Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 05:48:33PM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 17.03.04 18:18, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me > > intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele > > definidas? > > Q eh um corpo ordenado (com a mesma ordem que R) e eh enumeravel. Logo, a > ordem pode nao ser relevante, mas o fato de R ser completo deve ser crucial. O fato de R ser completo é usado na demonstração. Se é isso que você quer dizer com "crucial", muito bem. Mas existem subcorpos X contidos em R com a mesma cardinalidade de R e não completos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 06:18:24PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me > intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele > definidas? A demonstracao de Cantor baseia-se em expansoes decimais dos > reais, mas para chegarmos em expansoes decimais acabamos utilizando ordem. A > outra demonstracao que conheco, e que parece agardar mais aos topologistas, > eh consequencia do fato de que intervalos fechados de limites finitos sao > compactos e do fato de que todo elemento de R eh ponto de acumulacao do > mesmo. Mas isto depende da topologoa definida em R. (subconjuntos perfeitos > de espacos Euclidianos nao sao numeraveis - o que eh consequencia de uma > conclusao mais geral - espacos de Hausdorff compactos que nao possuam pontos > isolados nao sao numeraveis) > > Este eh outro ponto que sempre me intrigou, embora varios matematicos de > inquetionavel conhecimento jah me tenham dito que ser ou nao ser numeravel > eh uma das poucas caracteristicas intrinsecas de um conjunto e que maum > depende de topologia; mas de qualquer forma depende de ordem, naum? Não, o fato de um conjunto ser ou não enumerável realmente não depende nem de ordem, nem de topologia, nem de qualquer estrutura algébrica que o conjunto possa vir a ter. A demonstração disso é simples: um conjunto infinito X é enumerável se existir uma bijeção entre X e N. Ora, como não se exige nada desta bijeção (não se exige continuidade, por exemplo) a existência ou não dela não tem nada a ver com estruturas que o conjunto X tenha ou não tenha. O que certamente confunde você é o fato de que para *demonstrarmos* que R é não enumerável usarmos topologia, ordem ou expansões decimais. Mas veja bem, precisamos saber *alguma* coisa sobre um conjunto para termos uma chance de provarmos se ele é ou não enumerável. Se dissermos: estou pensando em um conjunto X que não tem nenhuma topologia, nenhuma ordem e nenhuma estrutura algébrica que eu conheça; diga-me agora, este conjunto é enumerável? A resposta será obviamente: não sei, você não me deu dados para responder a pergunta! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 04:26:21PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> > No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
> > é a usual.
> Ou seja, com qualquer outra ordem, você não consegue obter um conjunto P
> fechado em relação a + e *?
> É fácil demonstrar isso?
A definição que eu tenho em mente é a seguinte:
o corpo deve ser a união disjunta de P, {0} e -P = {-p, p em P}.
Com esta definição é bem claro que todo quadrado não nulo deve
pertencer a P. Ora, em R todo número positivo é um quadrado.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Ordem nos Reais
on 17.03.04 18:18, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me > intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele > definidas? Q eh um corpo ordenado (com a mesma ordem que R) e eh enumeravel. Logo, a ordem pode nao ser relevante, mas o fato de R ser completo deve ser crucial. Nao consigo ver como a topologia seria relevante, ateh porque cardinalidade me parece um conceito mais basico, aplicavel a qualquer conjunto, ordenado ou nao, com topologia ou nao, mas isso pode nao significar nada, jah que o meu conhecimento de topologia tem medida zero... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ordem nos Reais
Oi, Nicolau:
>>
>> No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
>> é a usual.
Exatamente o que precisa ser provado aqui?
Por acaso eh isso?
Se:
R eh particionado como R = A U B U {0} de modo que:
x e y pertencem a A ==> x + y e xy pertencem a A.
E a relacao < eh tak que: x < y <==> y - x pertence a A
Entao:
A = R+.
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Ordem nos Reais
Naum deu tempo para analisar a fundo sua reflexao (estou no trabalho, e os
caras que me contrataram, incrivelmente, naum acham que devam me pagar para
fazer tais reflexoes - naum eh um absurdo?), mas me parece que ela eh
procedente. De fato, creio que a ordem definida em R (ou em qualquer corpo)
influi no fato de que ele seja ou naum completo.
Nos podemos tambem postular, baseados na metrica usual de R, que toda seq.
de Cauchy converge. Admitindo-se que a ordem definida em R seja tal que o
conjunto dos naturais - melhor dizendo, o dos inteiros positivos - seja bem
ordenado, podemos entao demonstrar que isto implica que todo conjunto
limitado superiormente (inferiormente) tem supremo (infimo). Naum estou bem
certo se isto funciona se trabalharmos com outra metrica, por exemplo, a
metrica discreta (estah me parecendo que sim).
E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me
intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele
definidas? A demonstracao de Cantor baseia-se em expansoes decimais dos
reais, mas para chegarmos em expansoes decimais acabamos utilizando ordem. A
outra demonstracao que conheco, e que parece agardar mais aos topologistas,
eh consequencia do fato de que intervalos fechados de limites finitos sao
compactos e do fato de que todo elemento de R eh ponto de acumulacao do
mesmo. Mas isto depende da topologoa definida em R. (subconjuntos perfeitos
de espacos Euclidianos nao sao numeraveis - o que eh consequencia de uma
conclusao mais geral - espacos de Hausdorff compactos que nao possuam pontos
isolados nao sao numeraveis)
Este eh outro ponto que sempre me intrigou, embora varios matematicos de
inquetionavel conhecimento jah me tenham dito que ser ou nao ser numeravel
eh uma das poucas caracteristicas intrinsecas de um conjunto e que maum
depende de topologia; mas de qualquer forma depende de ordem, naum?
