RES: [obm-l] limite de uma sequencia
Oi Claudio Esta solucao eh legal, eu nao me lembrei dela na hora de resolver. Era um problema real. Acho, porem, que ha um equivoco na formula do limite.Eu cheguei a uma outra expressao para o limite , lim x(n) = (b-a)/(1+p) + a,para a mesma definicao de p, a qual eh a sua formula substituindo-se p por 1-p. -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 9 de agosto de 2005 18:37Para: obm-lAssunto: Re:[obm-l] limite de uma sequencia O problema é achar lim x(n), onde: x(n) = p*x(n-1) + (1-p)*x(n-2) com 0 p 1. x(1) = a x(2) = b Equação característica: t^2 - p*t + p - 1 = 0 == t =1 ou t = p - 1 x(n) = A + B*(p - 1)^(n-1) Como-1 p - 1 0, temos que lim x(n) = A. x(1) = A + B = a x(2) = A + B*(p - 1) = b == A = a - (a - b)/(2 - p) e B = (a - b)/(2 - p) Ou seja, lim x(n) =a - (a - b)/(2 - p) Fazendo p = p1/(p1 + p2), teremos: lim x(n) = a - (a - b)*(p1 + p2)/(p1 + 2*p2). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 8 Aug 2005 20:38:11 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] limite de uma sequencia Eu encontrei o problema de determinar o limite da sequencia de reais dada por: x(1) = a, x(2) = b, x(n) = (p1*x(n-2) + p2*x(n-1))/(p1 + p2) para n=3, com p1, p2 0. Assim, a partir de n =3, cada termo da seq. eh a media ponderada dos 2 termos anteriores com relacao aos pesos p1 e p2. Eu cheguei a uma solucao, mas com um processo um tanto trabalhoso. Inicialmente, nao eh dificil mostrar que, para a=0 e b =1, x_n eh uma sequencia de Cauchy, logo convergente. Para isto, verificamos que, |x(n) - x(n-1)| = (max(p1,p2)/(p1 + p2))^(n-2) para n=2. Com alguma algebra, levando em conta o limite de series geometricas de razao 1, podemos mostrar que x(n) e' uma seq. de Cauchy. Depois, verificamos por inducao, num processo algebrico um tanto trabalhoso, que a subsequencia x(2n +1 ) e' uma serie geometrica de razao 1. Logo esta serie converge para o limite de x(n). Definindo-se r = p2/(p1 + p2) e s = p1/(p1 + p2), concluimos que, se a=0 e b=1, entao x(n) -- L(0,1) = r/(1 - s^2). E aih eh facil concluir que, para quaisquer a e b, x(n) -- L(a,b) = (b-a)L(0,1) + a. Eu creio que hah um processo simples para chegarmos ao limite, mas nao consegui ver. Uma saida natural seria observando que, sendo L o limite, entao L tem que satisfazer a L = (p1*L + p2*L)/(p1 + p2), mas isto nos leva a que L = L e nao agrega qualquer informacao. Se em vez da media ponderada dos 2 termos anteriores tivessemos a dos k termos anteriores, entao o processo que achei levaria a um trabalho algebrico realmente insano. Artur Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] limite de uma sequencia
Ah esqueca a outra mensagem, tah tudo certo , o meu p eh o seu 1 -p. Artur
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-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 9 de agosto de 2005 18:37Para: obm-lAssunto: Re:[obm-l] limite de uma sequencia O problema é achar lim x(n), onde: x(n) = p*x(n-1) + (1-p)*x(n-2) com 0 p 1. x(1) = a x(2) = b Equação característica: t^2 - p*t + p - 1 = 0 == t =1 ou t = p - 1 x(n) = A + B*(p - 1)^(n-1) Como-1 p - 1 0, temos que lim x(n) = A. x(1) = A + B = a x(2) = A + B*(p - 1) = b == A = a - (a - b)/(2 - p) e B = (a - b)/(2 - p) Ou seja, lim x(n) =a - (a - b)/(2 - p) Fazendo p = p1/(p1 + p2), teremos: lim x(n) = a - (a - b)*(p1 + p2)/(p1 + 2*p2). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 8 Aug 2005 20:38:11 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] limite de uma sequencia Eu encontrei o problema de determinar o limite da sequencia de reais dada por: x(1) = a, x(2) = b, x(n) = (p1*x(n-2) + p2*x(n-1))/(p1 + p2) para n=3, com p1, p2 0. Assim, a partir de n =3, cada termo da seq. eh a media ponderada dos 2 termos anteriores com relacao aos pesos p1 e p2. Eu cheguei a uma solucao, mas com um processo um tanto trabalhoso. Inicialmente, nao eh dificil mostrar que, para a=0 e b =1, x_n eh uma sequencia de Cauchy, logo convergente. Para isto, verificamos que, |x(n) - x(n-1)| = (max(p1,p2)/(p1 + p2))^(n-2) para n=2. Com alguma algebra, levando em conta o limite de series geometricas de razao 1, podemos mostrar que x(n) e' uma seq. de Cauchy. Depois, verificamos por inducao, num processo algebrico um tanto trabalhoso, que a subsequencia x(2n +1 ) e' uma serie geometrica de razao 1. Logo esta serie converge para o limite de x(n). Definindo-se r = p2/(p1 + p2) e s = p1/(p1 + p2), concluimos que, se a=0 e b=1, entao x(n) -- L(0,1) = r/(1 - s^2). E aih eh facil concluir que, para quaisquer a e b, x(n) -- L(a,b) = (b-a)L(0,1) + a. Eu creio que hah um processo simples para chegarmos ao limite, mas nao consegui ver. Uma saida natural seria observando que, sendo L o limite, entao L tem que satisfazer a L = (p1*L + p2*L)/(p1 + p2), mas isto nos leva a que L = L e nao agrega qualquer informacao. Se em vez da media ponderada dos 2 termos anteriores tivessemos a dos k termos anteriores, entao o processo que achei levaria a um trabalho algebrico realmente insano. Artur Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] limite de uma sequencia
Nao sei se jah foi proposta nao. Eu me deparei com esta sequencia no meu trabalho , em um algoritmo para otimizar a expansao de sistemas eletricos. Aih sugeri a sequencia aa lista. De fato, una saida eh determinar a formula do termo geral. Foi o que eu acabei fazendo para a subsequencia de termos impares. A determinacao do termo geral devee dar pra fazer, mas acho que dah um bom trabalho algebrico. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcos Martinelli Enviada em: terça-feira, 9 de agosto de 2005 16:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] limite de uma sequencia Olá Arthur e demais colegas! Essa questão foi proposta aqui na lista? Uma outra solução seria encontrar o termo geral desta recorrência e calcular o limite do mesmo. Certo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
