Olá Artur,
gostaria de saber se minha solução está correta, assim como a solução do
último item pedido :)
abraços,
Salhab
On 10/16/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Olá Artur,
>
> Vamos dizer que P_n(x) = Sum{i=0 -> m} { a_in . x^i }
> sabemos que existem z_0, z_1, ..., z_m distintos, tais que: lim P_n(z_k) <
> inf
> Queremos mostrar que para todo eps>0, existe N, tal que n>N implica: |
> P_n(x) - P(x) | < eps, para todo x
> onde P(x) = Sum{i=0 -> m} { A_i . x^i } , e, lim a_in = A_i.
>
> | P_n(x) - P(x) | = | Sum {i=0 -> m} { (a_in - A_i) x^i } | <= Sum {i=0 ->
> m} | a_in - A_i | . |x|^i
> mas, como lim a_in = A_i, para todo eps0 > 0, existe N0, tal que n>N0
> implica | a_in - A_i | < eps0
> portanto, para n>N0, temos que: | P_n(x) - P(x) | <= Sum{i=0 -> m}{ | a_in
> - A_i | . |x|^i } < Sum{i=0 -> m} { eps0 . |x|^i } < eps0 . Sum{i=0 ->m} {
> |x|^i }
> fazendo eps = eps0 . Sum{i=0->m}{|x|^i}, temos que n > N0 implica | P_n(x)
> - P(x) | < eps para todo x
> assim, P_n(x) converge para P(x)... conforme o enunciado...
>
> ainda falta provarmos que lim a_in existe..
> como temos z_0, z_1, ..., z_m, pensei no seguinte:
> lim P_n(z_k) = b_k < inf ... Sum{i=0->m} {(lim a_in) . (z_k)^i} = b_k,
> para k=0, 1, ..., m
> temos m+1 incognitas e m+1 equacoes... e o determinante da matriz de
> coeficientes é não nulo, pois temos uma matriz de Vandermont e z_0, z_1,
> ..., z_m são distintos...
> deste modo, lim a_in está determinado (é único)... logo converge...
> a única coisa que não gostei nessa parte da demonstração é usar: lim(
> Sum{...}{ a_in . (z_k)^i ) = Sum{...}{ (lim a_in) (z_k)^i }...
> fazendo isso já não estou supondo a convergencia?
>
>
> Vamos pegar um conjunto limitado A contido em C.. entao existe R, tal que
> para todo z E A, temos: |z| < R
> vamos aproveitar um trecho da demonstracao acima:
> | P_n(x) - P(x) | < eps0 . Sum{i=0 ->m} { |x|^i }
> usando que |x| < R, temos: | P_n(x) - P(x) | < eps0 . Sum{i=0->m}{ R^i } =
> eps... logo: eps independe de x e a convergencia é uniforme..
>
>
> Não tive idéias para provar a última afirmação... como mostro que uma
> funcao qquer TEM que ser um polinomio?
> pensei no fato da m-ésima derivada ser constante.. ou a (m+1)-ésima
> derivada ser nula..
>
> todas as correções são bem vindas :)) hehe
> abracos,
> Salhab
>
>
>
>
>
> On 10/16/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Acho este problema interessante:
> >
> > Seja P_n uma sequencia de polinomios complexos tal que que, para todo
> > n, tenhamos grau(P_n) <= m, m constante. Suponhamos que existam complexos
> > z_0, z_1, ...z_m, distintos 2 a 2, tais que P_n convirja em {z_0, z_1,
> > ...z_m,}. Mostre que P_n converge em todo o plano complexo para um polinomio
> > P, com grau(P) <= m, cujos coeficientes sao os limites das sequencias
> > formadas pelos coeficientes de mesmo grau dos P_n (para cada k =0,1...m, o
> > coeficiente de z^k em P eh o limite da sequencia formada pelos coeficientes
> > de z^k nos P_n. A existencia destes limites eh conclusao, nao hipotese.).
> >
> > Mostre que, em todo subconjunto limitado do plano complexo C,
> > a convergencia de P_n para P eh uniforme.
> >
> > Mostre ainda que, se P_n convergir em C para uma funcao f mas grau(P_n)
> > for ilimitada, entao f nao tem que ser um polinomio.
> >
> > Artur
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