Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Boa dia! Para 11n +10^10 ser um quadrado perfeito se faz necessário que seja da forma (10^5+a)^2 com a > 0; pois, n>=1 e a <= [raiz(12)-1*10^5] onde[x]= parts inteira de x; pois, (10^5+a)^2 <=11*10^10+10^10 10^5+a <=raiz(12)*10^5 a <= (raiz(12)-1)*10^5 Temos também que 11| 2*10^5a +a^2; pois, (10^5+a)^2= 10^10+2*10^5*a+a^2=10^10 +11*n 10^5=-1mod11 então: -2a +a^2=0 mod11; a(a-2)=0 mod11. Como 11 é primo a=2 ou a=0 mod11. Agora é só contar quantos temos. n11=[[(raiz(12)-1)*10^5]/11]=22.400 n2=[([(raiz(12)-1)*10^5]-2)/11)]=22400 Nt=44.800 Saudações, PJMS Em qua, 27 de nov de 2019 20:36, Esdras Muniz escreveu: > Percebi agora que tô errado. Desculpa. > > Em qua, 27 de nov de 2019 19:22, Esdras Muniz > escreveu: > >> Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ..., >> [Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar. >> >> Estou usando [x] para demorar a parte interna de x. >> >> Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa >> escreveu: >> >>> 10^5([sqrt{2}]-1) ?? >>> >>> >>> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz < >>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >>> 10^5([sqrt{12}]-1) Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + > 10^10 são quadrados perfeitos? > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Percebi agora que tô errado. Desculpa. Em qua, 27 de nov de 2019 19:22, Esdras Muniz escreveu: > Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ..., > [Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar. > > Estou usando [x] para demorar a parte interna de x. > > Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa > escreveu: > >> 10^5([sqrt{2}]-1) ?? >> >> >> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz < >> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >> >>> 10^5([sqrt{12}]-1) >>> >>> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges < >>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10 são quadrados perfeitos? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ..., [Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar. Estou usando [x] para demorar a parte interna de x. Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa escreveu: > 10^5([sqrt{2}]-1) ?? > > > Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz < > esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > >> 10^5([sqrt{12}]-1) >> >> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges < >> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10 >>> são quadrados perfeitos? >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
10^5([sqrt{2}]-1) ?? Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz < esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > 10^5([sqrt{12}]-1) > > Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10 >> são quadrados perfeitos? >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
10^5([sqrt{12}]-1) Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10 > são quadrados perfeitos? > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10 são quadrados perfeitos? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Dois quadrados perfeitos são ditos amigáveis se um é obtido a partir do outro acrescentando o dígito 1 à esquerda. Por exemplo, 1225 = 352 e 225 = 152 são amigáveis. Prove que existem infinitos pares de quadrados perfeitos amigáveis e ímpares. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
A idéia é chegar numa equação de Pell. Começamos com 3x^2 - 2y^2 = 1. Multiplicando por 2: 6x^2 - 4y^2 = 2 Pondo z = 2y: z^2 - 6x^2 = -2 Elevando ao quadrado: (z^2 - 6x^2)^2 = 4 ==> (z^2 + 6x^2)^2 - 24x^2z^2 = 4 (usando o bom e velho (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab) Mas 6x^2 = z^2 + 2 ==> (2z^2 + 2)^2 - 24x^2z^2 = 4 Dividindo por 4: (z^2 + 1)^2 - 6x^2z^2 = 1. Pondo u = xz e v = z^2 + 1, obtemos: ´ v^2 - 6u^2 = 1. Esta nós sabemos resolver. É uma equação de Pell, cujas soluções são obtidas a partir da solução fundamental (u,v) = (2,5), usando-se uma relação de recorrência na linha do que sugeriu o Anderson: u(0) = 2v(0) = 5 u(k+1)*raiz(6) + v(k+1) = (u(k)*raiz(6) + v(k))*(2*raiz(6) + 5) ==> u(k+1) = 5*u(k) + 2*v(k) v(k+1) = 12*u(k) + 5*v(k) As soluções (u,v) são (2,5), (20,49), (198,485), (1960,4801), (19402,47525), ... Agora, u = xz = 2xy e v = z^2 + 1 = 4y^2 + 1 ==> y = raiz(v - 1)/2 e x = u/2y = u/raiz(v - 1) Os (x,y) correspondentes são: k = 0: (2,5) <==> (1,1) k = 2: (198,485) <==> (9,11) k = 4: (19402,47525) <==> (89,109) k = 6: (1901198,4656965) <==> (881,1079) ... Repare que só os (u(k),v(k)) com k par produzem soluções INTEIRAS da equação original. Aqueles com k ímpar também produzem soluções (x,y) de 3x^2 - 2y^2 = 1, mas não são inteiras (nem mesmo racionais). Isso é porque nós passamos de (x,y) (ou (x,z)) para (u,v) através de uma transformação quadrática (u = xz e v = z^2 - 1) Ao fazer isso, nós passamos a admitir que x e z pudessem ser, além de inteiros, irracionais quadráticos tais que xz e z^2 - 1 fossem inteiros. []s, Claudio. 