[obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito evidente. Talvez haja uma solucao mais simples: Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3., x em [0, 2*pi], nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo. Artur O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de funcoes continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem nenhum asubsequencia convergente. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao "n~ao-evidente", mas como eu acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um fato "bem-conhecido" que estas funç~oes formam uma base para este espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo teorema de Convergência Dominada, \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na integral com eps/2). Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n -> f pontualmente, f está em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a contrapositiva...) Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por partes) Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo "resumindo"): sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito > evidente. Talvez haja uma solucao mais simples: > > Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3., x em [0, 2*pi], > nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo. > > Artur > > O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de funcoes > continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem > nenhum asubsequencia convergente. > > Artur > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Oi Bernardo, esta sua solucao eh ainda mais legal do que a que eu consegui dar uma vez (depois que me deram uma porcao de sugestoes...). Eh na linha da sua, mas eu me restringi aaa integral de Riemann. Se alguma subsequencia (sen(n_k*x) de (sen(n*x)) convergisse em [0, 2*pi], entao o criterio de Cauchy implicaria que lim (sen(n_(k+1)* x - sen(n_k* x) = 0 para todo x de [0, 2*pi]. Logo, pensando tambem em quadrados, teriamos que lim ((sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)) = 0. Pelo teorema da Convergencia Dominada, aplicado ao caso de Riemann, teriamos entao que lim Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)dx = Int (0 a 2pi) 0 dx = 0. Mas, com algum trabalho, podemos verificar que, para todo k, Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x))^2 = 2*pi. Para concluir isto, basta fazer algumas substituicoes trigonometricas, eh um pouco trabalhoso mas facil. Assim, a subsequencia das integrais eh constante e converge trivialmente para 2*pi, contrariando a conclusao anterior de que tem que convergir para 0. Logo (sen(n*x) nao pode ter nenhuma subsequencia que convirja em [0, 2*pi]. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: segunda-feira, 10 de outubro de 2005 16:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao "n~ao-evidente", mas como eu acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um fato "bem-conhecido" que estas funç~oes formam uma base para este espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo teorema de Convergência Dominada, \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na integral com eps/2). Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n -> f pontualmente, f está em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a contrapositiva...) Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por partes) Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo "resumindo"): sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito > evidente. Talvez haja uma solucao mais simples: > > Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3., x em [0, 2*pi], > nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo. > > Artur > > O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de funcoes > continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem > nenhum asubsequencia convergente. > > Artur > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Bom, ontem eu estava sem muito tempo, mas aqui vai um "pequeno" resumo de convergências diferentes sentidos, com as implicaç~oes que funcionam, e as condiç~oes a adicionar para fazer funcionar as outras: Conv Uniforme (ou L^\infty) => Conv Quase-Uniforme => Conv qtp Conv Quase-Uniforme => Conv em Medida Conv Quase-Uniforme + seq Dominada => Conv em L^p para p finito Conv qtp + seq Dominada => Conv em L^p para p finito Conv qtp + medida finita => Conv Quase-Uniforme Conv qtp + ( medida finita OU seq Dominada ) => Conv em Medida (Para p finito) Conv L^p => Conv em Medida Conv L^p => existe uma subseqüência que Converge qtp Conv L^p => existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente Conv L^p exponencialmente rápida => Conv Quase-Uniforme Conv em Medida => existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente => esta subseqüência converge qtp Conv em Medida + seq Dominada => Conv em L^p para p finito Conv em Medida exponencialmente rápida => Conv qtp Bom, agora a referência (para demonstraç~oes e uma figurinha bem bonita) Curso de Teoria da Medida, A. Armando de Castro Jr, Projeto Euclides / IMPA, pag 103 e 104 Até mais, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi Bernardo, esta sua solucao eh ainda mais legal do que a que eu consegui > dar uma vez (depois que me deram uma porcao de sugestoes...). Eh na linha da > sua, mas eu me restringi aaa integral de Riemann. > > Se alguma subsequencia (sen(n_k*x) de (sen(n*x)) convergisse em [0, 2*pi], > entao o criterio de Cauchy implicaria que lim (sen(n_(k+1)* x - sen(n_k* x) > = 0 para todo x de [0, 2*pi]. Logo, pensando tambem em quadrados, teriamos > que lim ((sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)) = 0. Pelo teorema da > Convergencia Dominada, aplicado ao caso de Riemann, teriamos entao que lim > Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)dx = Int (0 a 2pi) 0 dx = 0. > > > Mas, com algum trabalho, podemos verificar que, para todo k, Int (0 a 2*pi) > (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x))^2 = 2*pi. Para concluir isto, basta fazer > algumas substituicoes trigonometricas, eh um pouco trabalhoso mas facil. > Assim, a subsequencia das integrais eh constante e converge trivialmente > para 2*pi, contrariando a conclusao anterior de que tem que convergir para > 0. Logo (sen(n*x) nao pode ter nenhuma subsequencia que convirja em [0, > 2*pi]. > > Artur > > > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] > nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa > Enviada em: segunda-feira, 10 de outubro de 2005 16:31 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes > > > Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao "n~ao-evidente", mas como eu > acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao > é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: > > Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um > fato "bem-conhecido" que estas funç~oes formam uma base para este > espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi > f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é > claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, > ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência > ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um > pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e > integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente > pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para > algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao > uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo > teorema de Convergência Dominada, > \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para > zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na > integral com eps/2). > Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que > nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao > pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n -> f pontualmente, f > está em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a > contrapositiva...) > > Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o > que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi > sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n > > I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) > dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por > partes) > Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 > > Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo "resumindo"): > sin(n*x) é ortonorma
