Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-l,
A sua solucao e bonita e usa recursos do nivel no qual ela foi proposta.
Segundo a pessoa que me mostrou, a questao foi apresentada para alunos com
grau de estudo equivalente ao nosso nivel 2 ( setima e oitava series ). Essa
a razao de nao se poder usar calculo na resolucao. Nao sei de qual pais e.
Na resposta considerava-se que zero tambem era raiz.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,2325,050803
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] x^x = 2^(-raiz(x))
Date: Tue, 05 Aug 2003 19:05:51 -0300
on 01.08.03 15:10, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Pessoal !
Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) :
Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a
raiz
quadrada de X.
Regra : Nao vale usar calculo !
Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1508,010803
Oi, Paulo:
O universo de x tem que ser o conjunto dos reais positivos.
x^x = 2^(-raiz(x)) ==
(x^raiz(x))^raiz(x) = (1/2)^raiz(x) ==
x^raiz(x) = 1/2
Vamos supor que x = 1/2^n. Nesse caso:
x^raiz(x) = (1/2^n)^(1/2^(n/2)) = (1/2)^(n/2^(n/2)) = 1/2 ==
n/2^(n/2) = 1 ==
n = 2^(n/2) ==
n^2 = 2^n ==
n = 2 ou n = 4 ou n = -a,
onde a eh um numero real positivo menor do que 1 e tal que a^2 = 2^(-a)
(repare que os graficos de y = x^2 e y = 2^x se intersectam num ponto de
abscissa negativa igual a -a. Nao faco a menor ideia se a eh racional ou
irracional ou mesmo transcendente, mas apostaria nessa ultima alternativa)
n 4 == 2^n n^2 == n = 4 eh a maior solucao de n^2 = 2^n
Portanto:
n = 2 == x = 1/4
Testando:
x^x = (1/4)^(1/4) = (1/2)^(1/2) = 1/raiz(2)
2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/4)) = 2^(-1/2) = 1/raiz(2) ==
x = 1/4 eh raiz
n = 4 == x = 1/16
Testando:
x^x = (1/16)^(1/16) = (1/2)^(4/16) = 1/2^(1/4)
2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/16)) = 1/2^(1/4) ==
x = 1/16 eh raiz
n = -a == x = 2^a
Testando:
x^x = (2^a)^(2^a) = 2^(a*2^a) = 2^(a/a^2) = 2^(1/a)
2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(2^a)) = 2^(-raiz(1/a^2)) = 2^(-1/a) ==
x = 2^a nao eh raiz
Assim, a equacao original tem 2 solucoes: x = 1/4 e x = 1/16.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
