[obm-l] Pergunta que gera debates

[Mauricio de Araujo]

Perguntinha que gera debates, rsss

Qual o resultado de

sqrt(-4).sqrt(-9)?

6 ou -6?

​
​

​Evaluate:

​

Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Pergunta que gera debates

[Esdras Muniz]

-6

Em 24 de setembro de 2015 09:45, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

> Perguntinha que gera debates, rsss
>
> Qual o resultado de
>
> sqrt(-4).sqrt(-9)?
>
> 6 ou -6?
>
> ​
> ​
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> ​Evaluate:
>
> ​
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> Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Pergunta que gera debates

[Artur Steiner]

Este produto não está bem definido. Todo complexo não nulo tem duas raízes 
quadradas, simétricas. No caso real, convenciona-se que o símbolo de radical 
significa raiz positiva (ou nula, se o radicando for nulo). No caso complexo, 
não há uma convenção estabelecida.

Artur Costa Steiner

> Em 24 de set de 2015, às 10:21, Mauricio de Araujo 
>  escreveu:
> 
> Perguntinha que gera debates, rsss
> 
> Qual o resultado de 
> 
> sqrt(-4).sqrt(-9)?
> 
> 6 ou -6?
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> ​Evaluate:
> 
> ​
> 
> Abraços
> 
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Pergunta que gera debates

[Alexandre Antunes]

Podemos acrescentar ao debate |6| (módulo de seis) como uma das
respostas?!!?
Em 24/09/2015 09:53, "Mauricio de Araujo" 
escreveu:

> Perguntinha que gera debates, rsss
>
> Qual o resultado de
>
> sqrt(-4).sqrt(-9)?
>
> 6 ou -6?
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> ​Evaluate:
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> Abraços
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> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
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Re: [obm-l] Pergunta que gera debates

[Adilson Francisco da Silva]

(2 i).(3 i)
Em 24/09/2015 09:53, "Mauricio de Araujo" 
escreveu:

> Perguntinha que gera debates, rsss
>
> Qual o resultado de
>
> sqrt(-4).sqrt(-9)?
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> 6 ou -6?
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> ​Evaluate:
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> Abraços
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> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
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Re: [obm-l] Pergunta que gera debates

[Ralph Teixeira]

(Suponho que estamos todos usando "sqrt" no lugar do símbolo usual de raiz
quadrada)

Pois é... Um dois problemas é que sqrt não é muito bem definida nos
complexos... Por exemplo, eu não sei se sqrt(5-12i) dá 3-2i ou -3+2i.

Mas você pode adotar uma convenção apropriada. Por exemplo, todo mundo usa
(ou devia usar, na minha opinião) que, para x real positivo, sqrt(x) é o
número y **POSITIVO** tal que y^2=x. Por isso é que escreve-se sqrt(9)=3.
Aliás, é por isso que tem aquele +- na fórmula da equação quadrática -- se
você achasse mesmo que o símbolo sqrt inclui também a raiz negativa, você
coerentemente não escreveria aquele +-.

Nos negativos, você também pode adotar uma convenção. Por exemplo, bastante
gente usa que, para todo x real positivo, sqrt(-x)=i.sqrt(x). Com esta
convenção, você teria sqrt(-1)=i.

Se você está com esta convenção, sqrt(-4).sqrt(-9)=(2i)(3i)=-6, que é
diferente de sqrt((-4)(-9))=sqrt(36)=6. Pois é, o que você notou é que, com
a introdução dos complexos e esta convenção, NÃO VALE MAIS em geral que
sqrt(a)sqrt(b)=sqrt(ab).

Abraço, Ralph.

2015-09-24 9:45 GMT-03:00 Mauricio de Araujo :

> Perguntinha que gera debates, rsss
>
> Qual o resultado de
>
> sqrt(-4).sqrt(-9)?
>
> 6 ou -6?
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> ​Evaluate:
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> Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Pergunta Boba

[luiz silva]

Pessoal,
 
Pq a multiplicação de dois números negativos dá um número positivo? Lembro-me 
de, a muito tempo atras, um professor usar o seguinte argumento: se eu nego uma 
negação, estou fazendo uma afirmação!
 
O argumento até faz sentido, mas afirmação está longe de ser um numero 
positivo, assim como negação está longe de ser um número negativo.Existe uma 
demonstração para isso ?
 
Abs
Felipe

RES: [obm-l] Pergunta Boba

[bouskela]

Olá!

 

Bem, primeiro é necessário verificar que (-a)(b) = -(a)(b) = -(ab) e,
depois, fica fácil verificar que (-a)(-b) = (a)(b) = (ab).

 

(-a)(b) =

   (-a)(b) + (a)(b) – (a)(b) =

   (b)[(-a)+(a)] – (a)(b) =

   (b)[0] – (a)(b) =

   -(a)(b) 

 

 

(-a)(-b) =

   (-a)(-b) + (a)(b) – (a)(b) =

   (-a)(-b) + (a)(b) + (-a)(b) =

   (-a)[(-b)+(b)] + (a)(b) =

   (-a)[0] + (a)(b) = 

   (a)(b)   

 

 

Albert Bouskela

 mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de luiz silva
Enviada em: segunda-feira, 15 de outubro de 2012 12:08
Para: Matematica Lista
Assunto: [obm-l] Pergunta Boba

 

Pessoal,

 

Pq a multiplicação de dois números negativos dá um número positivo?
Lembro-me de, a muito tempo atras, um professor usar o seguinte argumento:
se eu nego uma negação, estou fazendo uma afirmação!

 

O argumento até faz sentido, mas afirmação está longe de ser um numero
positivo, assim como negação está longe de ser um número negativo.Existe uma
demonstração para isso ?

 

Abs

Felipe

[obm-l] Pergunta básica

[jair fernandes]

Olá pessoal, sei que isso deve ser bem trivial para vocês, mas gostaria de 
saber como construo manualmente o gráfico da função: f(x) = mod (ln (x^2 - x 
+1)). Obrigado 


  

Re: [obm-l] Pergunta

[Adalberto Dornelles]

Olá Bruno,

Podes argumentar por absurdo:

Suponha que y = 1/x seja racional. Então 1/x = a/b com a e b inteiros. Assim
x = b/a, racional. Mas isso não é possivel, pois x é irracional.

Abraço,
Adalberto

Em 7 de abril de 2010 16:43, Bruno Carvalho brunomos...@yahoo.com.brescreveu:

 Pessoal, como eu faria para explicar a seguinte afirmação:

 *Se x é um número Irracional então 1/x é racional,porque 1/x é uma fração*
 .
 a afirmação é falsa.Minha dúvida é como explicar esse fato com uma boa
 argumentação
 para um aluno do ensino médio ? Utilizei na ocasiaõ o recurso da
 calculadora, mas gostaria de saber uma outra forma de justificativa.

 Abraços

 bruno

 --
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RES: [obm-l] Pergunta

[Artur Costa Steiner]

Calculadoras, ou mesmo computadores, não servem para responder a este tipo
de questão.

 

Uma das razões pelas quais a afirmação é  falsa é que 1/x é irracional. De
fato, se 1/ x fosse racional, existiriam inteiros não nulos tais que 1/x =
m/n. Teríamos, então, que x = n/m, contrariamente à hipótese de que x é
irracional. 

 

Além disto, o fato de um número ser fracionário (não inteiro) não implica
que seja irracional. Basta que seja dado por m/n, com m não sendo múltiplo
inteiro de n. Há uma infinidade de exemplos, como 3/2, 5/7

 

Artur

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Bruno Carvalho
Enviada em: quarta-feira, 7 de abril de 2010 16:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Pergunta

 


Pessoal, como eu faria para explicar a seguinte afirmação:

 

Se x é um número Irracional então 1/x é racional,porque 1/x é uma fração.

a afirmação é falsa.Minha dúvida é como explicar esse fato com uma boa
argumentação

para um aluno do ensino médio ? Utilizei na ocasiaõ o recurso da
calculadora, mas gostaria de saber uma outra forma de justificativa.

 

Abraços 

 

bruno

 

  _  

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Re: [obm-l] Pergunta

[João Luís]

Número racional é o que pode ser representado na forma a/b, COM a E b INTEIROS 
E b DIFERENTE DE ZERO.

1/x não é uma fração ordinária, e sim uma razão entre dois números reais.

Um abraço,

João Luís.
 
  - Original Message - 
  From: Bruno Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 07, 2010 4:43 PM
  Subject: [obm-l] Pergunta


Pessoal, como eu faria para explicar a seguinte afirmação:

Se x é um número Irracional então 1/x é racional,porque 1/x é uma 
fração.
a afirmação é falsa.Minha dúvida é como explicar esse fato com uma boa 
argumentação
para um aluno do ensino médio ? Utilizei na ocasiaõ o recurso da 
calculadora, mas gostaria de saber uma outra forma de justificativa.

Abraços 

bruno 


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Re: [obm-l] Pergunta

[Tiago]

O problema está na definição de número racional que, aparentemente, não está
muito clara. Lembre-se que esta fração tem que ser de *números inteiros*.

2010/4/7 Bruno Carvalho brunomos...@yahoo.com.br

 Pessoal, como eu faria para explicar a seguinte afirmação:

 *Se x é um número Irracional então 1/x é racional,porque 1/x é uma fração*
 .
 a afirmação é falsa.Minha dúvida é como explicar esse fato com uma boa
 argumentação
 para um aluno do ensino médio ? Utilizei na ocasiaõ o recurso da
 calculadora, mas gostaria de saber uma outra forma de justificativa.

 Abraços

 bruno

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Tiago J. Fonseca
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Re: [obm-l] pergunta

[George Brindeiro]

O que seria um quadrilátero cíclico?
Essa fórmula está relacionada à fórmula de Heron para triângulos?

