Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!! (OFF)

[JoaoCarlos_Junior]

Percebo em certo grau que a ousadia direcionada à honestidade, à nobreza e à humildade auxilia na resolução de questões.
Fraternalmente, João.
Olá pessoal!Muito obrigado pela colaboração de todos na solução do problema.Enviei a solução para [EMAIL PROTECTED] com as devidas citações ao Nehab eao Marcio. Obrigado pela dica da "estrategia padrao" Marcio!Certamente será muito útil em problemas futuros.Por sinal como foi a sua solução para o problema? Fiquei curioso ecreio que outros também estão.Alguém saberia me dizer se é esse e-mail([EMAIL PROTECTED]) o correto paraenviar as soluções dos problemas propostos da Eureka? Tinha enviadouma outra vez mas não obtive resposta.Abraços,Douglas RibeiroOBS: Desculpe a ousadia Nehab, mas foi foi mais forte que eu!Em 31/07/07, Marcio Cohen<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:> Douglas,>> Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos> por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka> na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!!>> Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é:>> Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como> exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx:>> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 +> 1/c^2 + 6)> = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6);>>> 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) => -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1).>> Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 +> (cosC)^2 - 6), ou seja,> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC>> Abraços,> Marcio Cohen>>> On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva < [EMAIL PROTECTED]> wrote:> >> > Olá Nehab!> >> > Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter> > de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da> > lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como> > eu, vocês gostam muito de geometria.> >> > O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um> > problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o> > problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se> > cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que> > gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área> > do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.> >> > Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão> > que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois> > não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma> > fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.> >> > A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +> > (cosB)^2 + (cosC)^2)].> > Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo> > é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente> > 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho> > para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema> > da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.> >> > Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a> > idéia abaixo:> >> > Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.> > Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -> > S(XBZ) - S(XYC)> >> > S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção> >> > As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo> > se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores> > que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) => > bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.> >> > Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -> > ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2> >> > Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e> > substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por> > S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula> > de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.> >> > Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e> > ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar> > [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -> > 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].> >> > Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e> > achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o> > produto de cossenos.> >> > Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e> > certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a> > Eureka.> >> > Abraços, Douglas> >> >> >> >> > Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED] > escreveu:> > >> > >  Oi, querido Ponce> > >> > >  Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as> áreas> > > independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários> > > caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.> > >

Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!

[Douglas Ribeiro Silva]

Olá pessoal!

Muito obrigado pela colaboração de todos na solução do problema.
Enviei a solução para [EMAIL PROTECTED] com as devidas citações ao Nehab e
ao Marcio. Obrigado pela dica da "estrategia padrao" Marcio!
Certamente será muito útil em problemas futuros.

Por sinal como foi a sua solução para o problema? Fiquei curioso e
creio que outros também estão.

Alguém saberia me dizer se é esse e-mail([EMAIL PROTECTED]) o correto para
enviar as soluções dos problemas propostos da Eureka? Tinha enviado
uma outra vez mas não obtive resposta.

Abraços,

Douglas Ribeiro

OBS: Desculpe a ousadia Nehab, mas foi foi mais forte que eu!


Em 31/07/07, Marcio Cohen<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Douglas,
>
> Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos
> por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka
> na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!!
>
> Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é:
>
> Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como
> exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx:
>
> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 +
> 1/c^2 + 6)
> = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6);
>
>
> 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) =
> -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1).
>
> Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 +
> (cosC)^2 - 6), ou seja,
> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC
>
> Abraços,
> Marcio Cohen
>
>
> On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva < [EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Olá Nehab!
> >
> > Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter
> > de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da
> > lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como
> > eu, vocês gostam muito de geometria.
> >
> > O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um
> > problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o
> > problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se
> > cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que
> > gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área
> > do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.
> >
> > Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão
> > que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois
> > não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma
> > fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.
> >
> > A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
> > (cosB)^2 + (cosC)^2)].
> > Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo
> > é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente
> > 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
> > para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema
> > da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.
> >
> > Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a
> > idéia abaixo:
> >
> > Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.
> > Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
> > S(XBZ) - S(XYC)
> >
> > S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção
> >
> > As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo
> > se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
> > que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
> > bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.
> >
> > Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
> > ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2
> >
> > Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
> > substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
> > S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula
> > de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.
> >
> > Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e
> > ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
> > [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
> > 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].
> >
> > Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e
> > achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o
> > produto de cossenos.
> >
> > Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e
> > certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a
> > Eureka.
> >
> > Abraços, Douglas
> >
> >
> >
> >
> > Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED] > escreveu:
> > >
> > >  Oi, querido Ponce
> > >
> > >  Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as
> áreas
> > > independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários
> > > caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.
> > >
> > >  Eu espera

Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!