2018-02-15 23:37 GMT-02:00 Anderson Torres : > Em 15 de fevereiro de 2018 22:02, marcone augusto araújo borges > escreveu: > > Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos? > > Claudio encontrou n = 3960 > > x^2=2n+1 > y^2=3n+1 > > 3x^2-2y^2=1 > > Usando algum truque, como (x*raiz(3) + y*raiz(2)) * (x*raiz(3) - > y*raiz(2)) = 1, eleva à N-ésima potência e expande, pode-se obter > outras soluções. > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Em 15 de fevereiro de 2018 22:02, marcone augusto araújo borges escreveu: > Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos? > Claudio encontrou n = 3960 x^2=2n+1 y^2=3n+1 3x^2-2y^2=1 Usando algum truque, como (x*raiz(3) + y*raiz(2)) * (x*raiz(3) - y*raiz(2)) = 1, eleva à N-ésima potência e expande, pode-se obter outras soluções. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] quadrados perfeitos
Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos? Claudio encontrou n = 3960 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
2n + 1 = a^2 ==> a é ímpar ==> 2n = a^2 - 1 é múltiplo de 8 ==> 2n = 8m ==> n = 4m 3n + 1 = b^2 ==> 12m + 1 = b^2 ==> b é ímpar ==> 12m = b^2 - 1 é múltiplo de 8 ==> 12m = 8k ==> 3m = 2k ==> m é par ==> n = 4m é múltiplo de 8 (i) Agora, precisamos provar que n é múltiplo de 5. 2n + 1 = a^2 3n + 1 = b^2 ==> Somando e subtraindo estas duas equações, obtemos: 5n + 2 = a^2 + b^2 == 2 (mod 5) n = b^2 - a^2 Mas os quadrados mod 5 são 0, 1 e 4. Logo, uma soma de dois quadrados só será congruente a 2 mod 5 se ambos forem congruentes a 1. Ou seja a^2 == b^2 == 1 (mod 5) ==> n = b^2 - a^2 == 0 (mod 5) ==> n é divisível por 5 (ii) (i) e (ii) ==> n é múltiplo de 40. *** Além da solução n = 40, eu achei n = 3960 ==> 2n + 1 = 7921 = 89^2 e 3n + 1 = 11881 = 109^2 []s, Claudio. 2018-02-14 21:57 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n. > Não é dificil mostrar. > Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2 > Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
blockquote, div.yahoo_quoted { margin-left: 0 !important; border-left:1px #715FFA solid !important; padding-left:1ex !important; background-color:white !important; } Não quero mais receber essas mensagens. Enviado do Yahoo Mail para iPhone Em quarta-feira, fevereiro 14, 2018, 9:32 PM, marcone augusto araújo borges escreveu: #yiv2809240828 P {margin-top:0;margin-bottom:0;}Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n.Não é dificil mostrar.Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] quadrados perfeitos
Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n. Não é dificil mostrar. Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2 Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Oi Marconi. Pq qualquer cara depois do 1444 qdo dividido por 4 dá um ímpar do tipo 36111 e esse ímpar pra ser quadrado de um sujeitinho tb ímpar deveria deixar resto 1 qdo dividido por 4. E não deixa, pois 36...110 qdo dividido por 4 deixa resto 2. Abs Nehab Em 15/05/2015 23:47, "marcone augusto araújo borges" < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Mostre que entre os números da forma 14,144,1444,144...4,... os únicos que > são quadrados perfeitos > são 144 e 1444 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Mostre que entre os números da forma 14,144,1444,144...4,... os únicos que são quadrados perfeitossão 144 e 1444 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Sim, se n é primo, n! não é quadrado perfeito. Além disto, se n é primo, então n + 1, n + 2 n + n - 1 = 2n - 1 não têm em suas fatorações o fator n. Logo, nas decomposições primas dos fatoriais destes números, n aparece com expoente 1, o que significa que nenhum destes fatoriais é quadrado perfeito. Disto concluimos que se um composto está ente um primo p e 2p, então n! não é quadrado perfeito. Mas todo composto está entre um primo p e 2p. Sendo m um composto, seja p o maior primo menor que m. Segundo um teorema, há um primo p' tal que p < p' < 2p. Como p é o maior primo menor que m, temos que p < m < p' < 2p, mostrando que m está entre p e 2p. Assim, para nenhum composto n! é quadrado perfeito. E como para n primo também não é, segue-se que n! só é quadrado perfeito para n = 0 ou n = 1. Isto mostra que, para todo n > 1, na decomposição de n! em fatores primos, há um p que aparece com expoente 1. Assim, na realidade, para n > 1, n! não é potência inteira > 1 de nenhum inteiro. Veja se cometi algum engano. Abraços Artur Artur Costa Steiner > Em 18/12/2014, às 22:59, marcone augusto araújo borges > escreveu: > > Determine todos os n tais que n! é quadrado perfeito. > > Eu diria n = 0 e n = 1.Mas como justificar? > > Se n é primo, n! não é quadrado perfeito. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Os casos 0! e 1! são os únicos exemplos em que um fatorial pode ser um quadrado perfeito. Vamos considerar N >= 2. Seja {p_i} (i natural) a sequência dos primos. Vamos usar a seguinte desigualdade (Chebychev): p_(n+1) < 2 * p_(n) para todo n natural. Seja também j natural tal que p_(j) <= N < p_(j+1). Assim, vamos ter: p_(j) <= N < p_(j+1) < 2 * p(j) <= (p(j))^2. Podemos reparar, então, que o piso de (N / p_(j)) = 1 e ainda que o piso de (N / p_(j)^(alpha)) = 0 para todo alpha >= 2. A fórmula de Polygnac afirma que o expoente de um primo p_(i) qualquer na expansão de N! é dado por: somatório_{alpha = 1}^{+ infty} piso((N / p_(i)^(alpha))). No caso do nosso primo p_(j), esse somatório é unitário. Assim, N! não pode ser um quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Determine todos os n tais que n! é quadrado perfeito. Eu diria n = 0 e n = 1.Mas como justificar? Se n é primo, n! não é quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Perfeito Raul :) Meu colega de trabalho coreano fez um programa em C que confirma sua previsão. []s - Original Message - From: Raul To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 6:50 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Pensei na seguinte solução: Para que o algarismo das unidades do quadrado do número seja ímpar, o número deve ser ímpar.Podemos representar qualquer natural ímpar como sendo 10a+b, onde a é natural e b é ímpar entre 1 e 9. (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 Vamos verificar a paridade do algarismo da dezena: - veja que o primeiro termo é multiplo de 100, portanto não altera o algarismo da dezena. - veja que o segundo termo é um número par (2ab) multiplicado por 10, logo só pode gerar um algarismo par para dezena. - veja que b^2 é o quadrado de um ímpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele só pode contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. Não altera assim o fato da dezena ser par. Concluímos que todo número ímpar elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente há dois números naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos ímpares: 1 e 3. Abraços, Raul - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Esse problema é bastante difícil. Consultando os arquivos, verifiquei que não houve resposta. Vou tentar esboçar alguns caminhos para solução. Primeiro note que o ÚLTIMO algarismo do número é impar. Então para algarismos de 1 número temos que -->1 -->9 são os únicos números ímpares que satisfazem esse critério. Ao pesquisar algarismos com dois números, verificamos que eles não existem. OU SEJA não existem algarismos de 2 números com quadrado perfeito composto apenas por algarismos ímpares. Vamos tentar entender porque: (10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + y^2 onde x e y são dígitos veja que temos 3 dígitos de modo que para o número ter 2 dígitos temos que x = 0. Neste caso resta apenas y^2. Examinando todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos que não há nenhum número nestas condições. Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio acima. Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares. (10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 +x_2) + y^2 = 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ y_2^2 = 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2) Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito de dois números então tem que ter os dois algarismos ímpares, o que não é possível. Também não podem ser de um número pois a combinação dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 tem 3 números... Não sei se dá para ir adiante com essas idéias. Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como Yuzo Shine criticarem-nas. Ronaldo L . Alonso - Original Message - From: Felipe Sardinha To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.2.6/287 - Release Date: 21/3/2006