Pra quem não sabe, esta seria

A=SQRT[p(p-a)(p-b)(p-c)]

em que p é o semi-perimetro de um triângulo qualquer.

Abraço,
George


From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] pergunta
Date: Fri, 23 Jun 2006 23:36:51 -0300

Olá.

Em primeiro lugar, quadrilatero é com Q, assim como Qualquer, que também
usa um L, e em geral, após um Q, na língua portuguesa, se encontra um U.

Quanto à sua questão, a área de um quadrilátero não cíclico seja sempre
menor que o valor calculado com tal fórmula.

Bruno


On 6/23/06, GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS [EMAIL PROTECTED]
wrote:


eai pssoau
auguem conhece a formula de bramagupta?
A medida da área de um quadrilátero cíclico de lados
*a*, *b*, *c*, *d *cujo semiperímetro denotado por
*p *é a seguinte: A = SQRT[(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)] vi um artigo dizendu q
ela eh valida pa quadrilateros ciclicos
gstaria de saber se ela vale pa cuauqer cuadrilatero ou se eh soh pu
ciclicos
obg
vlw

--
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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] pergunta

[Giuliano \(stuart\)]

esta fórmula está diretamente relacionada com heron, na verdade Heron é um caso particular de Bramaghupta e um quadrilátero cíclico é o mesmo que quadrilátero incrítvel, isto é, existe uma circunferência que passa por todos os seus vértices, um quadrilátero é inscrítivel se e somente se a soma dos ângulos opostos é igual a 180 graus, a prode de Bramaghupta está na Eureka nº9 e sobre quadriláteros existe um artigo na Euraka nº5 que está disponível também no site da obm: www.obm.org.br
 Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia(Stuart)

Re: [obm-l] pergunta

[Giuliano \(stuart\)]

Desculpa, cometi um erro, elasó vale para quadriláteros cíclicos

Abraços, 
Giuliano Pezzolo Giacaglia 
(Stuart)

[obm-l] pergunta

[GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS]

eai pssoau  auguem conhece a formula de bramagupta?  A medida da área de um quadrilátero cíclico de lados a, b, c, d cujo semiperímetro  denotado por p é a seguinte: A = SQRT[(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)]  vi um artigo dizendu q ela eh valida pa quadrilateros ciclicos  gstaria de saber se ela vale pa
 cuauqer cuadrilatero ou se eh soh pu ciclicos  obg  vlw 
		 
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Re: [obm-l] pergunta

[Thor]

Em geral, se o 
quadrilátero não for cíclico, sua área é

estritamente menor que A = 
SQRT[(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)].

Cláudio Thor



  - Original Message - 
  From: 
  GERALDO 
  FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS 
  To: Lista _OBM 
  Sent: Friday, June 23, 2006 10:54 
AM
  Subject: [obm-l] pergunta
  
  eai pssoau
  auguem conhece a formula de bramagupta?
  A medida da área de um quadrilátero cíclico de lados 
  a, b, c, d cujo semiperímetro
  denotado por p 
  é a seguinte: A = 
  SQRT[(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)]
  vi um artigo dizendu q ela 
  eh valida pa quadrilateros ciclicos
  gstaria de saber se ela 
  vale pa cuauqer cuadrilatero ou se eh soh pu ciclicos
  obg
  vlw
  
  
  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre 
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Re: [obm-l] pergunta

[Bruno França dos Reis]

Olá.

Em primeiro lugar, quadrilatero é com Q, assim como Qualquer, que
também usa um L, e em geral, após um Q, na língua portuguesa, se
encontra um U.

Quanto à sua questão, a área de um quadrilátero não cíclico seja sempre menor que o valor calculado com tal fórmula.

Bruno
On 6/23/06, GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS [EMAIL PROTECTED] wrote:
eai pssoau  auguem conhece a formula de bramagupta?  A medida da área de um quadrilátero cíclico de lados 
a, b, c
, d cujo semiperímetro  denotado por p 
é a seguinte: A = SQRT[(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)]  vi um artigo dizendu q ela eh valida pa quadrilateros ciclicos  
gstaria de saber se ela vale pa
 cuauqer cuadrilatero ou se eh soh pu ciclicos  obg  vlw
 
		 
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[obm-l] Uma Pergunta ... ?

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal,
Isso aqui e apenas um digressao em relacao aos objetivos primeiros desta 
lista mas que tem conteudo matematico e que pode interessar algum de voces.

Tudo que eu falar pressupoe o (limitado) mundo da integral de Riemann.
Seja G a funcao gama. Muitas razoes levam-nos a supor que ela e a extensao 
natural do conceito de fatorial. Assim, G(x), x nao natural, seria o 
fatorial de x. Este procedimento e bastante comum em matematica e nao e 
novidade olharmos para aspectos da analise como extensoes de conceitos 
tipicamente do universo da teoria dos numeros.

Para verificarmos que a nossa hipotese e verdadeira, num primeira analise, 
temos basicamente dois caminhos a seguir :

1) Partindo dos naturais, extender de alguma forma inteligente o conceito de 
fatorial ( ou algo que lhe seja equivalente ) ate atingir algo alem deles, 
verificando assim se necessariamente caimos, ao final, na funcao gama. Esse 
caminho nao parece ser simples de ser percorrido ...

2) Partindo da funcao gama, desmonta-la, retrocedendo em estrita 
obediencia aos principios logicos cabiveis e verificar onde chegamos. Esse 
caminho parece ser promissor e mais simples que o caminho anterior.

Sera que o processo 2) de sucessivso desmontes e restricoes PARA ( do 
verbo parar ) necessariamente em algum lugar ? Em estrita obediencia aos 
ditames da logica, ate onde podemos retroceder e restringir ? E possivel 
retroceder, transformar a integral numa especial soma de Riemann de forma 
que reiterando e restringindo o processo chegamos no conceito tradicional de 
fatorial de um numero natural ?

Agora uma observacao : no inicio do seculo passado, algo em torno de 
99,999...9% dos fisicos apostavam, segundo todas as evidencias acumuladas, 
que a energia poderia ser subdividida indefinidamente, vale dizer, que ela 
era absolutamente continua. Os trabalhos do Planck, conforme nos sabemos, 
trouxe a assombrosa novidade segundo a qual a energia e, de fato, 
descontinua ou granulada, isto e, existem os atomos de energia, o quantum de 
acao.

Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1026,241104
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Uma Pergunta ... ?

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Nov 24, 2004 at 12:26:40PM +, Paulo Santa Rita wrote:
 Ola Pessoal,
 
 Isso aqui e apenas um digressao em relacao aos objetivos primeiros desta 
 lista mas que tem conteudo matematico e que pode interessar algum de voces.
 
 Tudo que eu falar pressupoe o (limitado) mundo da integral de Riemann.
 
 Seja G a funcao gama. Muitas razoes levam-nos a supor que ela e a extensao 
 natural do conceito de fatorial. Assim, G(x), x nao natural, seria o 
 fatorial de x. Este procedimento e bastante comum em matematica e nao e 
 novidade olharmos para aspectos da analise como extensoes de conceitos 
 tipicamente do universo da teoria dos numeros.
 
 Para verificarmos que a nossa hipotese e verdadeira, num primeira analise, 
 temos basicamente dois caminhos a seguir :
 
 1) Partindo dos naturais, extender de alguma forma inteligente o conceito 
 de fatorial ( ou algo que lhe seja equivalente ) ate atingir algo alem 
 deles, verificando assim se necessariamente caimos, ao final, na funcao 
 gama. Esse caminho nao parece ser simples de ser percorrido ...

Que tal considerar a integral g(n) = int_0^infty t^n e^(-t) dt?
Não é difícil ver que para n natural temos g(n) = n! e a integral
faz sentido para qualquer n real positivo.
Isto não se encaixa no seu primeiro caminho?

[]s, N.
=
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=

Re: [obm-l] Uma Pergunta ... ?

[Paulo Santa Rita]

Ola Carissimo Prof e demais
coelgas desta lista ... OBM-L,
Estes coisas foram objetos de uma investigacao que fiz alguns anos atras, 
nao concluidas. Eu precisaria falar um pouco mais. O caminho 1) tem muita 
arbitrariedade e eu nao tive sucesso ao percorre-lo, pois me mantive fiel a 
um conjunto forte de condicoes de simetria que na epoca eu resolvi aceitar.

Na epoca do Euler ele deu um pulo e caiu direto na funcao gama 
simplesmente porque ele nao tinha elementos para fazer extencoes gradativas 
( naturais, inteiros, racionais ... ) e a quantidade de fenomenos que ele 
podia observar nao o permitia intuir como fazer isso. Nao sei se hoje seria 
possivel mas, com certeza, eu nao consegui.

O caminho 2) e muito interessante  ... se o Prof percorre-lo e se as minhas 
conclusoes estiverem corretas, o Prof vai concluir - creio, admirado - que, 
no maximo, chegamos a alguma grandeza quantizada. A parada obrigatoria - 
alem das quais as coisas ficam arbitrarias - e necessariamente numa grandeza 
quantizada. Eis a razao de em mensagem anterior eu ter afirmado que 0!=1 e 
um postulado ao mesmo nivel que o 5 postulado de euclides.

E notavel que com coisas simples nos entendemos alguns fenomenos simples mas 
que a realidade so se mostra quando aplicamos uma abstracao matematica mais 
alta ... Com a Geometria Euclidiana nos entendemos o mundo do Newton, mas a 
relatividade geral ( mais real, mais completa ) exige a geometria 
riemanniana.

Contar e, claramente, um ato natural, mas quem nos garante que a nossa forma 
direta e nao-quantizada de contar e a mais real e mais conveniente ? Por 
que eu preciso entender que
Binom(N,P) e o numero de subconjuntos com p elementos ? Isso pode ser mais 
simples e ter implicacoes simples em certos contextos mas pode ser - e eu 
acredito nisso - que uma forma aparentemente mais complicada faca com que 
percamos clareza e simplicidades imediatas mas que, em compensacao, nos abra 
portas muito bem fechadas mais na frente e que nos darao acesso a recursos 
que por ora nao vemos como encontrar.

