[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
OK, Bom, o Marcio Cohen sugeriu analisar a convergencia de uma outra serie interessante: Soma (n =2, oo) 1/(l(n)^ln(n)). Pensei em aplicar o fato de que esta serie converge sse Soma k=1, oo) s_k = Soma 2^k a_(2^k) convergir. Para todo n, s_k = 2^k/(ln(2^k)^ln(2^k)). O denominador eh ln(2^k)^ln(2^k) = (k* ln(2))^(k*ln(2)) = [(k*ln(2))^ln(2)]^k . Logo, s_k = [2/[(k*ln(2))^ln(2)]^k. Quando k -> oo, (k*ln(2))^ln(2) -> oo, pois ln(2) > 0. Assim, para k suficientemente grande temos (k*ln(2))^ln(2) > 4 e, portanto, 0 < s_k < (2/4)^k =(1/2)^k. Como a serie geometrica Soma (1/2)^k converge, Soma s_k tambem converge. Logo, Soma (n=2, oo) a_n comverge [Artur Costa Steiner] gem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não lembrava... Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da "escada" que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| <= M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 <= a_n <= b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não lembrava... Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da "escada" que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| <= M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 <= a_n <= b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2007 22:13 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) < 4*log(4) e 4*log(4) =< 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) < 8*log(8) , 6*log(6) < 8*log(8) , 7*log(7) < 8*log(8) e 8*log(8) =< 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) < 16*log(16), 10*log(10) < 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) =< 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... > ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o "Teste M de Weiertrass" ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
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Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da "escada" que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| <= M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 <= a_n <= b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2007 22:13 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) < 4*log(4) e 4*log(4) =< 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) < 8*log(8) , 6*log(6) < 8*log(8) , 7*log(7) < 8*log(8) e 8*log(8) =< 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) < 16*log(16), 10*log(10) < 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) =< 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... > ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o "Teste M de Weiertrass" ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Provavelmente voce ja conhece ou esta estudando as leis basicas que explicam os fenomenos mais simples relativos as series numericas, algo que todo bom livro de introducao a Analise aborda ... mas e sempre bom estarmos atentos as limitacoes daquilo que ja sabemos. No que concerne diretamente as series numericas, verifique se voce consegue tratar DIRETAMENTE com o que aprendeu nos livros, POR EXEMPLO, as questoes : PROBLEMA 1 : Seja f(N) = - ( 1 + cos(N) ), onde N e natural, e considere a serie numerica S=1 + (2^f(2)) + (3^f(3)) + ... + (N^f(N)) + ... Esta serie converge ou diverge ? PROBLEMA 2 : Sejam An = 1/(B + C*n), onde B e C sao naturais nao nulos e P um natural maior que 1. Se P divide "n" faca Bn = - An senao faca Bn = An. Considere agora a serie S = B1 + B2 + B3 + ... + Bi + ... Esta serie converge ou diverge ? Se voce observar, no PROBLEMA 1, que pode agrupar os expoentes dos denominadores das fracoes em duas classes : "MAIORES QUE 1" e "MENORES QUE 1", vai concluir que os dois problemas estao ligados e que o PROBLEMA 2 e um caso mais simples do 1. E bom portanto comecar pelo 2. O PROBLEMA 2 admite uma generalizacao para series condicionalmente convergentes. Um Abracao Paulo Santa Rita 2,0132,110407 Em 10/04/07, Claudio Gustavo<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] séries numéricas
Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) < 4*log(4) e 4*log(4) =< 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) < 8*log(8) , 6*log(6) < 8*log(8) , 7*log(7) < 8*log(8) e 8*log(8) =< 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) < 16*log(16), 10*log(10) < 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) =< 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... > ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o "Teste M de Weiertrass" ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Obrigado pelas soluções. Tb peguei a solução do Rudin. Abraço, CG. Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) < 4*log(4) e 4*log(4) =< 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) < 8*log(8) , 6*log(6) < 8*log(8) , 7*log(7) < 8*log(8) e 8*log(8) =< 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) < 16*log(16), 10*log(10) < 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) =< 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... > ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o "Teste M de Weiertrass" ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Obrigado pelas soluções. Tb peguei a solução do Rudin. Abraço, CG. Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) < 4*log(4) e 4*log(4) =< 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) < 8*log(8) , 6*log(6) < 8*log(8) , 7*log(7) < 8*log(8) e 8*log(8) =< 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) < 16*log(16), 10*log(10) < 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) =< 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... > ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o "Teste M de Weiertrass" ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) < 4*log(4) e 4*log(4) =< 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) < 8*log(8) , 6*log(6) < 8*log(8) , 7*log(7) < 8*log(8) e 8*log(8) =< 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) < 16*log(16), 10*log(10) < 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) =< 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) > ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... > ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o "Teste M de Weiertrass" ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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-Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Artur Costa Steiner Enviada em: segunda-feira, 9 de abril de 2007 10:02 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Temos, para todo r>0, que a funcao f(x) = 1/(x*(Log(x)^r)) eh positiva e montonicamente decrescente em [e^(-r) , oo). (pode checar determinando a derivada). Assim, o teste da integral eh aplicavel. Se ha I = Int (2 a oo) 1/(x*(Log(x)^r))dx = Int (2 a oo) (1/x)* (Log(x))^(-r))dx Se r<>1, r>0, entao I = [-1/(-r + 1) * (Log(x))^(-r + 1)] (2 a oo). Para nossos objetivos, soh interssa o limite desta funcao quando x -> oo. Se 0 < r <1, entao - r+ 1 >0 e a integral vai para infinito. Logo, a serie tambem diverge, indo para oo. Se r >1, -r + 1 <0 e como Log(x) -> oo, (Log(x))^(-r + 1) -> 0, der modo que a integral e a serie convergem. Se r= 1, entao nossa integral eh simplesmente I = Log(Log(x) [2 a oo) que diverge. Conclusao: se 0 < r <=1, a serie diverge se r > 1, a serie converge. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Arlane Manoel S Silva Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito > de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. > Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n > diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Acho que aqui o critério da integral eh de fato um dos mais indicados. A comparacao com a serie harmonica nao prove informacao, porque, para todo r>0, para n suficientemente grande temos 1/(n*log(n)^r) < 1/n. Como a serie harmonica diverge, nada concluimos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Arlane Manoel S Silva Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito > de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. > Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n > diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] séries numéricas
É isso mesmo! E por coincidência acabei de pegar o livro do Rudin! Obrigado. Abraço, Claudio Gustavo. Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Essa questão, se me lembro bem, é do Elon "fino" (Análise Real, Vol. 1). O "Curso de Análise, Vol. 1" do Elon tem uma questão que praticamente resolve essa e que é útil em diversas outras situações. Ela é a seguinte: Prove que somatório(k=1, k=infinito) (a_k) converge se e só se somatório(k=1, k = infinito) (2^k * a_(2^k)) converge. (Ela tá na última página do capítulo de sequências e séries de tal livro). Se não souber prová-la (a idéia é parecida com a idéia da prova da divergência da série harmônica), dê uma olhada no livro do Rudin. Lá, esta questão é um teorema. -- Abraços, Maurício On 4/7/07, Claudio Gustavo wrote: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
