RE: [obm-l] Menor ângulo
Oi, acredito em duendes e errinhos de digitacao. Nao seria sqrt(2) = 1,414? Ai os lados medem 1000sqrt(2) e 1000sqrt(3). Ve se ajuda. Amplexos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Menor ânguloDate: Wed, 5 Nov 2008 14:39:54 + Uma ajudinha por favor: 1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos A, B e C. Sabe-se que a distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB deve ser reto e que o comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m. Nestas condições, considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo BAC possível deve medir, graus, exatamente a) 15 b)10 c) 5 d) 20 e)30 Observação: Sqrt[n] - raiz quadrada de n Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! _ Discover the new Windows Vista http://search.msn.com/results.aspx?q=windows+vistamkt=en-USform=QBRE
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Menor ângulo
Olá.
Pelo menos essas duas questões fazem parte de uma coletânea de exercícios de
trigonometria que confeccionei dois anos atrás, para meus alunos do 2º ano,
aqui em Belém do Pará, colégio Ideal, juntamente com, salvo engano, mais umas
15 questões.
Em particular, essas que enviaste adaptei, criando alternativas ou o contexto,
da excelente Coleção do Professor de Matemática, da SBM.
Abraços.
Márcio Pinheiro.
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Menor
ânguloDate: Thu, 6 Nov 2008 20:24:58 +
Olá Márcio, você poderia me dizer de onde vieram essas questões? Meu colega
apenas mostrou o caderno onde constavam essas duas juntamente com muitas
outras, e essas nos complicaram a vida. Aproveito para dizer obrigado (^_ ^)
Date: Wed, 5 Nov 2008 10:34:18 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Re:
[obm-l] Menor ânguloTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, novamente.
Há um erro no valor da aproximação da raiz quadrada de 2: é 1,414.
Tens dois caminhos pra seguir (pelo menos que percebo agora):
1ª solução:
O triângulo ABC possui, com as aproximações dadas, lados AB = 100sqrt(2), BC =
x e AC = 100sqrt(3) - x, já que AC + BC = 100sqrt(3). Portanto, semelhante ao
triângulo retângulo de hipotenusa sqrt(2) e catetos y e sqrt(3) - y. Logo, pelo
teorema de Pitágoras, encontra-se y a partir da equação 2y^2 - 2ysqrt(3) + 1 =
0, obtendo-se dois valores: [sqrt(3) + 1]/2 e [sqrt(3) - 1]/2. Como se deseja o
menor valor possível do ângulo (agudo) BAC, deve-se impor menor BC possível, a
saber, 100x[sqrt(3) - 1]/2. Por conseguinte, já com essa última condicionante,
sen (BAC) = {[sqrt(3) - 1]/2}/sqrt(2) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4, de que se
conclui BAC = 15º (60º - 45º, por exemplo).
2ª solução:
Com as mesmas notações da solução precedente, pode-se proceder sem necessidade
de determinar os lados do triângulo. Basta notar que sen (BAC) = y/sqrt(2) e
cos (BAC) = [sqrt(3) - y]/sqrt(2). Somando: sen (BAC) + cos (BAC) =
sqrt(3)/sqrt(2), ou seja, sen (pi/4 + BAC) = sqrt(3)/2 = sen (pi/3) (é só usar
a identidade sen x + cos x = sqrt(2).sen (x + pi/4). Enfim, BAC + pi/4 = pi/3 +
2kpi ou pi - [BAC + pi/4] = pi/3 + 2kpi, com k inteiro. Como BAC deve ser
agudo, necessariamente BAC = pi/3 - pi/4 ou BAC = 3pi/4 - pi/3. Uma vez que BAC
é mínimo, conclui-se que BAC = pi/3 - pi/4 = 15º.
Até mais,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Já sei de onde vieram as questões.
--- Em qua, 5/11/08, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Menor ânguloPara:
[EMAIL PROTECTED]: Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008, 12:39
Uma ajudinha por favor: 1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos
A, B e C. Sabe-se que a distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB
deve ser reto e que o comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m.
