Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)
on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá Pessoal, > > Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta saindo: > > > Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que: > > sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen > ((B+C)/2).sen((C+A)/2) > > > Grato > > Mr. Crowley > Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)
Essa eh boazinha...
O D pode ser escrito como funcao de A, B e C e com
isso desaparece do lado direito da identidade.
Lembrem-se que sen(x) eh funcao impar de x e cos(x) eh
funcao par. Entao podemos escrever...
A+B+C+D=2*pi (1)
sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2] (2)
Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
(2) fica...
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[pi-(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2] * {cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]} (3)
De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
(2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[pi/2-(C+A)/2] *
cos[pi/2-(B+C)/2]}=
4*sen[(A+B)/2] * sen[(C+A)/2] * sen[(B+C)/2]
--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando
at
> [EMAIL PROTECTED]
> wrote:
>
> > Olá Pessoal,
> >
> > Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta
> saindo:
> >
> >
> > Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
> >
> > sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
> > ((B+C)/2).sen((C+A)/2)
> >
> >
> > Grato
> >
> > Mr. Crowley
> >
> Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito?
>
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)
on 01.10.03 15:53, Bruno Simões at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Essa eh boazinha...
>
> O D pode ser escrito como funcao de A, B e C e com
> isso desaparece do lado direito da identidade.
Voce tem toda a razao! Falha minha.
De qualquer jeito, serah que nao tem uma forma mais facil de provar essas
identidades, por exemplo usando complexos? Eh que estas transformacoes
trigonometricas sao de chorar...
Como diria o medico: problema de prostataferese dah no saco.
Um abraco e desculpem a infamia,
Claudio.
> Lembrem-se que sen(x) eh funcao impar de x e cos(x) eh
> funcao par. Entao podemos escrever...
>
> A+B+C+D=2*pi (1)
>
> sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2] (2)
>
> Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
> (2) fica...
>
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[pi-(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
> 2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
> 2*sen[(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
> 2*sen[(A+B)/2] * {cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
> 2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
> cos[(A-B-C+D)/4]} (3)
>
> De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
> (2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
> 2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
> Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...
>
> 2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
> cos[(A-B-C+D)/4]}=
> 2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[pi/2-(C+A)/2] *
> cos[pi/2-(B+C)/2]}=
> 4*sen[(A+B)/2] * sen[(C+A)/2] * sen[(B+C)/2]
>
>
>
> --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu: > on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando
> at
>> [EMAIL PROTECTED]
>> wrote:
>>
>>> Olá Pessoal,
>>>
>>> Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta
>> saindo:
>>>
>>>
>>> Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
>>>
>>> sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
>>> ((B+C)/2).sen((C+A)/2)
>>>
>>>
>>> Grato
>>>
>>> Mr. Crowley
>>>
>> Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito?
>>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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