RES: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Ok Rafael... perdão não vi sua resposta mesmo...
é que não estava junto desse e-mail, mas indo um pouco lá atrás acabei de
encontrá-la...
Bom... próxima vez que eu for responder algo me certificarei de que a
resposta já não foi postada...
Desculpe-me de novo!
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sábado, 23 de agosto de 2008 04:35
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Ola... Bom sem querer ser chato, eu ja tinha respondido sim! Foi a
primeira resposta nessa thread... Mas foi bom vc ter respondido de
novo caso outros tenham perdido a resposta tb!
On 8/23/08, João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] wrote:
Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes premissas:
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil
uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode
parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para
resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais
é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente
pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} +
7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e
efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma
a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos
notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dá 6 exato.
Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
dizer
2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que
3+2sqrt(2)).
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
fração existente?
2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
Airton
Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
uma hp49 seria dificil...
2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora?
(com
uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos
precisão
arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
problema
similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
últimos
três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em
http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da
solução do problema que acabei de mencionar)
--
Abraços,
Maurício
On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de
2
+
7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
a) múltiplo de 11
b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
d
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
e) primo.
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
--
RES: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes premissas:
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos
notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dá 6 exato.
Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
dizer
2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que
3+2sqrt(2)).
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
fração existente?
2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
Airton
Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
uma hp49 seria dificil...
2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com
uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão
arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
problema
similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
últimos
três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em
http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da
solução do problema que acabei de mencionar)
--
Abraços,
Maurício
On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2
+
7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
a) múltiplo de 11
b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
d
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
e) primo.
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG - http://www.avg.com
Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.6/1626 - Release Date: 21/08/2008
18:54
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Saudações a todos!
Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém
propôs uma solução de fato.
Então proporei uma solução!
Partindo das seguintes premissas:
1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma
visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o
professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer
elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver
o exercício.)
Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 +
2*sqrt{2}...
Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é
do que (sqrt{2} + 1)^2
O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) =
2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)...
Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra
facilitar a visualização):
(sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de
visualizar que:
(sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ])
Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7)
= (sqrt{2} + 1)^3
Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando
as multiplicações de expoente):
[(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2
Efetuando a divisão:
(sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2
Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a
parte fora da fração...):
3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6
Logo, o número é um múltiplo de 6!
Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível.
Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos
notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona
muito bem... pode não fazer diferença para alguns...
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse
no denominador, I resultado nao seria inteiro...
On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dá 6 exato.
Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis
dizer
2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho
quase
certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do
denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que
3+2sqrt(2)).
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à
fração existente?
2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]
Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o
Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6.
Airton
Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo
com
uma hp49 seria dificil...
2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]
Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com
uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão
arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um
problema
similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os
últimos
três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos
problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em
http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da
solução do problema que acabei de mencionar)
--
Abraços,
Maurício
On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2
+
7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número:
a) múltiplo de 11
b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008
Resp.
d
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
e) primo.
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
--
Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG - http://www.avg.com
Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.6/1626 - Release Date: 21/08/2008
18:54
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