Nestas condições, considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo
BAC possível deve medir, graus, exatamente a) 15 b)10 c) 5 d) 20 e)30
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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Menor ângulo
Olá Márcio, você poderia me dizer de onde vieram essas questões? Meu colega
apenas mostrou o caderno onde constavam essas duas juntamente com muitas
outras, e essas nos complicaram a vida. Aproveito para dizer obrigado
(^_ ^)
Date: Wed, 5 Nov 2008 10:34:18 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Re:
[obm-l] Menor ânguloTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, novamente.
Há um erro no valor da aproximação da raiz quadrada de 2: é 1,414.
Tens dois caminhos pra seguir (pelo menos que percebo agora):
1ª solução:
O triângulo ABC possui, com as aproximações dadas, lados AB = 100sqrt(2), BC =
x e AC = 100sqrt(3) - x, já que AC + BC = 100sqrt(3). Portanto, semelhante ao
triângulo retângulo de hipotenusa sqrt(2) e catetos y e sqrt(3) - y. Logo, pelo
teorema de Pitágoras, encontra-se y a partir da equação 2y^2 - 2ysqrt(3) + 1 =
0, obtendo-se dois valores: [sqrt(3) + 1]/2 e [sqrt(3) - 1]/2. Como se deseja o
menor valor possível do ângulo (agudo) BAC, deve-se impor menor BC possível, a
saber, 100x[sqrt(3) - 1]/2. Por conseguinte, já com essa última condicionante,
sen (BAC) = {[sqrt(3) - 1]/2}/sqrt(2) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4, de que se
conclui BAC = 15º (60º - 45º, por exemplo).
2ª solução:
Com as mesmas notações da solução precedente, pode-se proceder sem necessidade
de determinar os lados do triângulo. Basta notar que sen (BAC) = y/sqrt(2) e
cos (BAC) = [sqrt(3) - y]/sqrt(2). Somando: sen (BAC) + cos (BAC) =
sqrt(3)/sqrt(2), ou seja, sen (pi/4 + BAC) = sqrt(3)/2 = sen (pi/3) (é só usar
a identidade sen x + cos x = sqrt(2).sen (x + pi/4). Enfim, BAC + pi/4 = pi/3 +
2kpi ou pi - [BAC + pi/4] = pi/3 + 2kpi, com k inteiro. Como BAC deve ser
agudo, necessariamente BAC = pi/3 - pi/4 ou BAC = 3pi/4 - pi/3. Uma vez que BAC
é mínimo, conclui-se que BAC = pi/3 - pi/4 = 15º.
Até mais,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Já sei de onde vieram as questões.
--- Em qua, 5/11/08, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Menor ânguloPara:
[EMAIL PROTECTED]: Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008, 12:39
Uma ajudinha por favor: 1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos
A, B e C. Sabe-se que a distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB
deve ser reto e que o comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m.
Nestas condições, considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo
BAC possível deve medir, graus, exatamente a) 15 b)10 c) 5 d) 20 e)30
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[obm-l] Re: [obm-l] Menor ângulo
Olá, novamente.
Há um erro no valor da aproximação da raiz quadrada de 2: é 1,414.
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1ª solução:
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x e AC = 100sqrt(3) - x, já que AC + BC = 100sqrt(3). Portanto, semelhante ao
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0, obtendo-se dois valores: [sqrt(3) + 1]/2 e [sqrt(3) - 1]/2. Como se deseja o
menor valor possível do ângulo (agudo) BAC, deve-se impor menor BC possível, a
saber, 100x[sqrt(3) - 1]/2. Por conseguinte, já com essa última
condicionante, sen (BAC) = {[sqrt(3) - 1]/2}/sqrt(2) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4,
de que se conclui BAC = 15º (60º - 45º, por exemplo).
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sqrt(3)/sqrt(2), ou seja, sen (pi/4 + BAC) = sqrt(3)/2 = sen (pi/3) (é só usar
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2kpi ou pi - [BAC + pi/4] = pi/3 + 2kpi, com k inteiro. Como BAC deve ser
agudo, necessariamente BAC = pi/3 - pi/4 ou BAC = 3pi/4 - pi/3. Uma vez que BAC
é mínimo, conclui-se que BAC = pi/3 - pi/4 = 15º.
Até mais,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Já sei de onde vieram as questões.
--- Em qua, 5/11/08, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
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Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008, 12:39
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Uma ajudinha por favor:
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distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB deve ser reto e que o
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