Re: [obm-l] problema GP
OK... como bom paulista, eu fiz com trigonometria... Afinal, moro na terra onde o seno é a lei... Podemos supor, sem perda de generalidade, que BD = 1. Logo CD = 2. No triângulo ABD, aplique a lei dos senos: AD/sen 45 = BD/sen 15 <=> AD = sen 45/sen 15 Seja c = m(ACB). Usando a lei dos senos agora no triângulo ACD, temos m(DAC) = 120 - c e AD/sen c = CD/sen(120-c) <=> sen 45/(sen 15*sen c) = 2/sen(120-c) <=> sen(120-c)/sen c = 2sen 15/sen 45 Agora, vamos aplicar o "truque da co-tangente": sen(120-c) = sen 120*cos c - sen c*cos 120 <=> sen(120-c)/sen c = sen 120*cotg c - cos 120 Substituindo temos sen 120*cotg c - cos 120 = 2sen 15/sen 45 <=> sen 120*cotg c = cos 120 + 2sen 15/sen 45 Subsituindo os valores numéricos (o mais desconhecido é sen 15 = (sqrt(6) - sqrt(2))/4), temos (sqrt(3)/2)*cotg c = -1/2 + (sqrt(6)- sqrt(2))/sqrt(2) <=> cotg c = -1/sqrt(3) + 2 - 2/sqrt(3) <=> cotg c = 2 - sqrt(3) <=> tg c = 2 + sqrt(3) Logo c = 75 graus. Para quem não se convenceu de que c = 75 graus, calcule tg 2c: tg 2c = 2tg c/(1 - tg^2 c) = 2(2 + sqrt(3))/(1 - 7 - 4sqrt(3)) = -(4 + 2sqrt(3))/(6 + 4sqrt(3)) = -1/sqrt(3) = tg 150 Logo 2c = 150 <=> c = 75. []'s Shine --- Josimar <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Passaram-me o problema abaixo, juntamente com uma resolucao magica. > Gostaria de ver outras, se possivel. > > Dado um triangulo ABC com o angulo B=45 graus. Traça-se a ceviana AD de modo que BAD=15 graus e CD=2BD. Determine a medida do angulo ACB. > > []s, Josimar > __ Do You Yahoo!? Yahoo! Sports - live college hoops coverage http://sports.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] problema GP
Saudacoes a todos, Bem, vamos ver se essa aqui tambem pode ser considerada magica :) Localize o ponto P, sobre o segmento AD, de tal forma que o angulo PBD, que daqui pra frente chamaremos de ang(PBD), seja igual a 30. Localize o ponto Q, sobre o segmento DC, tal que ang(DPQ) = 60. (I) Observe que PB = PA, uma vez que ang(ABP) = ang(BAP) = 15 Seja BD = x. O triangulo PBD é isosceles (lembre-se que ang(ADC) = 60 e ang(PBD) = 30) e, portanto, PD = BD = x. O triangulo PDQ é equilatero (lembre-se que ang(DPQ) = 60) e, portanto, PQ = DQ = PD = BD = x. Por outro lado, DC = 2BD = 2x => QC = x (pois DQ = x) Agora fica facil... Conclua que os triangulos BDP e PQC sao congruentes (sao isosceles, da forma 30-120-30, com BD = PQ = x) Consequentemente: (II) PB = PC De (I) e (II) temos que PA = PB = PC e o ponto P é o circuncentro do triangulo ABC. Como o angulo central ang(APB) = 150, o angulo ang(ACB) = 75. Abracos, # # Edson Ricardo de A. Silva # # MSc Student - Computer Science# # Computer Graphics Group (CRAB)# # Federal University of Ceara (UFC) # # > Passaram-me o problema abaixo, juntamente com uma resolucao magica. > Gostaria de ver outras, se possivel. > Dado um triangulo ABC com o angulo B=45 graus. Traça-se a ceviana AD de modo que >BAD=15 graus e CD=2BD. Determine a medida do angulo ACB. > > []s, Josimar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] problema GP
Passaram-me o problema abaixo, juntamente com uma resolucao magica. Gostaria de ver outras, se possivel. Dado um triangulo ABC com o angulo B=45 graus. Traça-se a ceviana AD de modo que BAD=15 graus e CD=2BD. Determine a medida do angulo ACB. []s, Josimar
GP
Um círculo de raio R está inscrito num triângulo isósceles que possui um único ângulo interno medindo 30 graus. Determine a área desse triângulo em função de R. []s, Josimar
Re: GP
Desculpe a bobagem que disse.
Enquanto lia "côngruas" pensava em "semelhantes".
Deveria ser proibido para pessoas como eu beberem antes de escreverem para
listas de matemática.
Um abraço.
Demétrius.
Em 12:28 13/10/00 -0300, você escreveu:
>Eu tenho a impressão de que todas as parábolas, independente do parâmetro,
>são côngruas.