Eu creio firmemente que a Matematica Quantica nao e um modismo passageiro e 
veio pra ficar e que tera um papel muito importante num futuro bastante 
proximo... Em minha modesta opiniao e verdadeiramente Genio de Primeira 
Grandeza quem concebeu estas coisas claramente pela primeira vez ... 
Parabens !

Um Abracao do amigo
Paulo Santa Rita
4,1703,241104





 1) Partindo dos naturais, extender de alguma forma inteligente o 
conceito
 de fatorial ( ou algo que lhe seja equivalente ) ate atingir algo alem
 deles, verificando assim se necessariamente caimos, ao final, na funcao
 gama. Esse caminho nao parece ser simples de ser percorrido ...

Que tal considerar a integral g(n) = int_0^infty t^n e^(-t) dt?
Não é difícil ver que para n natural temos g(n) = n! e a integral
faz sentido para qualquer n real positivo.
Isto não se encaixa no seu primeiro caminho?
[]s, N.
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[obm-l] algebra linear (pergunta correta)

[andrey.bg]

Seja F pertencente L(R^2)tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é um automorfismo,onde Io operador Identidade no R^2,
isto é 
I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.

Re: [obm-l] algebra linear (pergunta correta)

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] algebra linear (pergunta correta)



on 05.11.04 13:18, andrey.bg at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja F pertencente L(R^2) tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é um automorfismo, onde I o operador Identidade no R^2,
 isto é 
I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.

Certamente I+F eh linear, pois L(R^2) eh um espaco vetorial.
No entanto, I+F nao eh uma bijecao pois leva a base canonica do R^2 num subespaco de dimensao 1 gerado pelo vetor (3,5).
Logo, I+F nao eh um automorfismo.

[obm-l] pergunta do aluno

[nilton rr]

Companheiros essa pergunta foi feita por um dos meus alunos ,peço ajuda pois não consegui resolver:


Sabendo que C(n-1, k-1) = 18 e C(n, n-k) = 60, calcule C(n-1, k). Grato__Do You Yahoo!?Tired of spam?  Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com 

Re: [obm-l] pergunta do aluno

[Paulo Rodrigues]

C(n,k)=C(n,n-k)=60.
C(n-1,k-1)=18

Mas

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1), donde 
C(n-1,k)=60-18=42.

Paulo

  - Original Message - 
  From: 
  nilton 
  rr 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, August 10, 2004 10:20 
  AM
  Subject: [obm-l] pergunta do aluno
  
  Companheiros essa pergunta foi feita por um dos meus alunos ,peço ajuda 
  pois não consegui resolver:
  
  
  Sabendo que C(n-1, k-1) = 18 e C(n, n-k) = 60, calcule C(n-1, k). 
  Grato
  __Do You 
  Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around 
  http://mail.yahoo.com 
  ---Outgoing mail is certified Virus 
  Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.735 
  / Virus Database: 489 - Release Date: 
6/8/2004

Re: [obm-l] pergunta do aluno

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Perceba que C(n, n-k) = C(n,k), logo podemos utilizar a relação de Stiefel 
C(n-1, k-1) + C(n-1, k) = C(n,k)
para obter C(n-1,k) = 60 - 18 = 42.

Abraços,
Bernardo


On Tue, 10 Aug 2004, nilton rr wrote:

 Companheiros essa pergunta foi feita por um dos meus alunos ,peço ajuda pois não 
 consegui resolver:
  
  
 Sabendo que C(n-1, k-1) = 18 e C(n, n-k) = 60, calcule C(n-1, k). Grato
 
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[obm-l] pergunta!

[Marco Sales]

a matemática é exata?se for, isso quer dizer que a partir do mundo preexistente podemosprovar a existência de Deus? (ou não?) através dela.?Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] pergunta! --- OFF TOPIC

[J.A. Tavares]

 Por favor, os objetivos da lista foram 
discutidos diversas vezes... soh uma dica, 
pense mais na sua pergunta...

  - Original Message - 
  From: 
  Marco Sales 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, October 21, 2003 11:55 
  AM
  Subject: [obm-l] pergunta!
  
  
  a matemática é exata?se for, isso quer dizer que a partir do mundo 
  preexistente podemosprovar a existência de Deus? (ou não?) através 
  dela.?
  
  
  Yahoo! 
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[obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polinômios

[Eduardo Casagrande Stabel]

Caros colegas da lista.

Em um livro de álgebra (Shafarevich) li a seguinte definição.

Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e seja
F(x,y) um polinômio em duas variáveis com coeficientes em K. Seja C a curva
dos pontos que anulam F, isto é, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
então, o conjunto K(C) das funções polinomiais P(x,y) restritas ao domínio
C. Esta definição pode não estar muito clara. Todo o polinômio P(x,y) define
uma função polinomial P:R^2-R em todo R^2, agora restrinja o domínio de P
ao conjunto C e considere o conjunto de todas as funções polinomiais
restritas a esse conjunto.

No livro, diziz que se F é um polinômio irredutível, então K(C) é um domínio
de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) é um polinômio a duas
variáveis e C é o curva dos pontos onde F se anula então não existem dois
polinômios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os pontos
de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.

Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das raízes do
polinômio L de duas variáveis. Se um polinômio F é irredutível e seu
conjunto de raízes é raiz(L), então não existem dois polinômios P e Q tais
que raiz(P)  raiz(L) e raiz(Q)  raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) =
raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente contido)

Alguém sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?

Obrigado pela atenção.
Duda.

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[obm-l] Re: [obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polinômios

[Eduardo Casagrande Stabel]

Oi Gugu.

Obrigado pela sua resposta! Eu encontrei o seguinte enunciado.

Teorema de Bezout. Se P(x,y) e Q(x,y) são primos entre si e tem graus n e m
respectivamente então o conjunto dos pontos (x,y) tal que P(x,y)=0 e
Q(x,y)=0 possui nm pontos.

Isto vale com P e Q pertencentes a K[x,y] para um corpo K qualquer? O
teorema também vale em dimensões finitas maiores do que dois? Qual o área da
matemática que estuda esses resultados e a relação deles com as curvas
algébricas C?

Abraço,
Duda.

From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
Caro Duda,
Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
 sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
 fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
 f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos
entre
 si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo
modo
 F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
 tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
 inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
 R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
Abracos,
 Gugu

 
 Caros colegas da lista.
 
 Em um livro de álgebra (Shafarevich) li a seguinte definição.
 
 Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e
seja
 F(x,y) um polinômio em duas variáveis com coeficientes em K. Seja C a
curva
 dos pontos que anulam F, isto é, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
 então, o conjunto K(C) das funções polinomiais P(x,y) restritas ao
domínio
 C. Esta definição pode não estar muito clara. Todo o polinômio P(x,y)
define
 uma função polinomial P:R^2-R em todo R^2, agora restrinja o domínio de
P
 ao conjunto C e considere o conjunto de todas as funções polinomiais
 restritas a esse conjunto.
 
 No livro, diziz que se F é um polinômio irredutível, então K(C) é um
domínio
 de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) é um polinômio a
duas
 variáveis e C é o curva dos pontos onde F se anula então não existem dois
 polinômios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os
pontos
 de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
 
 Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das raízes do
 polinômio L de duas variáveis. Se um polinômio F é irredutível e seu
 conjunto de raízes é raiz(L), então não existem dois polinômios P e Q
tais
 que raiz(P)  raiz(L) e raiz(Q)  raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) =
 raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente
contido)
 
 Alguém sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
 
 Obrigado pela atenção.
 Duda.
 
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Re: [obm-l] Pergunta para Paulo Santa Rita

[Wagner]

Oi para todos

A dedução fica melhor assim: e^(Ti)=cos(T) + i*sen(T), em que T é o
logaritmo natural de a. Portanto:
a^i=cos(log n (a))+i*sen(log n (a))

André T.




- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, September 08, 2002 1:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Pergunta para Paulo Santa Rita


 Ola Wagner e demais colegas
 desta lista ... OBM-L,

 A relacao que eu usei e muito conhecida e foi descoberta por Euler. Ela
 afirma que :

 e^(Ti)=cos(T) + i*sen(T),

 onde i e a UNIDADE IMAGINARIA e e a BASE DOS LOGARITMOS NEPERIANOS.
 Desta relacao podemos tirar muitos resultados interessantes e, em
particular
 :

 e^(pi*i)=cos(pi)+i*sen(pi) = -1.

 Procure detalhar mais a prova de existencia que voce apresentou, PARECE-ME
 QUE ESTA MUITO CONFUSA E PASSIVEL DE SOFRER DIVERSAS CRITICAS... O ponto
 crucial e a passagem do expoente racional para o irracional. Se voce
aceita
 uma sugestao, faca Y=X^irr, irr irracional, e considere particularmente
e
 previamente esta equacao para um Y complexo dado ...

 Fica com Deus
 Paulo Santa Rita
 1,1317,080902




 From: Wagner [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Pergunta para Paulo Santa Rita
 Date: Sat, 7 Sep 2002 11:39:10 -0300
 
 Bom dia pra todos!
 
 -Notação log n (a) = logaritmo natural de a
 -(a,b) = a + bi
 
 Caro Paulo, na sua resposta para o meu problema (x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0),
 você diz que :
 
 -  e^Pi.i = -1 = (estou considerando que o e da resposta seja o nº
 neperiano)
 e^Pi.i = (i.sen(Pi) + cos(Pi)), isso implicaria que: e^i(i.sen1 + cos1),
 certo? Então a^i = e^log n (a).i = (i.sen(log n (a)) + cos(log n (a))).
 Então : a^(x,y) = a^x.(i.sen(y.log n (a)) + cos(y.log n (a))) ? Ou seja
um
 nº real pode ser elevado a um expoente imaginário ?
 Então quanto seria (a,b)^(c,d) ? E também qual a dedução de que e^Pi.i
= -1
 ?
 -  Também queria saber porque x = a.e^T.i e consequentemente x^Pi =
a(-1)T.
 