É isso mesmo! E por coincidência acabei de pegar o livro do Rudin! Obrigado. Abraço, Claudio Gustavo. Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Essa questão, se me lembro bem, é do Elon "fino" (Análise Real, Vol. 1). O "Curso de Análise, Vol. 1" do Elon tem uma questão que praticamente resolve essa e que é útil em diversas outras situações. Ela é a seguinte: Prove que somatório(k=1, k=infinito) (a_k) converge se e só se somatório(k=1, k = infinito) (2^k * a_(2^k)) converge. (Ela tá na última página do capítulo de sequências e séries de tal livro). Se não souber prová-la (a idéia é parecida com a idéia da prova da divergência da série harmônica), dê uma olhada no livro do Rudin. Lá, esta questão é um teorema. -- Abraços, Maurício On 4/7/07, Claudio Gustavo wrote: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
É isso mesmo! E por coincidência acabei de pegar o livro do Rudin! Obrigado. Abraço, Claudio Gustavo. Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Essa questão, se me lembro bem, é do Elon "fino" (Análise Real, Vol. 1). O "Curso de Análise, Vol. 1" do Elon tem uma questão que praticamente resolve essa e que é útil em diversas outras situações. Ela é a seguinte: Prove que somatório(k=1, k=infinito) (a_k) converge se e só se somatório(k=1, k = infinito) (2^k * a_(2^k)) converge. (Ela tá na última página do capítulo de sequências e séries de tal livro). Se não souber prová-la (a idéia é parecida com a idéia da prova da divergência da série harmônica), dê uma olhada no livro do Rudin. Lá, esta questão é um teorema. -- Abraços, Maurício On 4/7/07, Claudio Gustavo wrote: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
É isso mesmo! E por coincidência acabei de pegar o livro do Rudin! Obrigado. Abraço, Claudio Gustavo. Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Essa questão, se me lembro bem, é do Elon "fino" (Análise Real, Vol. 1). O "Curso de Análise, Vol. 1" do Elon tem uma questão que praticamente resolve essa e que é útil em diversas outras situações. Ela é a seguinte: Prove que somatório(k=1, k=infinito) (a_k) converge se e só se somatório(k=1, k = infinito) (2^k * a_(2^k)) converge. (Ela tá na última página do capítulo de sequências e séries de tal livro). Se não souber prová-la (a idéia é parecida com a idéia da prova da divergência da série harmônica), dê uma olhada no livro do Rudin. Lá, esta questão é um teorema. -- Abraços, Maurício On 4/7/07, Claudio Gustavo wrote: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até > infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, > converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois > a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Essa questão, se me lembro bem, é do Elon "fino" (Análise Real, Vol. 1). O "Curso de Análise, Vol. 1" do Elon tem uma questão que praticamente resolve essa e que é útil em diversas outras situações. Ela é a seguinte: Prove que somatório(k=1, k=infinito) (a_k) converge se e só se somatório(k=1, k = infinito) (2^k * a_(2^k)) converge. (Ela tá na última página do capítulo de sequências e séries de tal livro). Se não souber prová-la (a idéia é parecida com a idéia da prova da divergência da série harmônica), dê uma olhada no livro do Rudin. Lá, esta questão é um teorema. -- Abraços, Maurício On 4/7/07, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] séries numéricas
Obrigado. Pois é, mas essa questão é referente à parte inicial de Análise do livro do Elon, então não queria colocar integrais na solução... Arlane Manoel S Silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo : > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito > de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. > Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n > diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Oi Cláudio, Bem vindo a lista. Uma sugestão é verificar que para qualquer função positiva decrescente f, (e em particular para as duas funções que vc considerou), Somatório_n=2..oo_f(n) converge se e somente se Integral_x=2..oo_f(x) converge (veja isso pela definição de integral ou pela comparação das áreas dos gra'ficos). No 1o caso, f(x) = 1/x/logx e a integral indefinida vale log(logx), que pode ficar tão grande quanto se queira. Para a funcao f(x)=1/x/log^r(x) com r>1, a integral indefinida vale -1/((logx)^(r-1))/(r-1), que tende ao valor finito +1/(r-1)/log2 quando x tende a infinito. Fica como exercício analisar a convergência da série cujo termo geral é 1/(logn)^(logn). Abraços, Marcio Cohen On 4/7/07, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito > de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. > Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n > diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
