 e X11 <= 1/2]
Bom mas o evento M = X11 é equivalente a:
X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}
Então
4*P[M = X11 e X11 <= 1/2] =
4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2] (I)
Bom ai que eu nao estou certo do que posso fazer.
Para mim
P[X11 = max{X11,X12}] = 1/2 (i)
P[X11 = max{X11,X21,X22}] = 2/6 (ii)
P[X11 <= 1/2] = 1/2 (iii)
E eu não sei se desmembro ou a expressao (I) por Bayes.
Ao que parece os eventos
(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2
não sao independentes enquanto
(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) me parecem ser.
Mas eu nao sei provar. Bom se isso for verdade, por Bayes:
4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22})|X11 <=1/2]*P[X11<=1/2]
Mas com a condicao X11 <= 1/2 como ficam (i), (ii) e (iii) ?
Como acabar o exercicio?
Muito obrigado
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