 André T.




 _
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[obm-l] Pergunta para Paulo Santa Rita

[Wagner]

Bom dia pra todos!

-Notação log n (a) = logaritmo natural de a
-(a,b) = a + bi

Caro Paulo, na sua resposta para o meu problema (x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0), 
você diz que :

- e^Pi.i = -1= (estou considerando que o e da resposta seja 
o nº neperiano)
e^Pi.i = (i.sen(Pi) + cos(Pi)), isso implicaria que: e^i(i.sen1 + cos1), 
certo? Então a^i = e^log n (a).i = (i.sen(log n (a)) + cos(log n (a))).
Então : a^(x,y) = a^x.(i.sen(y.log n (a)) + cos(y.log n (a))) ? Ou seja um 
nº real pode ser elevado a um expoente imaginário ?
Então quanto seria (a,b)^(c,d) ? E também qual a dedução de que e^Pi.i = -1 
?
- Também queria saber porque x = a.e^T.i e consequentemente x^Pi = 
a(-1)T.

André T.

[obm-l] Resposta da pergunta do Paulo Santa Rita

[Wagner]

 Alo Paulo, pessoal!

 PERGUNTA: Se f(x) é uma função 
de 5º grau incompleta, quando é possível encontrar as soluções 
algebricamente?

 RESPOSTA: Existem varias 
situações em que isso é possível.Considerando f(x) = ax^5 + bx^4 + ... + 
ex + f :

 -1ª situação: f = 0. Nesse caso 
zero é soluçao e pode-se encontrar as outras raízes através de ax^4 + bx^3 + ... 
+ e = 0, que pode ser
resolvida algebricamente pelo método de Ferrari 
(observe que a situação e,f = 0 = f = 0)
 -2ª situação: Sendo x = y + z. 
x^5= y^5 + 5(y^4)z + 10(y^3)(z^2) + 10(y^2)(z^3) + 5y(z^4) + z^5 =
y^5 + z^5 + 5(y^3+z^3)(yz) + 10 (y+z)((yz)^2) = x^5 
= Se a=1, e = -10(yz)^2 e f = -(y^5 + z^5 + 5(y^3 + z^3)(yz)) = Se f é 
diferente de
zero, a equação só pode ser resolvida 
algebricamente se e somente se b,c,d = 0. (Ou quando essa condição for 
satisfeita pela substituição
da incógnita x por g-(b/a) em que g passa a ser a 
nova incógnita, como na resposta das equações de 3º e 4º grau)

(Não tenho muita certeza se a dedução na 2ª 
situação esta correta) 

 André 
T.

Re: [obm-l] Resposta da pergunta do Paulo Santa Rita

[Eduardo Casagrande Stabel]

Caro André T.,

considere a equação de 5. grau incompleta
x^5 + 4x^4 + 4x^3 + x + 2 = 0.
Se fizermos a substituição x = y - 4, teremos
y^5 - 16y^4 + 100y^3 - 304y^2 + 449y - 258 = 0.

Portanto nem f=0, nem b,c,d=0 nas duas equações, logo ela não teria soluções
algébricas pelo seu critério, mas veja que a primeira pode ser escrita assim
x^3(x^2 + 4x + 4) + (x + 2) = x^3(x + 2)^2 + (x + 2) = (x + 2)(x^4 + 2x^3 +
1),
logo todas as raízes são algébricas.

Para alguns casos simples que eu testei o seu critério funcionava, por que a
subst. x = y - (b/a), transformava a eq. numa fácil de resolver; deve ser
algo parecido com o que você falou.

Mas não sei se vai ser fácil de demonstrar que um tal critério funciona sem
saber a teoria de Galois, a qual eu não conheço.

Quanto à sua solução para o problema:
mostrar que existem infinitos x complexos tais que x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0.
Você fala em considerar (pi)/1 como uma fração irredutível, o que quer dizer
isso? Afinal (pi) não é inteiro. Depois você fala em (pi)10^n valores de x,
mas como isso é possível se (pi) não é inteiro? Qual o sentido de 1.5
soluções? Pelo que compreendi a sua solução está baseada em aproximações de
pi por números racionais, ou algo assim, mas não saquei como funciona de
fato. É interessante que às vezes um método informal esconde muito mais
coisa que um todo talhado e bonitinho.

Um grande abraço!

Eduardo.
Porto Alegre, RS.

From: Wagner

Alo Paulo, pessoal!

PERGUNTA: Se f(x) é uma função de 5º grau incompleta, quando é possível
encontrar as soluções algebricamente?

RESPOSTA: Existem varias situações em que isso é possível. Considerando
f(x) = ax^5 + bx^4 + ... + ex + f :

-1ª situação: f = 0. Nesse caso zero é soluçao e pode-se encontrar as
outras raízes através de ax^4 + bx^3 + ... + e = 0, que pode ser
resolvida algebricamente pelo método de Ferrari (observe que a situação e,f
= 0 = f = 0)
-2ª situação: Sendo x = y + z. x^5= y^5 + 5(y^4)z + 10(y^3)(z^2) +
10(y^2)(z^3) + 5y(z^4) + z^5 =
y^5 + z^5 + 5(y^3+z^3)(yz) + 10 (y+z)((yz)^2) = x^5 = Se a=1, e = -10(yz)^2
e f = -(y^5 + z^5 + 5(y^3 + z^3)(yz)) = Se f é diferente de
zero, a equação só pode ser resolvida algebricamente se e somente se b,c,d =
0. (Ou quando essa condição for satisfeita pela substituição
da incógnita x por g-(b/a) em que g passa a ser a nova incógnita, como na
resposta das equações de 3º e 4º grau)

(Não tenho muita certeza se a dedução na 2ª situação esta correta)

André T.

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[obm-l] pergunta

[rafaelc.l]

  Pessoal, desculpe se a pergunta parecer muito besta pra 
vcs mas estou realmente em dúvida...é o seguinte:

Eu sei que um retângulo não é um quadrado, mas um 
quadrado é um retângulo?
Um quadrado é um losando de lados iguais?


  


 
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Re: [obm-l] pergunta - QUADRADO

[jlchaves]

Caro Rafael,

Um quadrado não deve, mas pode ser chamado de retângulo de lados iguais ,
e não deixa de ser ainda um losango de ângulos iguais.  Mas por ser um
polígono regular, ele é rei entre os quadriláteros notáveis (risos).

Abraços, Zé Luiz


   
 
  rafaelc.l  
 
  [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] 
 
  Enviado Por:  cc:
 
  [EMAIL PROTECTED]Assunto:  [obm-l] pergunta 
 
  .puc-rio.br  
 
   
 
   
 
  28/07/2002 23:48 
 
  Favor responder a
 
  obm-l
 
   
 
   
 





  Pessoal, desculpe se a pergunta parecer muito besta pra
vcs mas estou realmente em dúvida...é o seguinte:

Eu sei que um retângulo não é um quadrado, mas um
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Re: [obm-l] pergunta

[Renato Lira]

Caro Rafael,
Por definição, retangulo é o polígono de 4 lados que possui dois pares
de retas paralelas opostas de modo que seus angulos internos sejam 90º. E o
quadrado?! Ele é sim um retangulo pois se enquadra na definicao de um.
Também por definicao, um losango é um polígono de 4 lados que possui
dois pares de retas de medidas iguais e opostas. E o quadrado? é sim um
losango pois também se enquadra na definicao de um.
.




- Original Message -
From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 28, 2002 11:48 PM
Subject: [obm-l] pergunta



   Pessoal, desculpe se a pergunta parecer muito besta pra
 vcs mas estou realmente em dúvida...é o seguinte:

 Eu sei que um retângulo não é um quadrado, mas um
 quadrado é um retângulo?
 Um quadrado é um losando de lados iguais?






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[obm-l] pergunta sobre uma questão...

[leon-17]

  Gostaria de saber como se faz a questão 9 dos problemas 
do nivel 1, 1ª fase da XXIII Olimpíada de Matemática.
Sobre o serralheiro que possuia 10 pedaços de 3 elos de 
ferro cada um. Ele quer fazer uma corrente única de 30 
elos. Para abrir e soltar um elo ele leva 5 minutos. 
Quantos minutos no mínimo ele levará para fazer a 
corrente? A resposta é 35 min, mas eu queria saber porque.

Obrigado 

Thiago Lima

 
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[obm-l] Re: [obm-l] pergunta sobre uma questão...

[Douglas Carvalho]

   Gostaria de saber como se faz a questão 9 dos problemas
 do nivel 1, 1ª fase da XXIII Olimpíada de Matemática.
 Sobre o serralheiro que possuia 10 pedaços de 3 elos de
 ferro cada um. Ele quer fazer uma corrente única de 30
 elos. Para abrir e soltar um elo ele leva 5 minutos.
 Quantos minutos no mínimo ele levará para fazer a
 corrente? A resposta é 35 min, mas eu queria saber porque.


Quando ele abre um dos conjuntos de 3 elos, ele gasta 15 minutos e
pode ligar mais 4 conjuntos de 3 elos:
ooo O ooo O ooo O ooo (os o's são os tres elos unidos e os O 's sao
os que foram abertos)

abrindo outro conjunto de 3 elos temos
ooo O ooo O ooo O ooo
Entao gastamos 30 minutos e temos 2 correntes de 15 elos.
Para unir as duas correntes (representados pelo hífen abaixo)
necessitamos de abrir mais um elo: mais 5 minutos.
Total 35 minutos
oooOoooOoooOooo-oooOoooOoooOooo

[]'s

Douglas Carvalho




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Re: Pergunta intrigante

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Pergunta intrigante



Na referencia abaixo, no lugar de some entenda multiplique.