>Achei que tivesse demonstrado isso em algum lugar...
>Se for importante posso tentar repetir a demonstração.
>
>Abraço,
>
>Demétrius.
>
>
>Em 15:56 11/10/00 -0200, você escreveu:
>>A homotetica de uma parabola de parametro p e razao r e outra parabola
>>de parametro rp.
>>Parabolas de igual parametro sao congruas.
>>
>>Angelo Barone{\ --\ }NettoUniversidade de Sao Paulo
>>Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e
>>Estatistica
>>Rua do Matao, 1010Butanta - Cidade Universitaria
>>Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3818-6162/6224/6136
>>05315-970 - Sao Paulo - SPfax +55-11-3818-6131
>>Agencia Cidade de Sao Paulo
>>.
Re: GP
Eu tenho a impressão de que todas as parábolas, independente do parâmetro,
são côngruas.
Achei que tivesse demonstrado isso em algum lugar...
Se for importante posso tentar repetir a demonstração.
Abraço,
Demétrius.
Em 15:56 11/10/00 -0200, você escreveu:
>A homotetica de uma parabola de parametro p e razao r e outra parabola
>de parametro rp.
>Parabolas de igual parametro sao congruas.
>
>Angelo Barone{\ --\ }NettoUniversidade de Sao Paulo
>Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e
>Estatistica
>Rua do Matao, 1010Butanta - Cidade Universitaria
>Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3818-6162/6224/6136
>05315-970 - Sao Paulo - SPfax +55-11-3818-6131
>Agencia Cidade de Sao Paulo
>.
Re: GP
At 21:12 07/10/00 -0300, josimat wrote: Oi pessoal! Quem pode me ajudar? Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, CBN=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. []'s JOSIMAR Oi Josimar , considerando CBM = 60 graus : Trace a altura relativa ao lado BC e seja o H o pé desta sobre BC . Sejam P o encontro de AH com BM e S o encontro de CN com BM . Trace CP e mostre que BS = SP =BH e NPB= 20graus . Mostre que o triângulo PNM é isósceles e consequentemente teremos o ângulo BMN = 10 graus . Para mostrar que este triângulo é isósceles faça o seguinte : seja R sobre AC tal que ABR = 10 graus e mostre que AR = BC . Tomando T (circuncentro de ABC) como encontro de BR com AH e F como encontro de PR com MT , mostre que os triângulos PFM e PSN são congruentes , ok ? . Abraços , Carlos Victor
Re: GP
Title: Re: GP Quero agradecer ao Wágner e ao Marcos Paulo pelas resoluções enviadas. Wagner, sua resolução é brilhante e não achei tão braçal. Marcos, sua idéia também é boa (ainda não consegui provar a semelhança), mas não seria F o ponto de interseção de MD com NC, e não de MD com MB? Wagner, este problema é bastante parecido com aquele famoso problema que caiu (dizem) numa Olimpíada Russa, que está no livro Geometria 1, do qual você é um dos autores. Para aquele problema, alguns exibem uma resolução que contém uma falha. Consiste em traçar uma circunferência por três pontos do triângulo: para a nossa versão, esses pontos seriam N, C e B. A falha está em supor, sem nenhuma demonstração, que NM é tangente à circunferência (acredito que de fato seja, haja vista que a resposta procede e o teorema usado é da forma sss). O interessante é que em ambos os problemas, esse procedimento leva à resposta correta: 10 graus neste problema e 30 graus naquele. Será que vale a pena investigar? Obrigado! Já ia me esquecendo: o livro citado acima é um dos três que você escreveu com o Morgado e com o Miguel Jorge. A cada ano, a procura por esses livros aumenta. Alunos e Professores me perguntam onde podem encontrá-los, pois está cada vez mais difícil. Vocês já pensaram em reproduzi-los? Quero aproveitar e parabenizar o Nicolau pela iniciativa de criar esta lista. Está sendo uma fonte de pesquisa extraordinária! []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Eduardo Wagner <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Terça-feira, 10 de Outubro de 2000 22:16Assunto: Re: GP--From: "josimat" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Subject: Re: GPDate: Sun, Oct 8, 2000, 18:24 Olá Wagner!Tem razão, CBM=60 graus, e não CBN. Desculpem-me pela falha na digitação. Eis o enunciado corrigido: Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, CBM=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. []'s JOSIMAR Oi Josimar: vejamos uma solução braçal do seu problema.Seja P a interseção de BM com CN, e façamos BC = 2 para facilitar. Temos então PB = 1 e PC = sqrt(3).Sejam PM = x e PN = y.y = tg20 e sqrt(3)/x = tg40. Multiplicando, obtemos y/x = tg20.tg30.tg40. Acontece que tg20.tg30.tg40 = tg10, o que mostra que o ângulo BMN é igual a 10 graus. Resolvido o problema, resta demonstrar a identidade acima. Isto demanda um certo trabalhoalgébrico. Faça tg x = t e calcule tg(3x). Voce vai encontrar tg(3x) = t(3 - t^2)/(1 - t^2).Em seguida, demonstre a identidade tg(30 - a). tg(3a) . tg(30 + a) = tg a. Fazendo a = 10 graus,fica tudo resolvido.Fico devendo uma solução mais elegante para seu problema.Um abraço,Wagner.
