On Wed, Mar 17, 2004 at 06:18:24PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > E para divagar um pouco mais, eu repito aqui um ponto que sempre me > intrigou. O fato de R nao ser numeravel depende da topologia e da ordem nele > definidas? A demonstracao de Cantor baseia-se em expansoes decimais dos > reais, mas para chegarmos em expansoes decimais acabamos utilizando ordem. A > outra demonstracao que conheco, e que parece agardar mais aos topologistas, > eh consequencia do fato de que intervalos fechados de limites finitos sao > compactos e do fato de que todo elemento de R eh ponto de acumulacao do > mesmo. Mas isto depende da topologoa definida em R. (subconjuntos perfeitos > de espacos Euclidianos nao sao numeraveis - o que eh consequencia de uma > conclusao mais geral - espacos de Hausdorff compactos que nao possuam pontos > isolados nao sao numeraveis) > > Este eh outro ponto que sempre me intrigou, embora varios matematicos de > inquetionavel conhecimento jah me tenham dito que ser ou nao ser numeravel > eh uma das poucas caracteristicas intrinsecas de um conjunto e que maum > depende de topologia; mas de qualquer forma depende de ordem, naum?
Não, o fato de um conjunto ser ou não enumerável realmente não depende nem de ordem, nem de topologia, nem de qualquer estrutura algébrica que o conjunto possa vir a ter. A demonstração disso é simples: um conjunto infinito X é enumerável se existir uma bijeção entre X e N. Ora, como não se exige nada desta bijeção (não se exige continuidade, por exemplo) a existência ou não dela não tem nada a ver com estruturas que o conjunto X tenha ou não tenha. O que certamente confunde você é o fato de que para *demonstrarmos* que R é não enumerável usarmos topologia, ordem ou expansões decimais. Mas veja bem, precisamos saber *alguma* coisa sobre um conjunto para termos uma chance de provarmos se ele é ou não enumerável. Se dissermos: estou pensando em um conjunto X que não tem nenhuma topologia, nenhuma ordem e nenhuma estrutura algébrica que eu conheça; diga-me agora, este conjunto é enumerável? A resposta será obviamente: não sei, você não me deu dados para responder a pergunta! []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================