[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão de fatorial

[Murilo RFL]

Eaqueci de provar q A é menor d q 1 
tmb
 
Depois tento resolver.
 
[]'s
MuriloRFL

  - Original Message - 
  From: 
  Murilo 
  RFL 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, November 10, 2005 1:00 
  PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão 
  de fatorial
  
  x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1
  n=2007 termos (0..2006)
   
  Desenvolvendo o polinomio
  x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 =>
  x^2007 +(1+2+3+...+2006)x^2006+ ... + (1*2*3*...*2006)x - 1 
  = 0.
  x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... + (2006!)x - 1 = 
  0.
   
  seja x>0 eh facil ver q [ x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ 
  ... ] = A tal q A > 0
  logo a equaçao eh:
  A + (2006!)x - 1 = 0.
  x = 1/(2006!) - A/2006!
   
  como A>0 => A/2006!>0
  e logo x, alguma raiz positiva do polinomio, eh menor de q 
  1/(2006!) 
   
  cqd.
   
  []'s 
  MuriloRFL
   
   
   
  
- Original Message - 
From: 
Robÿe9rio Alves 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, November 10, 2005 11:36 
AM
Subject: [obm-l] Uma questão de 
fatorial

x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 Seja menor menor raiz 
positiva dessa equaçÃo. Prove que ela seja menor que 1/2006!.


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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão de fatorial

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão de fatorial



Seja f: R -> R dada por:
f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)...(x + 2006) - 1.

Entao:
f(x)/2006! = x(1 + x)(1 + x/2)(1 + x/3)...(1 + x/2006) - 1/2006!

Se x > 0, entao f(x)/2006! > x - 1/2006!

Eh claro que f(0) = -1.

Alem disso, 1/2006! > 0 ==> 
f(1/2006!)/2006! > 1/2006! - 1/2006! = 0 ==>
f(1/2006!) > 0

Logo, como f eh continua em toda a reta, o TVI implica que existe a entre 0 e 1/2006! tal que f(a) = 0.

[]s,
Claudio.

on 10.11.05 13:00, Murilo RFL at [EMAIL PROTECTED] wrote:

x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1
n=2007 termos (0..2006)
 
Desenvolvendo o polinomio
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 =>
x^2007 +(1+2+3+...+2006)x^2006+ ... + (1*2*3*...*2006)x - 1 = 0.
x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... + (2006!)x - 1 = 0.
 
seja x>0 eh facil ver q [ x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... ] = A tal q A > 0
logo a equaçao eh:
A + (2006!)x - 1 = 0.
x = 1/(2006!) - A/2006!
 
como A>0 => A/2006!>0
e logo x, alguma raiz positiva do polinomio, eh menor de q 1/(2006!) 
 
cqd.
 
[]'s 
MuriloRFL
 
 
 
- Original Message - 
From: Robÿe9rio Alves   
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, November 10, 2005 11:36 AM
Subject: [obm-l] Uma questão de fatorial

x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 Seja menor menor raiz positiva dessa equaçÃo. Prove que ela seja menor que 1/2006!.

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