Oi Samuel e demais colegas da lista,
2011/3/27 Samuel Wainer :
> Sejam W1 e W2 dois subespaços de um espaço vetorial V tais W2 C W1 C V
>
> É verdade que W1/W2 é subespaço de V/W2?
Bom, vamos por partes. A primeira coisa é ver qual é a definição de W1
/ W2, você dá logo abaixo num exemplo, eu vou só formalizar:
Seja V um espaço vetorial, W um subespaço vetorial. O conjunto V / W é
composto das classes de equivalência [a] = {b em V / b - a pertence a
W}.
Lema: V / W é um espaço vetorial.
Prova: Sejam [x], [y] elementos de V/W. Defina [x] + [y] = [x+y]. Isso
está bem definido porque se tivermos [x] = [z] e [y] = [t], então
existem c e d pertencentes a W tais que x = z - c e y = t - d, e
portanto [z+t] = {b em V / b - (z+t) pertence a W} = {b em V / b -
(x+y) - c - d pertence a W} e como c e d pertencem a W, que é um
espaço vetorial, se (b - (x+y) - c - d) pertence a W, então (b -
(x+y)) também pertence a W, e inversamente. Da mesma forma, k*[x] =
[k*x] e [k*x] = [k*z] da mesma forma.
Note que esse lema é importante para que você possa dizer que W1/W2 é
um subespaço de V/W2: é necessário que ambos sejam espaços vetoriais
para a frase ter sentido.
> Pois se [a] está em W1/W2 então [a] = {b em W1 tq a - b está em W2} mas
> este conjunto não está contido em V/W2. porque quem mora em V/W2 é da forma:
> [d] = {c em V tq c - d está em W2}
> Eu entendi que o conj. [a] = {b em W1 tq a - b está em W2} está contido em
> {b em V tq a - b está em W2} que pertence à V/W2. Mas [a] = {b em W1 tq a
> - b está em W2} não pertence à V/W2. Portanto não é subespaço.
Eu acho que o "problema" está aqui, e vou começar com um exemplo para
tentar explicar porque é verdade.
Seja V = R^3, W1 = R^2 x {0} e W2 = R x {(0,0)}.
Assim, pense W1 como "vetores de R^3 com a última coordenada igual a
zero", e os de W2 como os que tem as duas últimas iguais a zero.
Quem é V / W2 ? São as classes de vetores de R^3, dois vetores estando
na mesma classe se a diferença estiver em W2, ou seja, se a diferença
das duas últimas coordenadas for zero, ou seja, se as duas últimas
coordenadas forem iguais. Alguns exemplos:
[(0,0,0)] = [(1,0,0)] = W2 = "classe nula" (note que todos os
elementos de W2 correspondem à mesma classe, e o conjunto da classe é
exatamente W2. Aliás, uma idéia legal é ver esse V / W2 como o
conjunto das translações do subespaço W2, e como transladar "na
direção de W2" não altera - pois é um espaço vetorial - tem "menos"
elementos do que em V)
[(3, 4, 5)] = [(0, 4, 5)] = [(-3, 4, 5)] = {b em V tal que b - (0,4,5)
pertence a W2} = {v2 + (0,4,5) em V tal que v2 pertence a W2} = W2 +
(0,4,5) (Notação: o conjunto A + v é o conjunto {v + a tal que a
pertence a A})
[(1, 2, 0)] = [(0,2,0)] = W2 + (0,2,0).
Note que V / W2 pode ser pensado como "as duas últimas coordenadas do
vetor". Isso funciona porque eu escolhi subespaços "bonitinhos", mas a
idéia é a mesma no caso geral.
Bom, agora quem é W1 / W2? São as classes de vetores de R^3, cuja
última coordenada é nula, e que são iguais se a diferença das duas
últimas coordenadas é zero. As diferenças da última coordenada serem
zero dá sempre certo. Isso porque W1 é um subespaço que contém W2. Dos
exemplos acima, [(0,0,0)] e [(1,2,0)] funcionam, e [(3,4,5)] não. Veja
porquê:
[(0,0,0)] (em V/W2) = {b em V tal que b pertence a W2}
[(0,0,0)] (em W1/W2) = {b em W1 tal que b pertence a W2}
Mas ambas são "a classe de W2", porque ambas são o mesmo conjunto W2.
Idem para [(1,2,0)] em V/W2 ou W1/W2: ambas correspondem a W2 +
(0,2,0), que gera vetores em W1, que também são de W2, e, inversamente
(e esta é a parte importante) todo vetor b de V tal que b - (1,2,0)
pertence a W2, como W2 está contido em W1 que é um espaço vetorial, b
- (1,2,0) pertence a W1, e como (1,2,0) pertence a W1, b pertence a
W1. Ou seja, os conjuntos representando uma classe de que "provém de
W1/W2" são os mesmos, quer consideremos todos os vetores de V ou
apenas os de W1.
Bom, com isso eu provei que W1 / W2 está contido em V / W2. E como
ambos são espaços vetoriais, e que as operações de W1/W2 são definidas
exatamente como as de V/W2, W1 / W2 é realmente um subespaço de V /
W2.
> Vi esta afirmação de que W1/W2 é subespaço de V/W2, mas não sei se meu
> racocínio está certo.
Espero que você tenha conseguido fazer uma imagem mental dos
quocientes com o que eu falei e o que você sabia. Qualquer coisa,
pergunte !
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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