--
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Pergunta intrigante
Date: Thu, Nov 29, 2001, 21:00


Sauda,c~oes,

Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato ganhar os
pontos rapidamente.

A demonstração que segue já apareceu numa RPM.

Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x = 1 + x, (*) para
todo x em R. E e^x = 1 + x == x=0.

Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*) e some os n resultados.
Você chegará a 1 = G^n / A^n ou A = G.

[]'s
Luis

Pergunta intrigante

[Alexandre F. Terezan]

 Há pouco tempo um aluno me perguntou sobre 
uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 = 
3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz cúbica de" e 
= o sinal de "maior ou igual a"

 Nós já havíamos trabalhado por alto a 
desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube 
responder:

 "Ora, sabemos que a média aritmética de n 
termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para n, vale 
para 3. Resolvido o problema?"

 Minha opiniao PARTICULAR é q 
nao...

 É óbvio que eu nao defendo a teoria de que 
pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes demonstrá-lo...

 Mas também acho que deve haver bom senso na 
resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a dizer?

 Eu resolveria a questao da seguinte 
maneira:

Seja nr(x) a raiz de índice n do número x.

1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy) 
-- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy 
--

(x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro.

Assim, analogamente (z+w)/2 = 
2r(zw) e (c+d)/2 = 2r(cd)

Seja (x+y+z+w)/4 = a.

a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) + 
2r(zw)]/2

Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem:

a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 
4r(xyzw)

Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:

a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w

Como a = 4r(xyzw),entao:

w = 4r(xyzw) -- w^4 
=xyzw -- w^3 = xyz

Ou:

(x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.

Re: Pergunta intrigante

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato 
ganhar os
pontos rapidamente.

A demonstração que segue já apareceu numa RPM.

Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x 
= 1 + x, (*)para
todo x em R. E e^x = 1 + x == x=0.

Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*)e 
some os n resultados.
Você chegará a 1 = G^n / A^n ou 
A = G.

[]'s
Luis


  -Mensagem Original- 
  De: Alexandre F. Terezan 
  Para: OBM 
  Enviada em: Quinta-feira, 29 de Novembro 
  de 2001 17:05
  Assunto: Pergunta intrigante
  
   Há pouco tempo um aluno me perguntou 
  sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 
  = 3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz cúbica 
  de" e = o sinal de "maior ou igual a"
  
   Nós já havíamos trabalhado por alto a 
  desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube 
  responder:
  
   "Ora, sabemos que a média aritmética de n 
  termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para n, 
  vale para 3. Resolvido o problema?"
  
   Minha opiniao PARTICULAR é q 
  nao...
  
   É óbvio que eu nao defendo a teoria de 
  que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes 
  demonstrá-lo...
  
   Mas também acho que deve haver bom senso 
  na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a dizer?
  
   Eu resolveria a questao da seguinte 
  maneira:
  
  Seja nr(x) a raiz de índice n do número x.
  
  1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy) 
  -- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy 
  --
  
  (x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro.
  
  Assim, analogamente (z+w)/2 = 
  2r(zw) e (c+d)/2 = 2r(cd)
  
  Seja (x+y+z+w)/4 = a.
  
  a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) + 
  2r(zw)]/2
  
  Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem:
  
  a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 
  4r(xyzw)
  
  Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:
  
  a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w
  
  Como a = 4r(xyzw),entao:
  
  w = 4r(xyzw) -- w^4 
  =xyzw -- w^3 = xyz
  
  Ou:
  
  (x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.
  
  
  
  

Re: Pergunta intrigante

[Alexandre F. Terezan]

Mas aí que está o grande problema...

Se o candidato pudesse assumir um "É fácil ver que" e^x 
= 1 + x, tudo bem...

Mas a meu ver nao pode... teria de provar tal 
desigualdade

  -Mensagem Original- 
  De: Luis Lopes 
  
  Para: [EMAIL PROTECTED] 
  Enviada em: Quinta-feira, 29 de Novembro 
  de 2001 21:00 Terezan
  Assunto: Re: Pergunta intrigante
  
  Sauda,c~oes,
  
  Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato 
  ganhar os
  pontos rapidamente.
  
  A demonstração que segue já apareceu numa RPM.
  
  Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x 
  = 1 + x, (*)para
  todo x em R. E e^x = 1 + x == x=0.
  
  Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*)e 
  some os n resultados.
  Você chegará a 1 = G^n / A^n 
  ou A = G.
  
  []'s
  Luis
  
  
-Mensagem Original- 
De: 
Alexandre F. Terezan 
Para: OBM 
Enviada em: Quinta-feira, 29 de 
Novembro de 2001 17:05
    Assunto: Pergunta intrigante

 Há pouco tempo um aluno me perguntou 
sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 
= 3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz 
cúbica de" e = o sinal de "maior ou igual a"

 Nós já havíamos trabalhado por alto a 
desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube 
responder:

 "Ora, sabemos que a média aritmética de 
n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para 
n, vale para 3. Resolvido o problema?"

 Minha opiniao PARTICULAR é q 
nao...

 É óbvio que eu nao defendo a teoria de 
que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes 
demonstrá-lo...

 Mas também acho que deve haver bom 
senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a 
dizer?

 Eu resolveria a questao da seguinte 
maneira:

Seja nr(x) a raiz de índice n do número x.

1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy) 
-- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy 
--

(x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro.

Assim, analogamente (z+w)/2 = 
2r(zw) e (c+d)/2 = 
2r(cd)

Seja (x+y+z+w)/4 = a.

a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) + 
2r(zw)]/2

Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem:

a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 
4r(xyzw)

Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:

a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = 
w

Como a = 4r(xyzw),entao:

w = 4r(xyzw) -- w^4 
=xyzw -- w^3 = xyz

Ou:

(x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.

Re: Pergunta

[Paulo Santa Rita]

Ola Wsf,

O caminho que voce divisou parece ser bom ... Ele te levara
a uma solucao sintetica e geral da questao. Confesso que nao
consigo ver uma maneira mais elegante de abordar o problema.

Presta bem atencao ao seu raciocinio e voce vera que tem
todos os elementos para provar o belo

LEMA : Se N nao e um quadrado perfeito, entao a quantidade
de maneiras de representa-lo por um produto de ate dois
fatores maiores que a unidade e igual a metade da quantidade
de seus divisores proprios.

Voce ja descobriu (fez o mais importante !). Sem querer
estragar a sua alegria, uma maneira de provar o lema acima
poderia ser :

Seja N=(P1^E1)*(P2^E2)*...*(Pn^En) um natural que nao e
quadrado perfeito. Sabemos que

D=(E1 + 1)*(E2 + 1)*...*(En + 1)

e a quantidade de seus divisores. Neste numero, D, estao
computados os divisores 1 e N. Retirando estes divisores
atraves de "D - 2", teremos a quantidade de seus DIVISORES
PROPRIOS. Seja E este conjunto de divisores proprios.

Agora, chamando raiz_2(N) a raiz quadrada de N, vamos fazer
uma cisao no conjunto E, gerando os conjunto A e B :

A={ X/X pertence a E e X  raiz_2(N) }
B={ X/X pertence a E e X  raiz_2(N) }

Como N nao e quadrado perfeito, raiz_2(N) nao e racional e,
portanto, nao pertence a A e nem a B. Por outro lado,
claramente que "A uniao B = E".

Agora note que se "Y pertence a A", entao existe um unico
"Z pertencente a B" tal que Y*Z=N. De fato : se supormos
que "Z pertence a A" entao Y*Z  raiz_2(N)*raiz_2(N) = N,
um evidente absurdo, pois deve ser Y*Z = N.

A funcao que associa a cada "Y pertence a A" um "Z pertencente
a B" tal Y*Z=N e evidentemente uma bijecao de A em B, vale
dizer, os conjuntos A e B tem a mesma cardinalidade.

Esta cardinalidade e evidentemente a quantidade de maneiras
de se representar N como produto de dois fatores ( sem se
importar com a ordem ). Assim, representando por F(p) o numero
de maneiras de se representar N como produto de P fatores :

F(2) = (D - 2)/2 = (D/2) - 1

Como F(1)=1 para qualquer N, entao :

F(1) + F(2) = D/2. E isto prova o LEMA tal COMO QUERIAMOS
DEMONSTRAR.

Com base no LEMA acima fica facil extender as coisas para o
caso de um N qualquer, mesmo ele sendo quadrado perfeito.
Basta voce observar que se N for quadrado perfeito a cisao
que fizemos no conjunto E ira excluir o fator raiz_2(N), que
corresponde ao produto raiz_2(N)*raiz_2(N).

Use [M] (O maior inteiro que nao supera M) sobre D (ou sobre
uma expressao simples com D) e apresente um TEOREMA
absolutamente geral, para qualquer N natural.

E o caso de tres fatores ?

Neste caso a tecnica e a mesma, vale dizer, existe uma
relacao simples entre a quantidade de divisores e o numero
de maneiras de se representar um numero como produto de
tres fatores. Voce nao podera mais, entretanto, retirar apenas
os divisores 1 e N, trabalhando posteriormente apenas com
os divisores proprios. Vai ter que retirar todo divisor Z tal
que N/Z e um fator primo (elevado a um ) de N, pois estes
divisores nao permitem uma representacao da forma X*Y*Z ( pois
voce nao pode decompor um fator primo !)

Espero ter te ajudado, te motivado, sem ter estragado a alegria
de criar e descobrir... Eu procurei apenas esbocar um caminho
que voce ja descobriu e que me parece sintetico e elegante.