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Pensei na seguinte solução: Para que o algarismo das unidades do quadrado do número seja ímpar, o número deve ser ímpar.Podemos representar qualquer natural ímpar como sendo 10a+b, onde a é natural e b é ímpar entre 1 e 9. (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 Vamos verificar a paridade do algarismo da dezena: - veja que o primeiro termo é multiplo de 100, portanto não altera o algarismo da dezena. - veja que o segundo termo é um número par (2ab) multiplicado por 10, logo só pode gerar um algarismo par para dezena. - veja que b^2 é o quadrado de um ímpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele só pode contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. Não altera assim o fato da dezena ser par. Concluímos que todo número ímpar elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente há dois números naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos ímpares: 1 e 3. Abraços, Raul - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Esse problema é bastante difícil. Consultando os arquivos, verifiquei que não houve resposta. Vou tentar esboçar alguns caminhos para solução. Primeiro note que o ÚLTIMO algarismo do número é impar. Então para algarismos de 1 número temos que -->1 -->9 são os únicos números ímpares que satisfazem esse critério. Ao pesquisar algarismos com dois números, verificamos que eles não existem. OU SEJA não existem algarismos de 2 números com quadrado perfeito composto apenas por algarismos ímpares. Vamos tentar entender porque: (10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + y^2 onde x e y são dígitos veja que temos 3 dígitos de modo que para o número ter 2 dígitos temos que x = 0. Neste caso resta apenas y^2. Examinando todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos que não há nenhum número nestas condições. Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio acima. Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares. (10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 +x_2) + y^2 = 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ y_2^2 = 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2) Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito de dois números então tem que ter os dois algarismos ímpares, o que não é possível. Também não podem ser de um número pois a combinação dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 tem 3 números... Não sei se dá para ir adiante com essas idéias. Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como Yuzo Shine criticarem-nas. Ronaldo L . Alonso - Original Message - From: Felipe Sardinha To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.2.6/287 - Release Date: 21/3/2006
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Esse problema é bastante difícil. Consultando os arquivos, verifiquei que não houve resposta. Vou tentar esboçar alguns caminhos para solução. Primeiro note que o ÚLTIMO algarismo do número é impar. Então para algarismos de 1 número temos que -->1 -->9 são os únicos números ímpares que satisfazem esse critério. Ao pesquisar algarismos com dois números, verificamos que eles não existem. OU SEJA não existem algarismos de 2 números com quadrado perfeito composto apenas por algarismos ímpares. Vamos tentar entender porque: (10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + y^2 onde x e y são dígitos veja que temos 3 dígitos de modo que para o número ter 2 dígitos temos que x = 0. Neste caso resta apenas y^2. Examinando todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos que não há nenhum número nestas condições. Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio acima. Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares. (10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 +x_2) + y^2 = 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ y_2^2 = 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2) Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito de dois números então tem que ter os dois algarismos ímpares, o que não é possível. Também não podem ser de um número pois a combinação dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 tem 3 números... Não sei se dá para ir adiante com essas idéias. Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como Yuzo Shine criticarem-nas. Ronaldo L . Alonso - Original Message - From: Felipe Sardinha To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! Search Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
[obm-l] quadrados perfeitos
Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul
Re: [obm-l] quadrados perfeitos(o que e Ferrari?)
