Obrigado. A representação de fato é única. Um abraço para todos. Artur Costa Steiner
>-----Original Message----- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] >rio.br] On Behalf Of larryp >Sent: Sunday, January 05, 2003 10:07 PM >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real > >Caro Artur: > >Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da existência >(para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos abertos >disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i), >onde >i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois. > >Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter aparecido o >seguinte fato: >"Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o maior >sub-intervalo de X que contém x" > >Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos >disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas. > >Neste caso, existirá um índice "r" tal que B(r) será diferente de A(i) para >todo i. > >Seja "x" pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X que >contém "x". > >Por outro lado, existe um índice "s" tal que "x" pertence a A(s), e A(s) é >o >maior sub-intervalo de X que contém "x". > >Assim, A(s) = B(r) ==> > >Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i ==> > >As duas representações são idênticas. > >Espero que isto seja útil. > >Um abraço, >Claudio. > >----- Original Message ----- >From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM >Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real > > >> Feliz 2003 para todos! >> >> Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união >> disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de >> Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto >> provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou >> encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez trivial, >> que esteja me passando. Alguém poderia ajudar? >> >> Obrigado. >> Artur >> >> ======================================================================== = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> ======================================================================== = >> > > >======================================================================= == >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >======================================================================= == ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================