Um Grande Abraco pra Voce
Paulo Santa Rita
4,2048,07032001


So para tirar uma duvida.


   ii. Quando o numero de multiplos e impar, fazemos o seguinte calculo:
[n(M)+1]/2, quando for par n(M)/2. Com isso temos todas as possibilidades
para os valores usando apenas 2 dos 3 espacos das questao.


Por isso que estou enviando esse e-mail, existe alguma formula para
determinarmos as possibilidades para o 3 espaco? Caso sim, basta, somar as
possibilidades usando 2 espacos com as possibilidades usando 3 espacos.

E isso ai, espero que alguem me ajude. Obrigado desde ja.


_
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Re: pergunta

[Nicolau C. Saldanha]

On Tue, 13 Feb 2001, Carlos Stein Naves de Brito wrote:

 Como se calcula o volume e area de uma calota esferica, tentei dividi-la em
 pontos mas cada vez acho uma coisa...

Considere a esfera-bola B dada por x^2 + y^2 + z^2 = 1
e o slido (cilindro menos cone) C dado por z^2 = x^2 + y^2 = 1.
A rea da fatia horizontal z = a em cada um dos dois slidos  a mesma,
igual a Pi(1 - a^2), como voc pode verificar facilmente.
Assim, o volume de fatias gordas (b = z = c)  o mesmo nos dois slidos
para quaisquer b e c. Em C voc calcula facilmente o volume das fatias.

A rea pode ser encontrada sem muita dificuldade a partir do volume.
Ou voc pode considerar a esfera-casca x^2 + y^2 + z^2 = 1
e o cilindro x^2 + y^2 = 1 e provar que a rea de qualquer fatia gorda
(b = z = c)  a mesma nos dois casos.

[]s, N.

pergunta

[Carlos Stein Naves de Brito]

So duas perguntinhas:
Como se calcula o volume e area de uma calota esferica, tentei dividi-la em
pontos mas cada vez acho uma coisa...
E estou comecando uma pequena preparacao para olimpiada no meu colegio, mas
nao acho tanto material assim, ha algum site ou livro que apresentem
bastante material para iniciacao, como divisibilidade, geometria, jogos e
outros problemas tipicos?! 

En: pergunta

[Davidson Estanislau]

   Caro Carlos, lembro-me que no volume 10, da coleo Matemtica Elementar,
h a demonstrao, de como se calcular a calota esfrica.
   Bem, sobre o material de estudo, visite o site da OBM. L voc encontrar
algumas biografias.

   Davidson


-Mensagem original-
De: Carlos Stein Naves de Brito [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Tera-feira, 13 de Fevereiro de 2001 11:27
Assunto: pergunta


So duas perguntinhas:
Como se calcula o volume e area de uma calota esferica, tentei dividi-la em
pontos mas cada vez acho uma coisa...
E estou comecando uma pequena preparacao para olimpiada no meu colegio, mas
nao acho tanto material assim, ha algum site ou livro que apresentem
bastante material para iniciacao, como divisibilidade, geometria, jogos e
outros problemas tipicos?!

Re: Pergunta solta

[Alexandre Tessarollo]

Respondendo ao Marcelo: "Maple" é um programa de matemática que faz
MUITA coisa, entre gráficos (todos os tipos), integrais, derivadas, etc.

O único lugar que eu conheço e também onde comprei o meu, foi na UFRJ,
no Instituto de Matemática, no CT, por R$20. Só não sei se a venda é só
para alunos e professores da UFRJ ou se é aberta. Se for, não sei se é o
mesmo preço. O único lugar além do IM que eu acho que possa ter é no
IMPA.

Alexandre Tessarollo

Re: Pergunta solta

[Edmilson]

Caro Prof. Morgado e outros amigos da lista,

Uma versão "Demo" do Maple V Release 4, se encontra no endereço
 http://www.abeunet.com.br/~edmilson/maple.htm

Com está versão demo não é possível algumas poucas coisas que são possíveis
na versão registrada, como por exemplo : salvar um arquivo, copiar e colar;
no entanto, é possível ter acesso ao HELP, e executar as operações como na
versão completa.

A partir daí, pode-se obter o "Demo" de outros software Matemáticos,
inclusive o DERIVE 5.

- Original Message -
From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 30, 2000 12:00 PM
Subject: Re: Pergunta solta




 Augusto Morgado wrote:
 
  Ecass Dodebel wrote:
  
   From: "Edmilson" [EMAIL PROTECTED]
   
   Olá pessoal tudo bem ?
   
   Caro Ecass,
   
   Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,
   
   Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) =
Pi^2/6 ,
   como s(n) é monótona crescente, temos
   s(n)  Pi^2/6 , para todo n  natural.
   
   Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1) , para todo n
natural.
   
   Temos que 2.Pi  n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1  0
,
   completando o quadrado temos :
   
   (n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1  (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 
   (n^2)*(Pi^2), assim, como
   
   (n.Pi -1)^2  (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n),
temos
   :
  
   Caro Edmilson,
   nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a
passagem
   n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n), ou seja
   Pi^2/6  s(n)
   mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era
   inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?
  
   Eduardo Casagrande Stabel.
  
   
   (n.Pi -1)^2  6*(n^2)*s(n), ou seja,
   
   n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2))  1 , dividindo ambos os lados por n,
   finalmente :
   
   Pi - (6*s(n))^(1/2))  n^(-1) , para todo n natural.
   
   Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)]
quando
   n
   tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 /
Pi que
   está bem próximo de 1.
   
   Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda
não
   consegui).
   
   Atenciosamente,
   Edmilson Aleixo.
   
   - Original Message -
   From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
   To: [EMAIL PROTECTED]
   Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
   Subject: Pergunta solta
   
   
     Olá,
    
 Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao

 s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2

 Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando
calcular pi
   por
 essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:

 Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1)

 E também acho que o quociente

 [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]

 tende para 1 quando n tende para o infinito.

 Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém
poderia
   dar
 uma idéia?

 Obrigado!

 Eduardo Casagrande Stabel.
 
  Carissimos:
  A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera
  chamada de Sk.
 
  Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a
  area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k.
  A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior
  obtidas do jeito que vou descrever:
  Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1,
  mais a de k+1 a k+2 etc.
  Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
  retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
  y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido
  trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc.
  Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
  retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
  y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando
  nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc.
  Obtemos Sk - 1/(k^2)  Ak  Sk.
 
  Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n
  variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser
  igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o
  erro
  cometido eh a soma dos valores de  1/n^2  com n variando de k+1 a
  infinito,
  ou seja eh S(k+1).
  Pelo resultado do paragrafo anterior,  Ak  Sk  1/(k^2)+ Ak, ou o que
  eh o
  mesmo, A(k+1)  S(k+1)  1/((k+1)^2)+ A(k+1).
  Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular).
  Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e
  1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2.
 
  Portanto,  X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com
  erro
  menor que (n+2)/(n+1)^2.
 
  X  (pi^2)/6  X +(n+2)/(n+1)^2.
 
  Dai se obtem (raiz de 6X) pi  raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)].
  Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a
  som

Re: Pergunta solta

[Ecass Dodebel]

From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Pergunta solta
Date: Sun, 30 Jul 2000 12:00:34 -0300



Augusto Morgado wrote:
 
  Ecass Dodebel wrote:
  
   From: "Edmilson" [EMAIL PROTECTED]
   
   Olá pessoal tudo bem ?
   
   Caro Ecass,
   
   Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,
   
   Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) = 
Pi^2/6 ,
   como s(n) é monótona crescente, temos
   s(n)  Pi^2/6 , para todo n  natural.
   
   Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1) , para todo n 
natural.
   
   Temos que 2.Pi  n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1  0 
,
   completando o quadrado temos :
   
   (n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1  (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 
   (n^2)*(Pi^2), assim, como
   
   (n.Pi -1)^2  (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), 
temos
   :
  
   Caro Edmilson,
   nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a 
passagem
   n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n), ou seja
   Pi^2/6  s(n)
   mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era
   inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?
  
   Eduardo Casagrande Stabel.
  
   
   (n.Pi -1)^2  6*(n^2)*s(n), ou seja,
   
   n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2))  1 , dividindo ambos os lados por n,
   finalmente :
   
   Pi - (6*s(n))^(1/2))  n^(-1) , para todo n natural.
   
   Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] 
quando
   n
   tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / 
Pi que
   está bem próximo de 1.
   
   Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda 
não
   consegui).
   
   Atenciosamente,
   Edmilson Aleixo.
   
   - Original Message -
   From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
   To: [EMAIL PROTECTED]
   Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
   Subject: Pergunta solta
   
   
 Olá,

 Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao

 s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2

 Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando 
calcular pi
   por
 essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:

 Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1)

 E também acho que o quociente

 [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]

 tende para 1 quando n tende para o infinito.

 Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém 
poderia
   dar
 uma idéia?

 Obrigado!

 Eduardo Casagrande Stabel.
 
  Carissimos:
  A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera
  chamada de Sk.
 
  Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a
  area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k.
  A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior
  obtidas do jeito que vou descrever:
  Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1,
  mais a de k+1 a k+2 etc.
  Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
  retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
  y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido
  trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc.
  Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
  retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
  y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando
  nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc.
  Obtemos Sk - 1/(k^2)  Ak  Sk.
 
  Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n
  variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser
  igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o
  erro
  cometido eh a soma dos valores de  1/n^2  com n variando de k+1 a
  infinito,
  ou seja eh S(k+1).
  Pelo resultado do paragrafo anterior,  Ak  Sk  1/(k^2)+ Ak, ou o que
  eh o
  mesmo, A(k+1)  S(k+1)  1/((k+1)^2)+ A(k+1).
  Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular).
  Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e
  1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2.
 
  Portanto,  X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com
  erro
  menor que (n+2)/(n+1)^2.
 