Mas que e Ferrari alem de um carro de luxo?Se for aquele de quarto grau acho que nao da pois nem sempre e garantia de soluçoes bonitinhas. Wagner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Ola para todos! Seja a^2+4b = (a+c)^2 = a^2+2ac+c^2 => b = (c^2+2ac)/4 => b^2+4a = (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a)/16 ( I ). Logo os valores de (a,b) válidos são os que satisfazem (a+c) inteiro e (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a) quadrado perfeito. É necessário decompor ( I ) em fatores de 1º grau, o que pode ser feito pelo método de Ferrari e a partir desses fatores, fazer novas deduções. André T. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM Subject: [obm-l] quadrados perfeitos 1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, Marcelo MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Ola para todos! Seja a^2+4b = (a+c)^2 = a^2+2ac+c^2 => b = (c^2+2ac)/4 => b^2+4a = (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a)/16 ( I ). Logo os valores de (a,b) válidos são os que satisfazem (a+c) inteiro e (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a) quadrado perfeito. É necessário decompor ( I ) em fatores de 1º grau, o que pode ser feito pelo método de Ferrari e a partir desses fatores, fazer novas deduções. André T. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM Subject: [obm-l] quadrados perfeitos 1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, Marcelo MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Olá , Esta questão é de uma Olimpíada Asiática de 99 e cuja solução se encontra em http://www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol994.html []´s Carlos Victor At 15:00 1/12/2002 -0200, Wagner wrote: Oi pessoal ! Não consegui chegar a uma resposta, mas consegui perceber alguns detalhes que ajudam a reduzir as possibilidades de valores para (a,b). Primeiro temos que (a,b) devem ser inteiros e que se um nº for impar, o outro será par não divisível por 4, logo se |a|,|b| > 2 implica que a e b não podem ser simultaneamente primos. Também percebi que se para (a,b) temos (a^2+4b) e (b^2+4a) quadrados perfeitos, não temos isso para (ax,bx), x inteiro diferente de 1,0 ou -1. André T. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM Subject: [obm-l] quadrados perfeitos 1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, Marcelo MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Oi pessoal ! Não consegui chegar a uma resposta, mas consegui perceber alguns detalhes que ajudam a reduzir as possibilidades de valores para (a,b). Primeiro temos que (a,b) devem ser inteiros e que se um nº for impar, o outro será par não divisível por 4, logo se |a|,|b| > 2 implica que a e b não podem ser simultaneamente primos. Também percebi que se para (a,b) temos (a^2+4b) e (b^2+4a) quadrados perfeitos, não temos isso para (ax,bx), x inteiro diferente de 1,0 ou -1. André T. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM Subject: [obm-l] quadrados perfeitos 1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, Marcelo MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
[obm-l] quadrados perfeitos
1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, MarceloMSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Sauda,c~oes, Tive problemas para enviar esta mensagem. Mando-a em separado e junto com a outra do assunto original em reply. Este problema caiu no 61o Concurso Putnam.Acho que corresponde ao ano 2000. Não me lembrava mais que o prof. Rousseau havia memandado a solução deste problema. Aí vai ela: SIXTY-FIRST ANNUAL WILLIAM LOWELL PUTNAM COMPETITION {\bf Probem A2.} Prove that there exist infinitely many integers $n$ such that $n, n+1$, and $n+2$ are each the sum of two squares. Example: $0 = 0^2 + 0^2; 1 = 0^2 + 1^2; 2 = 1^2 + 1^2. {\bf Solution.} For completeness, we first prove the following well-known fact. {\sc Lemma.} If $m$ and $n$ are each the sum of two squares, then so is $mn$. More generally, if $m_1, m_2, \ldots, m_k$ are each the sum of two squares, then so is $m_1m_2\cdots m_k$. \begin{proof} Suppose $m = a^2 + b^2$ and $n = c^2 + d^2$. Then \[ mn = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2. \] Having proved the result for $k = 2$, the general result follows by an obvious use of mathematical induction. \end{proof} Suppose $k$ and $k+1$ are each the sum of two squares, and set $n = (2k+1)^2 - 1 = 4k(k+1)$. Since $4 = 2^2 + 0^2$, $k$, and $k+1$ are each the sum of two squares, the lemma shows that $n$ is the sum of two squares. Also $n+1 = (2k+1)^2 + 0^2$ and $n+2 = (2k+1)^2 + 1^2$ are each the sum of two squares. Clearly $n > k$. The fact that there are infinitely many triples $(n,n+1,n+2)$ where each member is the sum of two squares follows inductively. []'s Luís
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
a figura nao chegou aki... - Original Message - From: Paulo Jose B. G. Rodrigues To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 13, 2002 8:57 AM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Alguém poderia me ajudar nessa kestão: Prove q existem infinitos numeros naturais x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados perfeitos. ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2. até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 4... alguém pode pode ajudar? Uma solução para essa questão foi publicada em Fortaleza na Coluna Olimpíada de Matemática do Jornal O Povo:
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Alguém poderia me ajudar nessa kestão: Prove q existem infinitos numeros naturais x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados perfeitos. ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2. até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 4... alguém pode pode ajudar? Uma solução para essa questão foi publicada em Fortaleza na Coluna Olimpíada de Matemática do Jornal O Povo:
[obm-l] quadrados perfeitos
Alguém poderia me ajudar nessa kestão: Prove q existem infinitos numeros naturais x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados perfeitos. ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2. até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 4... alguém pode pode ajudar? []´s hugo