Re: [obm-l] Convergencia de sequencia de polinomios
Olá Artur,
gostaria de saber se minha solução está correta, assim como a solução do
último item pedido :)
abraços,
Salhab
On 10/16/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Artur,
Vamos dizer que P_n(x) = Sum{i=0 - m} { a_in . x^i }
sabemos que existem z_0, z_1, ..., z_m distintos, tais que: lim P_n(z_k)
inf
Queremos mostrar que para todo eps0, existe N, tal que nN implica: |
P_n(x) - P(x) | eps, para todo x
onde P(x) = Sum{i=0 - m} { A_i . x^i } , e, lim a_in = A_i.
| P_n(x) - P(x) | = | Sum {i=0 - m} { (a_in - A_i) x^i } | = Sum {i=0 -
m} | a_in - A_i | . |x|^i
mas, como lim a_in = A_i, para todo eps0 0, existe N0, tal que nN0
implica | a_in - A_i | eps0
portanto, para nN0, temos que: | P_n(x) - P(x) | = Sum{i=0 - m}{ | a_in
- A_i | . |x|^i } Sum{i=0 - m} { eps0 . |x|^i } eps0 . Sum{i=0 -m} {
|x|^i }
fazendo eps = eps0 . Sum{i=0-m}{|x|^i}, temos que n N0 implica | P_n(x)
- P(x) | eps para todo x
assim, P_n(x) converge para P(x)... conforme o enunciado...
ainda falta provarmos que lim a_in existe..
como temos z_0, z_1, ..., z_m, pensei no seguinte:
lim P_n(z_k) = b_k inf ... Sum{i=0-m} {(lim a_in) . (z_k)^i} = b_k,
para k=0, 1, ..., m
temos m+1 incognitas e m+1 equacoes... e o determinante da matriz de
coeficientes é não nulo, pois temos uma matriz de Vandermont e z_0, z_1,
..., z_m são distintos...
deste modo, lim a_in está determinado (é único)... logo converge...
a única coisa que não gostei nessa parte da demonstração é usar: lim(
Sum{...}{ a_in . (z_k)^i ) = Sum{...}{ (lim a_in) (z_k)^i }...
fazendo isso já não estou supondo a convergencia?
Vamos pegar um conjunto limitado A contido em C.. entao existe R, tal que
para todo z E A, temos: |z| R
vamos aproveitar um trecho da demonstracao acima:
| P_n(x) - P(x) | eps0 . Sum{i=0 -m} { |x|^i }
usando que |x| R, temos: | P_n(x) - P(x) | eps0 . Sum{i=0-m}{ R^i } =
eps... logo: eps independe de x e a convergencia é uniforme..
Não tive idéias para provar a última afirmação... como mostro que uma
funcao qquer TEM que ser um polinomio?
pensei no fato da m-ésima derivada ser constante.. ou a (m+1)-ésima
derivada ser nula..
todas as correções são bem vindas :)) hehe
abracos,
Salhab
On 10/16/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho este problema interessante:
Seja P_n uma sequencia de polinomios complexos tal que que, para todo
n, tenhamos grau(P_n) = m, m constante. Suponhamos que existam complexos
z_0, z_1, ...z_m, distintos 2 a 2, tais que P_n convirja em {z_0, z_1,
...z_m,}. Mostre que P_n converge em todo o plano complexo para um polinomio
P, com grau(P) = m, cujos coeficientes sao os limites das sequencias
formadas pelos coeficientes de mesmo grau dos P_n (para cada k =0,1...m, o
coeficiente de z^k em P eh o limite da sequencia formada pelos coeficientes
de z^k nos P_n. A existencia destes limites eh conclusao, nao hipotese.).
Mostre que, em todo subconjunto limitado do plano complexo C,
a convergencia de P_n para P eh uniforme.
Mostre ainda que, se P_n convergir em C para uma funcao f mas grau(P_n)
for ilimitada, entao f nao tem que ser um polinomio.
