RE: [obm-l] Geometria(obmep 2014)
A diagonal de um paralelogramo dividi-o em dois triangulos de mesma areaEntao (ABC) = (BCD) = 12 DF é mediana de BCD entao (CDF) é metade de (BCD) e 1/4 de (ABCD) Como DE é mediana de ABD entao (ADE) é 1/4 de (ABCD) BEF é semelhante a ABC e EF = 1/2 . AC, entao (BEF) é 1/4 de (ABC) e 1/8 de (ABCD) Seja I o ponto de encontro das diagonais de ABCD.Note que AI e ED sao medianas de ABD e H é baricentro,entao EH = 1/3.ED,dai (AEH) = 1/3(ADE) = 1/12.(ABCD)Mostra-se analogamente que (CFG) = 1/12.(ABCD)Finalmente (EFGH) = (ABC) - (BEF) - (AEH) - (CFG) = 12 - 3 - 2 - 2 = 5 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Geometria(obmep 2014) Date: Mon, 2 Jun 2014 12:20:17 + Questão 16,nível 3 O paralelogramo ABCD tem área 24cm^2 e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente.Qual é a área do quadrilátero EFGH?H e G são os pontos de encontro de DE e AC e de DF e AC, respectivamente. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria(obmep 2014)
Boa tarde! Seja S1 a área do ∆ AHD, S2 a do ∆ HGD e S3 a do ∆ GCD e S a área do paralelogramo. ∆ BEF ~ ∆ ABC (LAL) ==> S(∆ BEF)= 1/8 S ∆ AEH ~ ∆ HDC (AAA) ==> S (∆AEH) = 1/4 * (S2 + S3) e AH = 1/3 AC (i) ∆ FGC ~ ∆ AGD (AAA) ==> S (∆ FGC) = 1/4 * (S1+S2) e GC = 1/3 AC (ii) (i) e (ii) ==> HG = 1/3 AC ∆ EFD ~ ∆ HHD (AAA) e EF = 1/2 Ac e HG = 1/3 AC ==> S(EFGH) = 5/4 S2. S(∆ BEF) + S (∆AEH) + S (∆ FGC) + S(EFGH) = 1/2 S 1/8 S + 1/4 S2 + 1/4 (S1 + S2 + S3) + 5/4 S2 = 1/2 S S1 + S2 + S3 = 1/2 S ==> 3/2 S2 = 1/4 S ==> S2 = 1/6 S ==> S(EFGH) = 5/4 *1/6 * S = 5/24 * S =* 5 cm^2.* Ou pode-se observar que o quaduadrilátero é um trapézio. S = AC * Hb, onde Hb é alttura do ∆ ABC, relativa ao lado AC. Seja hb a altura do∆ BEF relativa ao lado EF. Como ∆ BEF ~ ∆ ABC (LAL)==> hb = 1/2 * Hb Portanto a altura do EFGH é Hb - hb = 1/2Hb ==> S(EFGH)= 0,5 * (0,5*AC + 1/3* AC) * Hb/2 S(EFGH)= 5/24 * S =* 5 cm^2.* Saudações, PJMS Em 2 de junho de 2014 11:01, Hermann escreveu: > Marcone comparando áreas (de triângulos base e altura) cheguei no > valor de 10A/24 onde A é metade do paralelogramo, logo resposta 5cm^2 > > abraços > Hermann > > > - Original Message - > > *From:* marcone augusto araújo borges > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Monday, June 02, 2014 9:20 AM > *Subject:* [obm-l] Geometria(obmep 2014) > > Questão 16,nível 3 > > O paralelogramo ABCD tem área 24cm^2 e os pontos E e F são os pontos > médios > dos lados AB e BC, respectivamente.Qual é a área do quadrilátero EFGH? > H e G são os pontos de encontro de DE e AC e de DF e AC, respectivamente. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria(obmep 2014)
Marcone comparando áreas (de triângulos base e altura) cheguei no valor de 10A/24 onde A é metade do paralelogramo, logo resposta 5cm^2 abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, June 02, 2014 9:20 AM Subject: [obm-l] Geometria(obmep 2014) Questão 16,nível 3 O paralelogramo ABCD tem área 24cm^2 e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente.Qual é a área do quadrilátero EFGH? H e G são os pontos de encontro de DE e AC e de DF e AC, respectivamente. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
