Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do 15^(15^15))+15.
Enviado do meu iPhone
Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor <victorcar...@globo.com>
escreveu:
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes no
> gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>>
>> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
>> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
>> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
>> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
>> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
>> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a
>> solução temos:
>>
>> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2
>> + x^2/(2x^2-3x+1)
>>
>> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
>> esse termo em x^3, por exemplo.
>> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>>
>> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>>
>> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>>
>> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
>> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>>
>> mas aplicando a solução proposta:
>>
>> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5)
>> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
>> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>>
>> O problema não está fechando, creio eu.
>> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
>> escreveu:
>>>
>>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>>> Gandhi )
>>> E resposta que ele diz é
>>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>>
>>>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir
>>>> <jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>>>
>>>>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
>>>>> escreveu:
>>>>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>>>>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>>>>> f(x)+f(y)=1+x
>>>>> f(y)+f(z)=1+y
>>>>> f(z)+f(x)=1+z
>>>>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>>>>> acharíamos f(x).
>>>>>
>>>>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
>>>>> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
>>>>> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>>>>>
>>>>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>>>>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k)
>>>>> -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>>>>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>>>>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>>>>
>>>>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>>>>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>>>>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se
>>>>> a órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>>>>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>>>>> recorrência.
>>>>>
>>>>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>>>>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>>>>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a,
>>>>> que é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes
>>>>> reais. Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos
>>>>> a que fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são
>>>>> enumeráveis, então há várias órbitas infinitas.... Acho.
>>>>>
>>>>> Abraço, Ralph.
>>>>>
>>>>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>>>>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio
>>>>> é interessante, não?
>>>>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>>>>> algo usando o limite de x_k...
>>>>>
>>>>>
>>>>>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
>>>>>> <jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>>>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>>>>>
>>>>>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>>>>>
>>>>>> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>>>>>
>>>>>> --
>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