Re: GP
A homotetica de uma parabola de parametro p e razao r e outra parabola
de parametro rp.
Parabolas de igual parametro sao congruas.
Angelo Barone{\ --\ }NettoUniversidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3818-6162/6224/6136
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Re: GP
Eu havia feito igual o Wagner soh que acho que tem outra maneira tb. Olha soh: Pegue o angulo BMC (que vale 40) e trace sua bissetriz suponha que F seja o ponto de intersecao de BM com Essa bissetriz e D o ponto de intersecao da bissetriz com a lado BC. Ai basta provar que o triangulo DFC eh semelhante ao triangulo FMN. Assim o Angulo FMN sera de 30 graus e sera igual a 20 + o angulo desejado. Nao parei pra fazer a demonstracao da semelhanca mas jah vi uns tres rtiangulos semelhantes ... acho que essa demoinstracao sera possivel. se alguem conseguir comunique por favor. []'s MP At 22:10 11/10/00 -0700, you wrote: >-- >From: "josimat" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: GP >Date: Sun, Oct 8, 2000, 18:24 > >Olá Wagner! >Tem razão, CBM=60 graus, e não CBN. Desculpem-me pela falha na digitação. >Eis o enunciado corrigido: > >Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, >respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, >CBM=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. > >[]'s JOSIMAR > > > >Oi Josimar: vejamos uma solução braçal do seu problema. > >Seja P a interseção de BM com CN, e façamos BC = 2 para facilitar. Temos >então PB = 1 e PC = sqrt(3). >Sejam PM = x e PN = y. > >y = tg20 e sqrt(3)/x = tg40. Multiplicando, obtemos y/x = tg20.tg30.tg40. > >Acontece que tg20.tg30.tg40 = tg10, o que mostra que o ângulo BMN é igual >a 10 graus. > >Resolvido o problema, resta demonstrar a identidade acima. Isto demanda um >certo trabalho >algébrico. Faça tg x = t e calcule tg(3x). Voce vai encontrar tg(3x) = t(3 >- t^2)/(1 - t^2). > >Em seguida, demonstre a identidade tg(30 - a). tg(3a) . tg(30 + a) = tg a. >Fazendo a = 10 graus, >fica tudo resolvido. > >Fico devendo uma solução mais elegante para seu problema. > >Um abraço, > Wagner. > > > > > > >
Re: GP
Title: Re: GP -- From: "josimat" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: GP Date: Sun, Oct 8, 2000, 18:24 Olá Wagner! Tem razão, CBM=60 graus, e não CBN. Desculpem-me pela falha na digitação. Eis o enunciado corrigido: Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, CBM=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. []'s JOSIMAR Oi Josimar: vejamos uma solução braçal do seu problema. Seja P a interseção de BM com CN, e façamos BC = 2 para facilitar. Temos então PB = 1 e PC = sqrt(3). Sejam PM = x e PN = y. y = tg20 e sqrt(3)/x = tg40. Multiplicando, obtemos y/x = tg20.tg30.tg40. Acontece que tg20.tg30.tg40 = tg10, o que mostra que o ângulo BMN é igual a 10 graus. Resolvido o problema, resta demonstrar a identidade acima. Isto demanda um certo trabalho algébrico. Faça tg x = t e calcule tg(3x). Voce vai encontrar tg(3x) = t(3 - t^2)/(1 - t^2). Em seguida, demonstre a identidade tg(30 - a). tg(3a) . tg(30 + a) = tg a. Fazendo a = 10 graus, fica tudo resolvido. Fico devendo uma solução mais elegante para seu problema. Um abraço, Wagner.
Re: GP
Title: Re: GP Olá Wagner! Tem razão, CBM=60 graus, e não CBN. Desculpem-me pela falha na digitação. Eis o enunciado corrigido: Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, CBM=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Eduardo Wagner <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Domingo, 8 de Outubro de 2000 18:49Assunto: Re: GPNao será CBM = 60 graus?--From: "josimat" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Subject: GPDate: Sat, Oct 7, 2000, 17:12 Oi pessoal! Quem pode me ajudar?
Re: GP
Title: Re: GP Nao será CBM = 60 graus? -- From: "josimat" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: GP Date: Sat, Oct 7, 2000, 17:12 Oi pessoal! Quem pode me ajudar? Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, CBN=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. []'s JOSIMAR
GP
Oi pessoal! Quem pode me ajudar? Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, CBN=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. []'s JOSIMAR
