RE: RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
1) Seja a um numero inteiro
positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e
a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.
acho que esse problema é de uma olimpiada e a solução que eu vi era algo como
se A=5k; A=7k-1; A=9k-2;
A=11k-3
então 2A=5k; 2A=7k-2; 2A=9k-4;2A=11k-6
e2A-5=5k; 2A-5=7k-2-5=7k';2A-5=9k-4-5=9k';2A-5=11k-6-5=11k'
assim 2A-5=5x7x9x11xK , com K pertencente aos inteiros, logo o menor valor é
K=1
A=1735
4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n,
para todo n0. Se a_7=120, determine a_8.
esse problema é um exercicio basico de recorencia. Usando que toda recorencia
pode ser escrita como uma soma de PGs
temos
a_(n)=a_(0)q^n
a_(0)q^(n+2)=a_(0)q^(n+1)+a_(0)q^n
q^2=q+1
q= [1+raiz(5)]/2 ou q=[1-raiz(5)]/2
assim o termo geral da Recorencia fica
a_(n) = b_(0){[1+raiz(5)]/2}^n + c_(0){[1-raiz(5)]/2}^n
tente agora aplicar um pouco de teoria dos numeros que deve sair
OBS: para a_(0)=1 e a_(1)=1 teremos a sequencia de Fibonacci
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
Patricia Ruel
Enviada em: quarta-feira, 23 de
setembro de 2009 23:01
Para: OBM
Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas
1) Seja a um numero inteiro
positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e
a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.
2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC
tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN.
3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao
lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo
ABC.
4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n,
para todo n0. Se a_7=120, determine a_8.
5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144,
calcule a_7.
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RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Para resolver o (3) faça um desenho e siga as observações seguintes Seja M o ponto médio de BC. Projete ortogonalmente os pontos F e M sobre o lado AC, obtendo respectivamente os pontos L e N, L será o ponto médio de EC ( note que EC mede 3 ) e N será o ponto médio de AE. Nessas condições ML= FN = 2 ( base média ) , faça NA=NE=x e aplique Pitágoras ao triângulo CFN, aí você encontra o valor de x e o resto são continha. Saludo Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34 Para: OBM Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra médios desse enunciado. M e N são apenas pontos do lado BC. _ From: barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300 Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx aqui _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Agora faz sentido! Problema (2) Seja BC a hipotenusa que é dividida em três partes congruentes pelos pontos M e N. Pelos pontos M e N trace perpendiculares aos catetos AB e AC, pelo Teorema de Tales os catetos serão divididos em três partes congruentes ( cada um deles é claro ). Cada terço do cateto AB chame de x e, cada terço do Cateto AC chame de y. Agora como AN vale 2 podemos escrever (2x)^2 + y^2 = 4 e , como AM vale 3 podemos escrever (2y)^2 + x^2 = 9. Somando membro a membro 5( x^2 + y^2 ) = 13 . Agora a hipotenusa BC^2 é igual a 9( x^2 + y^2 ) que é igual então a 9x13/5 . A hipotenusa é a raiz quadrada desse número e MN é um terço da hipotenusa. Fazendo um desenho fica tudo muito claro. Saludos Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34 Para: OBM Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra médios desse enunciado. M e N são apenas pontos do lado BC. _ From: barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300 Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx aqui _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
