Obrigado. A representação de fato é única.
Um abraço para todos.
Artur Costa Steiner
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]
rio.br] On Behalf Of larryp
Sent: Sunday, January 05, 2003 10:07 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
Caro Artur:
Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da
existência
(para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos
abertos
disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i),
onde
i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois.
Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter
aparecido o
seguinte fato:
Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o
maior
sub-intervalo de X que contém x
Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos
disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas.
Neste caso, existirá um índice r tal que B(r) será diferente de A(i)
para
todo i.
Seja x pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X
que
contém x.
Por outro lado, existe um índice s tal que x pertence a A(s), e
A(s) é
o
maior sub-intervalo de X que contém x.
Assim, A(s) = B(r) ==
Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i
==
As duas representações são idênticas.
Espero que isto seja útil.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM
Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
Feliz 2003 para todos!
Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união
disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de
Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto
provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou
encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez
trivial,
que esteja me passando. Alguém poderia ajudar?
Obrigado.
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
===
==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
===
==
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
