[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Boa tarde!
Se esse problema, que você se refere acima, é do mesmo livro está errada
também, a reposta, suponho.
A reposta dá 39. Foi postada na nota inicial.
Os fatores primos 2,3 e 5 são imediatos o 15 pode ser posto em evidência e
o número é par, portanto, o dois.
Com um pouco mais de dificuldade chega-se a 29 e depois, com mais
dificuldade, parei no 113, pois, furou a resposta. Já que 113 |15^(15^15) +
15.
Achei estranho o enunciado falar em quatro fatores apenas e fui atrás de
pelo menos um, como contra prova.
Então já o segundo patinho feio. No mínimo estranho. Pode ser falha na
edição das perguntas.
Saudações,
PJMS
Em 12 de junho de 2018 16:09, Claudio Buffara
escreveu:
> Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do
> 15^(15^15))+15.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor
> escreveu:
>
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes
> no gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
> Boa tarde!
>
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
> a solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x -
> 2 + x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será
> cancelado esse termo em x^3, por exemplo.
> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
> (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
> +5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir
> escreveu:
>
>>
>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>> Gandhi )
>> E resposta que ele diz é
>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>>
>>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
>>> escreveu:
>>>
Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
f(x)+f(y)=1+x
f(y)+f(z)=1+y
f(z)+f(x)=1+z
pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
acharíamos f(x).
Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
bobagem imensa.
Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é
g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro
onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é
possível desde que nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o
**conjunto** de valores {x_k} de "órbita" do número a.
Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
recorrência.
Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
então há várias órbitas infinitas Acho.
Abraço, Ralph.
P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
interessante, não?
P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
algo usando o limite de x_k...
On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <
jeferson
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do 15^(15^15))+15.
Enviado do meu iPhone
Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor
escreveu:
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes no
> gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>>
>> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
>> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
>> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
>> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
>> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
>> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a
>> solução temos:
>>
>> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2
>> + x^2/(2x^2-3x+1)
>>
>> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
>> esse termo em x^3, por exemplo.
>> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>>
>> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>>
>> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>>
>> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
>> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>>
>> mas aplicando a solução proposta:
>>
>> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5)
>> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
>> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>>
>> O problema não está fechando, creio eu.
>> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir
>> escreveu:
>>>
>>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>>> Gandhi )
>>> E resposta que ele diz é
>>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>>
Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir
escreveu:
Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k)
> -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se
> a órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
> recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a,
> que é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes
> reais. Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos
> a que fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são
> enumeráveis, então há várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio
> é interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
> algo usando o limite de x_k...
>
>
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
>> wrote:
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>
>> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mens