  X  (pi^2)/6  X +(n+2)/(n+1)^2.
 
  Dai se obtem (raiz de 6X) pi  raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)].
  Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a
  soma de
  raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar.
  Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do
  primeiro,
  isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto
  eh,
  6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que
  (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2  eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o
  mesmo que
 
  [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que
  eh o mesmo
  que   [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1

Re: Pergunta solta

[Augusto Morgado]

 Caro Morgado,
 eu agradeço a sua brilhante solução e ressalto que na primeira parte
dela,
 você usa a área de uma curva para estimar a soma de parcelas. É uma
idéia
 bem simples, mas eu nunca havia pensado nisso. Parece ser muito útil
fazer
 esse tipo de estimativas:
 Digamos que queremos estimar 1/1+1/2+...+1/k.
 Seguindo o raciocínio do prof. e usando notação similar. Dizemos que Sk
é a
 soma se 1/x com x variando de 1 até k. E Ak a área de 1/x com x
variando de
 1 até k. Vemos que tomando os retângulos por baixo da curva 1/x entre
os
 inteiros 1,2 ; 2,3 ;..., 1+AkSk, e os retângulos por cima da curva que
 SkAk+1/(k+1), logo 1+AkSkAk+1/(k+1), e como Ak=ln(k), temos
 1+ln(k)1/1+...+1/kln(k)+1/(k+1)
 A diferença entre as pontas dessa desigualdade é 1-1/(k+1)=k/(k+1), de
forma
 que conseguimos estimar Sk com um erro inferior a 1. Era de se esperar
(com
 esse resultado) que (1/1+...+1/k)-ln(k) tendesse a algum número entre 1
e
 1/(k+1), a medida que o k se tornasse maior e de fato  tende para
 0.5772156649... que é a chamada constante de Euler, segundo o Maple V,
e é
 representada pela letra gamma minúscula.
 Já é alguma coisa.
 
 Obrigado!
 
 Eduardo Casagrande Stabel.
 


Apenas uns comentarios:
1) Essa idéia de relacionar as somas com as integrais eh poderosa, eh
padrao e eh 
devida a Mac Laurin.
2) A constante de Euler, ate hoje nao se sabe se ela eh racional ou
irracional.
3)A soma 1+1/2 +...+1/k eh, conforme voce mostrou, aproximada por lnk
com erro 
menor que 1. Tal soma esta tambem relacionada a funçao digama (que
alguns chamam 
de funçao psi), que eh o quociente entre a derivada da funçao gama e a
funçao gama
4) Na realidade, para concluir a existencia da constante de Euler, nao
basta a 
desigualdade que voce mostrou; ha que usar o fato de 1+1/2 +...+1/k -
lnk ser 
monotono, o que eh facil de mostrar.
5) Obrigado a todos pelas dicas sobre o Maple.
Morgado

Pergunta solta

[Ecass Dodebel]

Olá,

Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao

s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2

Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por 
essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:

Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1)

E também acho que o quociente

[Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]

tende para 1 quando n tende para o infinito.

Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar 
uma idéia?

Obrigado!

Eduardo Casagrande Stabel.


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Re: Pergunta solta

[Edmilson]

Olá pessoal tudo bem ?

Caro Ecass,

Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,

Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6 ,
como s(n) é monótona crescente, temos
s(n)  Pi^2/6 , para todo n  natural.

Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1) , para todo n natural.

Temos que 2.Pi  n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1  0 ,
completando o quadrado temos :

(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1  (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 
(n^2)*(Pi^2), assim, como

(n.Pi -1)^2  (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos :

(n.Pi -1)^2  6*(n^2)*s(n), ou seja,

n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2))  1 , dividindo ambos os lados por n,
finalmente :

Pi - (6*s(n))^(1/2))  n^(-1) , para todo n natural.

Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando n
tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que
está bem próximo de 1.

Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não
consegui).

Atenciosamente,
Edmilson Aleixo.

- Original Message -
From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
Subject: Pergunta solta


 Olá,

 Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao

 s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2

 Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por
 essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:

 Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1)

 E também acho que o quociente

 [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]

 tende para 1 quando n tende para o infinito.

 Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar
 uma idéia?

 Obrigado!

 Eduardo Casagrande Stabel.

 
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Re: Pergunta solta

[Ecass Dodebel]

From: "Edmilson" [EMAIL PROTECTED]

Olá pessoal tudo bem ?

Caro Ecass,

Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,

Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6 ,
como s(n) é monótona crescente, temos
s(n)  Pi^2/6 , para todo n  natural.

Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1) , para todo n natural.

Temos que 2.Pi  n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1  0 ,
completando o quadrado temos :

(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1  (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 
(n^2)*(Pi^2), assim, como

(n.Pi -1)^2  (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos 
:


Caro Edmilson,
nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem
n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n), ou seja
Pi^2/6  s(n)
mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era 
inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?

Eduardo Casagrande Stabel.



(n.Pi -1)^2  6*(n^2)*s(n), ou seja,

n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2))  1 , dividindo ambos os lados por n,
finalmente :

Pi - (6*s(n))^(1/2))  n^(-1) , para todo n natural.

Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando 
n
tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que
está bem próximo de 1.

Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não
consegui).

Atenciosamente,
Edmilson Aleixo.

- Original Message -
From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
Subject: Pergunta solta


  Olá,
 
  Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao
 
  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2
 
  Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi 
por
  essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:
 
  Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1)
 
  E também acho que o quociente
 
  [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]
 
  tende para 1 quando n tende para o infinito.
 
  Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia 
dar
  uma idéia?
 
  Obrigado!
 
  Eduardo Casagrande Stabel.
 
  
  Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
 
 



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Re: Pergunta solta

[Augusto Morgado]

Ecass Dodebel wrote:
 
 From: "Edmilson" [EMAIL PROTECTED]
 
 Olá pessoal tudo bem ?
 
 Caro Ecass,
 
 Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,
 
 Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6 ,
 como s(n) é monótona crescente, temos
 s(n)  Pi^2/6 , para todo n  natural.
 
 Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1) , para todo n natural.
 
 Temos que 2.Pi  n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1  0 ,
 completando o quadrado temos :
 
 (n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1  (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 
 (n^2)*(Pi^2), assim, como
 
 (n.Pi -1)^2  (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos
 :
 
 Caro Edmilson,
 nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem
 n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n), ou seja
 Pi^2/6  s(n)
 mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era
 inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?
 
 Eduardo Casagrande Stabel.
 
 
 (n.Pi -1)^2  6*(n^2)*s(n), ou seja,
 
 n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2))  1 , dividindo ambos os lados por n,
 finalmente :
 
 Pi - (6*s(n))^(1/2))  n^(-1) , para todo n natural.
 
 Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando
 n
 tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que
 está bem próximo de 1.
 
 Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não
 consegui).
 
 Atenciosamente,
 Edmilson Aleixo.
 
 - Original Message -
 From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
 Subject: Pergunta solta
 
 
   Olá,
  
   Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao
  
   s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2
  
   Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi
 por
   essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:
  
   Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1)
  
   E também acho que o quociente
  
   [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]
  
   tende para 1 quando n tende para o infinito.
  
   Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia
 dar
   uma idéia?
  
   Obrigado!
  
   Eduardo Casagrande Stabel.

Carissimos:
A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera
chamada de Sk. 

Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a
area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k.
A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior
obtidas do jeito que vou descrever:
Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1,
mais a de k+1 a k+2 etc.
Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido
trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc.
Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando
nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc.
Obtemos Sk - 1/(k^2)  Ak  Sk.

Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n
variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser 
igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o
erro
cometido eh a soma dos valores de  1/n^2  com n variando de k+1 a
infinito,
ou seja eh S(k+1).
Pelo resultado do paragrafo anterior,  Ak  Sk  1/(k^2)+ Ak, ou o que
eh o
mesmo, A(k+1)  S(k+1)  1/((k+1)^2)+ A(k+1).
Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular).
Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e 
1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2.

Portanto,  X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com
erro 
menor que (n+2)/(n+1)^2.

X  (pi^2)/6  X +(n+2)/(n+1)^2.

Dai se obtem (raiz de 6X) pi  raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)].
Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a
soma de
raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar.
Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do
primeiro,
isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto
eh, 
6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que
(6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2  eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o
mesmo que

[6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que
eh o mesmo 
que   [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou
ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X).
O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior 
que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X1,5, o que
ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, 
eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale 
para n a partir de 7 inclusive.

PS: Onde se arranja um Maple baratinho?

Re: Pergunta solta

[Marcelo Souza]

desculpa a ignorância, mas o que é um "maple"
obrigado
abraços
marcelo


From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Pergunta solta
Date: Sat, 29 Jul 2000 18:07:57 -0300



Ecass Dodebel wrote:
 
  From: "Edmilson" [EMAIL PROTECTED]
  
  Olá pessoal tudo bem ?
  
  Caro Ecass,
  
  Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,
  
  Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6 
,
  como s(n) é monótona crescente, temos
  s(n)  Pi^2/6 , para todo n  natural.
  
  Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1) , para todo n 
natural.
  
  Temos que 2.Pi  n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1  0 ,
  completando o quadrado temos :
  
  (n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1  (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 
  (n^2)*(Pi^2), assim, como
  
  (n.Pi -1)^2  (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), 
temos
  :
 
  Caro Edmilson,
  nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem
  n².6.Pi²/6  (n^2)*6*s(n), ou seja
  Pi^2/6  s(n)
  mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era
  inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?
 
  Eduardo Casagrande Stabel.
 
  
  (n.Pi -1)^2  6*(n^2)*s(n), ou seja,
  
  n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2))  1 , dividindo ambos os lados por n,
  finalmente :
  
  Pi - (6*s(n))^(1/2))  n^(-1) , para todo n natural.
  
  Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] 
quando
  n
  tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi 
que
  está bem próximo de 1.
  
  Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda 
não
  consegui).
  
  Atenciosamente,
  Edmilson Aleixo.
  
  - Original Message -
  From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
  Subject: Pergunta solta
  
  
Olá,
   
Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao
   
s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2
   
Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular 
pi
  por
essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:
   
Pi - (6*s(n))^(1/2)  n^(-1)
   
E também acho que o quociente
   
[Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]
   
tende para 1 quando n tende para o infinito.
   
Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém 
poderia
  dar
uma idéia?
   
Obrigado!
   
Eduardo Casagrande Stabel.

Carissimos:
A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera
chamada de Sk.

Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a
area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k.
A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior
obtidas do jeito que vou descrever:
Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1,
mais a de k+1 a k+2 etc.
Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido
trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc.
Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando
nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc.
Obtemos Sk - 1/(k^2)  Ak  Sk.

Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n
variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser
igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o
erro
cometido eh a soma dos valores de  1/n^2  com n variando de k+1 a
infinito,
ou seja eh S(k+1).
Pelo resultado do paragrafo anterior,  Ak  Sk  1/(k^2)+ Ak, ou o que
eh o
mesmo, A(k+1)  S(k+1)  1/((k+1)^2)+ A(k+1).
Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular).
Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e
1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2.

Portanto,  X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com
erro
menor que (n+2)/(n+1)^2.

X  (pi^2)/6  X +(n+2)/(n+1)^2.

Dai se obtem (raiz de 6X) pi  raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)].
Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a
soma de
raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar.
Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do
primeiro,
isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto
eh,
6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que
(6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2  eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o
mesmo que

[6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que
eh o mesmo
que   [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou
ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X).
O primeiro é sempre menor que 6.

pergunta sobre seno.

[Benjamin Hinrichs]

Bom dia listeiros,
conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a
seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual
seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei
sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham.

Abraço,

Benjamin Hinrichs

Re: pergunta sobre seno.

[Benjamin Hinrichs]

É, colocando em termos que não mais me são familiar, sim. Seria isso: qual o
comprimento da curva y = sen(x), 0 = x = 2 pi.

Abraço,
Benjamin Hinrichs


- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: Obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, July 21, 2000 2:13 PM
Subject: Re: pergunta sobre seno.




On Fri, 21 Jul 2000, Benjamin Hinrichs wrote:

 Bom dia listeiros,
 conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a
 seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual
 seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei
 sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham.

Eu pelo menos não entendo do que você está falando. Revolução do seno??
Será que você quer saber o comprimento da curva y = sen(x), 0 = x = 2 pi?

[]s, N.

Re: pergunta sobre seno.

[Edmilson]

Caro Benjamin,

Se a tal "revolução" for o arco de y = sen(x) de x = 0 a x = 2*Pi, o
comprimento pode ser calculado com uma parametrização de y = sen(x), por
exemplo, x = t e y = sen(t) ou na forma vetorial, P(t) = ( t , sen(t)) e
calcular em seguida a integral definida de 0 a 2*Pi do módulo da derivada de
P(t). Esta função me pareceu no Maple não ser integrável segundo Riemann
(Integral elíptica), mas ele deu uma resposta aproximada  :

Int | P'(t)| (t=0..2*Pi) = 7,640395576.

Atenciosamente,
Edmilson Aleixo - RJ


- Original Message -
From: Benjamin Hinrichs [EMAIL PROTECTED]
To: Obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, July 21, 2000 10:04 AM
Subject: pergunta sobre seno.


 Bom dia listeiros,
 conversando hoje com minha mãe a caminho do trabalho ela me lançou a
 seguinte questão: se colocarmos um fio sobre uma "revolução" do seno, qual
 seria seu comprimento? Já saí falando que seria maior que 2*Pi mas fiquei
 sem resposta precisa. Daí pergunto para vcs o que acham.

 Abraço,

 Benjamin Hinrichs

Re: Pergunta

[Marcos Paulo]

Não é difícil perceber que o quadrilátero APQB será inscritível quando o
angulo BAM for igual ao angulo DQB.BAM =[(arco MD) + (arco DB)]/2 e DQB
=[(arco MC) +(arco DB)]/2.para que eles sejam iguais devemos ter arco CM =
arco MD , ou seja M é médio do arco CD.
[]'s M.P.

Re: Pergunta cretina!!!

[Humberto Ferreira Vinhais]

bem, no sei se vai ajudar muito, mas eu 
penso assim:
quando li esse 
exerccio, na hora, me veio a cabea um exerccio de 
velocidade (e at acho q caiu um assim na primeira fase da OBM de 98 e se 
no me engano, esse foi um dos q errei , pensando do mesmo modo q seu 
primeiro raciocnio)... ento, o segundo raciocnio 
 o correto, pois trata de usar as velocidades mdias, de Paulo e 
Pedro e, assim, multiplicar a frao 3/2 com a velocidade ( uma 
conta em duas grandezas). J o primeiro raciocnio, ao no 
utilizar as velocidades (= eficcia da tarefa), tenta resoler o 
exerccio sem levar em considerao as duas grandezas 
relacionadas (tarefa por tempo), considerando s uma e tratando a 
eficcia somente pelo tempo e multiplicando por ele as 
fraes do problema ( o que no est errado, mas te 
faz perder a noo q 3/2  uma razo de 
eficcia relacionada ao quanto de trabalho  feito, e no 
ao tempo, logo o que seria 1/12x3/2 teria q ser invertido, ao se considerar o 
tempo em primeiro lugar ou s o tempo mesmo: 12/1x2/3 o que d 8 ) 
e se perdendo na lgica do exerccio pensando s no tempo, 
vc acabou fazendo 12x1/2x3/2=9...

bem, desculpe-me se eu compliquei e se eu estiver errado, 
depois de tudo isso, algum me corrija por favor.

-Mensagem original-De: 
Via Lux [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: 
Tera-feira, 2 de Maio de 2000 15:24Assunto: Pergunta 
cretina!!!

Ol, Mestres, Olmpicos e 
fs incondicionais da matemtica do Brasil,

A vai um pergunta 
cretina para vcs:

Se Paulo gasta 12 horas pra fazer uma 
tarefa, entao Pedro, que eh 50 porcento mais eficiente que Paulo gastarah 
quanto tempo para faze-la???

Ora se Paulo faz uma tarefa em12 
horas
Dois Paulos, ou seja, alguem 100% mais 
eficiente que Paulo, faria(m) tal tarefa na metade do tempo, ou seja, 6 
horas. Logo, alguem que tenha eficiencia de 50% a mais que Paulo (3/2 Paulo) 
deverah, portanto demorar 9 horas para faze-la! 


Algo assim:

12 horas = (um 
Paulo)

11 horas

10 horas

9 horas = 
(1,5 Paulo) / Metade entre 6 e 12.

8 horas

7 horas

6 horas = Dois Paulos ( 100% a mais 
de eficiencia) 

Afinal de contas, estao em jogo grandezas inversamente 
proporcionais, ou nao?!


Por outro lado, sabemos que, em uma hora, um 
Paulo farah 1/12 da tarefa e 3/2 de Paulo, em uma hora, eh capaz de executar 
1/12 + 1/24 = 1/8 da tarefa, donde obteriamos 8 horas totais para 
executa-la... que eh a resposta certa!

Mas, como explicar a falha do 
primeiro raciocinio?!
 

 
Um abracao a todos,
 
LMF

Re: Pergunta cretina!!!

[Marcos Eike Tinen dos Santos]

Então Raph caso tenhamos uma questão dessa, acho melhor dar as duas
respostas, pois no enunciado, nada nos informa de qual a dimensão que se
quer que calcule.

Ats,
Marcos Eike
- Original Message -
From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Terça-feira, 2 de Maio de 2000 20:22
Subject: Re: Pergunta cretina!!!


 Aqui vai uma explicação que me parece boa...

 O raciocínio *errado* usado é LINEAR. Ele funcionava assim:
 12 horas = 1 Paulo
 6 horas  = 2 Paulos (até aqui, ok)
 portanto faça a média aritmética (m.a. = raciocínio LINEAR)
 9 horas = 1.5 Paulo (H Talvez?)
 e usando o mesmo raciocínio linear
 18 horas = 0 Paulos (?!?)
 0 horas  = 3 Paulos (?!?)
 O que está errado é que o raciocínio usado é linear mas as grandezas
 NÃO DEPENDEM LINEARMENTE uma da outra; como você mesmo disse, elas são
 INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (o que é bem diferente de LINEARMENTE
 DEPENDENTES E UMA SOBE QUANDO A OUTRA DESCE).

 O correto: se x é o número de "Paulos" e y é o número de horas, então:
 xy = Constante (NÃO a reta ax+by=Constante)
 De fato, é assim que se mede a quantidade de trabalho a ser feita, em
 pessoas-hora (1 Pessoa-hora = 1 Pessoa vezes 1 Hora = trabalho feito por
 uma pessoa em uma hora). No nosso caso:
 Trabalho a fazer = 12 Paulos-hora

 Agora, não é claro o que significa "Pedro é 50% mais eficiente". Se
 isto quer dizer que Pedro faz 50% mais em 1 hora, então
 1 Pedro = 1.5 Paulo
 e o seu raciocínio esta correto:
 Trabalho = 12 Paulos-hora = 12/1.5 Pedros-hora = 8 Pedros-hora
 Pedro faz o trabalho em 8 horas.

 Agora, se "Pedro é 50% mais eficiente" quer dizer que ele faz o mesmo
 trabalho em 50% do tempo, as coisas mudam!
 1 Pedro-hora = 2 Paulo-hora
 e Pedro faz o trabalho em 6 horas.

 Reconhecidamente, acho que a primeira interpretacao é a correta. Como a
 sua resposta final, a minha resposta também seria 8 horas.