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Ordem nos Reais
Data: 17/03/04 16:45
Oi, pessoal:
Aqui vai uma divagação semi-filosófica. Assim, leia só se tiver tempo de
sobra.
Me parece que o fato de R ser um corpo ordenado completo depende da ordem
que é definida no corpo dos reais.
A ordem usual é aquela que destaca um subconjunto P de R e define que:
1) exatamente uma das três alternativas a seguir é verdadeira:
x pertence a P OU x = 0 OU -x pertence a P;
2) Se x, y pertencem a P, então x + y e xy pertencem a P.
Nesse caso, P é chamado de conjunto dos reais positivos e a ordem (<) é
definida da seguinte forma:
para todos x, y em R, x < y <==> y - x pertence a P.
Dada esta ordem, postula-se que todo subconjunto de R que é limitado
superiormente tem um supremo e pronto.
Mas o que acontece se a ordem for diferente?
Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então:
x <# y <==> x < y (ordem usual)
2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.
Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais ou
dois racionais são comparados da forma usual.
Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}.
Cada elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por
exemplo, por cada racional).
Pergunta: Qual o supremo de A?
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Ordem nos Reais
- Original Message -
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, March 17, 2004 3:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Ordem nos Reais
> On Wed, Mar 17, 2004 at 03:00:15PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> > Mas o que acontece se a ordem for diferente?
> >
> > Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
> > irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
> > 1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então:
> > x <# y <==> x < y (ordem usual)
> > 2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.
> >
> > Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais
ou
> > dois racionais são comparados da forma usual.
> >
> > Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}.
Cada
> > elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por
exemplo,
> > por cada racional). Pergunta: Qual o supremo de A?
>
> Não tem supremo, claro.
>
> Mas o que você fez foi um pouco violento demais. Você definiu uma ordem
> que não respeita as operações + e *: dessa forma, a única coisa que sobra
> é a cardinalidade e você pode botar um monte de ordens completamente
> diferentes nos reais. Você pode, por exemplo, fazer com que R fique
> bem ordenado (todo subconjunto não vazio tem mínimo).
>
> No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
> é a usual.
Ou seja, com qualquer outra ordem, você não consegue obter um conjunto P
fechado em relação a + e *?
É fácil demonstrar isso?
> Isto também acontece para o conjunto dos reais algébricos mas
> não acontece para, por exemplo Q[sqrt(2)]. Neste outro corpo existe uma
outra
> ordem (além da definida pela inclusão em R) que também satisfaz os axiomas
> de corpo ordenado, e acho que vocês não terão dificuldade em encontrá-la.
Isso é interessante.
Uma ordem é definida com base no conjunto P = {a + b*raiz(2) | a + b*raiz(2)
é real positivo} e é meio óbvio de ver que se x, y pertencem a P, então x+y
e x*y pertencem a P.
A outra é definida com base em P* = {a + b*raiz(2) | a - b*raiz(2) pertence
a P}
Pra simplificar, vamos fazer w = raiz(2).
a + bw = 0 <==> a = b = 0 <==> a - bw = 0.
Suponha que a + bw <> 0 mas não pertence a P*.
Então a - bw não pertence a P ==>
-(a - bw) = -a - (-b)w pertence a P ==>
-(a + bw) = -a + (-b)w pertence a P*.
Logo, se x pertence a Q[raiz(2)], então x = 0, ou x pertence a P* ou -x
pertence a P* e estas três alternativas são mutuamente exclusivas.
Sejam a + bw e c + dw pertencentes a P*.
Então, a - bw e c - dw pertencem a P.
Logo:
(a - bw) + (c - dw) = (a + c) - (b + d)w pertence a P ==>
(a + c) + (b + d)w = (a + bw) + (c + dw) pertence a P*
Também:
(a - bw)*(c - dw) = (ac + bd) - (ad + bc)w pertence a P ==>
(ac + bd) + (ad + bc)w = (a + bw)(c + dw) pertence a P*.
Ou seja, a ordem definida com base em P* também preserva as operações + e *.
Obrigado pela explicação.
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Ordem nos Reais
On Wed, Mar 17, 2004 at 03:00:15PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> Mas o que acontece se a ordem for diferente?
>
> Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
> irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
> 1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então:
> x <# y <==> x < y (ordem usual)
> 2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.
>
> Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais ou
> dois racionais são comparados da forma usual.
>
> Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}. Cada
> elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por exemplo,
> por cada racional). Pergunta: Qual o supremo de A?
Não tem supremo, claro.
Mas o que você fez foi um pouco violento demais. Você definiu uma ordem
que não respeita as operações + e *: dessa forma, a única coisa que sobra
é a cardinalidade e você pode botar um monte de ordens completamente
diferentes nos reais. Você pode, por exemplo, fazer com que R fique
bem ordenado (todo subconjunto não vazio tem mínimo).
No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
é a usual. Isto também acontece para o conjunto dos reais algébricos mas
não acontece para, por exemplo Q[sqrt(2)]. Neste outro corpo existe uma outra
ordem (além da definida pela inclusão em R) que também satisfaz os axiomas
de corpo ordenado, e acho que vocês não terão dificuldade em encontrá-la.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