Artur
Re: [obm-l] Convergencia de sequencia de polinomios
Olá Artur,
Vamos dizer que P_n(x) = Sum{i=0 - m} { a_in . x^i }
sabemos que existem z_0, z_1, ..., z_m distintos, tais que: lim P_n(z_k)
inf
Queremos mostrar que para todo eps0, existe N, tal que nN implica: |
P_n(x) - P(x) | eps, para todo x
onde P(x) = Sum{i=0 - m} { A_i . x^i } , e, lim a_in = A_i.
| P_n(x) - P(x) | = | Sum {i=0 - m} { (a_in - A_i) x^i } | = Sum {i=0 -
m} | a_in - A_i | . |x|^i
mas, como lim a_in = A_i, para todo eps0 0, existe N0, tal que nN0
implica | a_in - A_i | eps0
portanto, para nN0, temos que: | P_n(x) - P(x) | = Sum{i=0 - m}{ | a_in -
A_i | . |x|^i } Sum{i=0 - m} { eps0 . |x|^i } eps0 . Sum{i=0 -m} {
|x|^i }
fazendo eps = eps0 . Sum{i=0-m}{|x|^i}, temos que n N0 implica | P_n(x) -
P(x) | eps para todo x
assim, P_n(x) converge para P(x)... conforme o enunciado...
ainda falta provarmos que lim a_in existe..
como temos z_0, z_1, ..., z_m, pensei no seguinte:
lim P_n(z_k) = b_k inf ... Sum{i=0-m} {(lim a_in) . (z_k)^i} = b_k, para
k=0, 1, ..., m
temos m+1 incognitas e m+1 equacoes... e o determinante da matriz de
coeficientes é não nulo, pois temos uma matriz de Vandermont e z_0, z_1,
..., z_m são distintos...
deste modo, lim a_in está determinado (é único)... logo converge...
a única coisa que não gostei nessa parte da demonstração é usar: lim(
Sum{...}{ a_in . (z_k)^i ) = Sum{...}{ (lim a_in) (z_k)^i }...
fazendo isso já não estou supondo a convergencia?
Vamos pegar um conjunto limitado A contido em C.. entao existe R, tal que
para todo z E A, temos: |z| R
vamos aproveitar um trecho da demonstracao acima:
| P_n(x) - P(x) | eps0 . Sum{i=0 -m} { |x|^i }
usando que |x| R, temos: | P_n(x) - P(x) | eps0 . Sum{i=0-m}{ R^i } =
eps... logo: eps independe de x e a convergencia é uniforme..
Não tive idéias para provar a última afirmação... como mostro que uma funcao
qquer TEM que ser um polinomio?
pensei no fato da m-ésima derivada ser constante.. ou a (m+1)-ésima derivada
ser nula..
todas as correções são bem vindas :)) hehe
abracos,
Salhab
On 10/16/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho este problema interessante:
Seja P_n uma sequencia de polinomios complexos tal que que, para todo
n, tenhamos grau(P_n) = m, m constante. Suponhamos que existam complexos
z_0, z_1, ...z_m, distintos 2 a 2, tais que P_n convirja em {z_0, z_1,
...z_m,}. Mostre que P_n converge em todo o plano complexo para um polinomio
P, com grau(P) = m, cujos coeficientes sao os limites das sequencias
formadas pelos coeficientes de mesmo grau dos P_n (para cada k =0,1...m, o
coeficiente de z^k em P eh o limite da sequencia formada pelos coeficientes
de z^k nos P_n. A existencia destes limites eh conclusao, nao hipotese.).
Mostre que, em todo subconjunto limitado do plano complexo C,
a convergencia de P_n para P eh uniforme.
Mostre ainda que, se P_n convergir em C para uma funcao f mas grau(P_n)
for ilimitada, entao f nao tem que ser um polinomio.
Artur