[Marcio Cohen]

Douglas,

Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos
por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka
na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!!

Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é:

Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como
exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx:

(cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 +
1/c^2 + 6)
= (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6);


8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) =
-(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1).

Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 +
(cosC)^2 - 6), ou seja,
(cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC

Abraços,
Marcio Cohen

On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Olá Nehab!
>
> Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter
> de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da
> lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como
> eu, vocês gostam muito de geometria.
>
> O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um
> problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o
> problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se
> cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que
> gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área
> do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.
>
> Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão
> que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois
> não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma
> fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.
>
> A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
> (cosB)^2 + (cosC)^2)].
> Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo
> é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente
> 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
> para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema
> da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.
>
> Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a
> idéia abaixo:
>
> Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.
> Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
> S(XBZ) - S(XYC)
>
> S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção
>
> As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo
> se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
> que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
> bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.
>
> Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
> ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2
>
> Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
> substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
> S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula
> de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.
>
> Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e
> ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
> [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
> 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].
>
> Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e
> achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o
> produto de cossenos.
>
> Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e
> certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a
> Eureka.
>
> Abraços, Douglas
>
>
>
>
> Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> >  Oi, querido Ponce
> >
> >  Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as
> áreas
> > independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários
> > caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.
> >
> >  Eu esperava algo do tipo:  a razão entre as áreas é "o quadrado do
> produto
> > dos senos dos angulos", ou  coisa similar.  Embora tendo encontrado
> várias
> > coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando
> resolver
> > o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
> >
> >  E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse
> alguma
> > expressão simples para a resposta.Resta aguardar  que quem propôs o
> > problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em
> nossa
> > lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem
> é
> > bastante interessante).
> >
> >  Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de
> > mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho,
> no
> > mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio.
> >
> >  Abraços,
>

Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!

[Rogerio Ponce]

Ola' Douglas, Nehab e colegas da lista,
a solucao do Douglas ja' estava bonita, e, com o complemento do Nehab, ficou 
bem legal !
Eu bem que tentei (tambem) por trigonometria, mas as expressoes que consegui 
eram de dar medo em assombracao...Parabens aos dois!

[]'s
Rogerio Ponce

Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:   Oi,  Douglas,

 Muito legais suas idéias e sua solução.  Eu passei perto de sua expressão mas 
aqui vai uma modesta colaboração para você fechar SUA bonita solução do jeito 
que você queria... (é só um treinozinho nas nojentas expressões trigonométricas 
vestibulinas...):

 Façamos 
 X  = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 
 Dai, como cos2x = 2(cosx)^2 -1, vem
 X = (1 + cos2A)/2 + (1+cos2B)/2 + (cosC)^2  
 X =  1 + [cos(2A) +cos(2B) ]/2   + (cosC)^2

 Mas 
 cos(2A) + cos(2B) = 2cos(A+B)cos(A-B) = -2cosC cos(A-B).

 Substituindo em X:
 X = 1 - cosC [ cos(A-B) - cosC]  = 1 - cosC [ cos(A-B) + cos(A+B) ].   Dai 
acabou:
 X= 1 - cosC. [2cosA.cosB]  = 1 - 2cosA.cosB.cosC

 Substituindo este X na expressão que você obteve, você chega na desejada 
expressão do enunciado que o motivou.
 7 - 4 [ (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 ] =  7 - 4 [ 1 - 2cosA.cosB.cosC ] = 3 
- 8 cosA.cosB.cosC

 Um grande abraço,
 Nehab

 PS: Nem ouse me incluir na sua linda construção.  O mérito é todo seu !

 
 At 22:22 30/7/2007, you wrote:
 Olá Nehab!

 Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter
 de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da
 lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como
 eu, vocês gostam muito de geometria.

 O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um
 problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o
 problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se
 cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que
 gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área
 do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.

 Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão
 que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois
 não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma
 fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.

 A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
 (cosB)^2 + (cosC)^2)].
 Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo
 é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente
 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
 para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema
 da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.

 Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a
 idéia abaixo:

 Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.
 Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
 S(XBZ) - S(XYC)

 S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção

 As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo
 se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
 que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
 bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.
 
 Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
 ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2

 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
 substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
 S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula
 de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.

 Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e
 ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
 [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].

 Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e
 achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o
 produto de cossenos.

 Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e
 certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a
 Eureka.

 Abraços, Douglas

 

 
 Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
 >
 >  Oi, querido Ponce
 >
 >  Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas
 > independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários
 > caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.
 >
 >  Eu esperava algo do tipo:  a razão entre as áreas é "o quadrado do produto
 > dos senos dos angulos", ou  coisa similar.  Embora tendo encontrado várias
 > coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver
 > o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
 >
 >  E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma
 > expressão simples para a resposta.Resta aguardar  que quem propôs o
 > problema informe se sabe algu

Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi,  Douglas,

Muito legais suas idéias e sua solução.  Eu passei perto de sua 
expressão mas aqui vai uma modesta colaboração para você fechar SUA 
bonita solução do jeito que você queria... (é só um treinozinho nas 
nojentas expressões trigonométricas vestibulinas...):


Façamos
X  = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2
Dai, como cos2x = 2(cosx)^2 -1, vem
X = (1 + cos2A)/2 + (1+cos2B)/2 + (cosC)^2
X =  1 + [cos(2A) +cos(2B) ]/2   + (cosC)^2

Mas
cos(2A) + cos(2B) = 2cos(A+B)cos(A-B) = -2cosC cos(A-B).

Substituindo em X:
X = 1 - cosC [ cos(A-B) - cosC]  = 1 - cosC [ cos(A-B) + cos(A+B) 
].   Dai acabou:

X= 1 - cosC. [2cosA.cosB]  = 1 - 2cosA.cosB.cosC

Substituindo este X na expressão que você obteve, você chega na 
desejada expressão do enunciado que o motivou.
7 - 4 [ (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 ] =  7 - 4 [ 1 - 
2cosA.cosB.cosC ] = 3 - 8 cosA.cosB.cosC


Um grande abraço,
Nehab

PS: Nem ouse me incluir na sua linda construção.  O mérito é todo seu !


At 22:22 30/7/2007, you wrote:

Olá Nehab!

Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter
de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da
lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como
eu, vocês gostam muito de geometria.

O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um
problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o
problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se
cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que
gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área
do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.

Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão
que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois
não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma
fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.

A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
(cosB)^2 + (cosC)^2)].
Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo
é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente
1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema
da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.

Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a
idéia abaixo:

Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.
Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
S(XBZ) - S(XYC)

S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção

As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo
se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.

Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2

Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula
de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.

Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e
ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
[sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].

Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e
achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o
produto de cossenos.

Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e
certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a
Eureka.

Abraços, Douglas




Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  Oi, querido Ponce
>
>  Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas
> independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários
> caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.
>
>  Eu esperava algo do tipo:  a razão entre as áreas é "o quadrado do produto
> dos senos dos angulos", ou  coisa similar.  Embora tendo encontrado várias
> coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver
> o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
>
>  E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado 
conseguisse alguma

> expressão simples para a resposta.Resta aguardar  que quem propôs o
> problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco 
praticado em nossa

> lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é
> bastante interessante).
>
>  Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de
> mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no
> mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio.
>
>  Abraços,
>  Nehab
>
>  At 01:09 29/7/2007, you wrote:
>

Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!

[Douglas Ribeiro Silva]

Olá Nehab!

Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter
de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da
lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como
eu, vocês gostam muito de geometria.

O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um
problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o
problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se
cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que
gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área
do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.

Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão
que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois
não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma
fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.

A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
(cosB)^2 + (cosC)^2)].
Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo
é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente
1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema
da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.

Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a
idéia abaixo:

Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.
Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
S(XBZ) - S(XYC)

S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção

As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo
se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.

Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2

Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula
de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.

Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e
ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
[sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].

Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e
achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o
produto de cossenos.

Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e
certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a
Eureka.

Abraços, Douglas




Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  Oi, querido Ponce
>
>  Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas
> independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários
> caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.
>
>  Eu esperava algo do tipo:  a razão entre as áreas é "o quadrado do produto
> dos senos dos angulos", ou  coisa similar.  Embora tendo encontrado várias
> coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver
> o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
>
>  E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma
> expressão simples para a resposta.Resta aguardar  que quem propôs o
> problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa
> lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é
> bastante interessante).
>
>  Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de
> mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no
> mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio.
>
>  Abraços,
>  Nehab
>
>  At 01:09 29/7/2007, you wrote:
>
> Ola' Douglas e colegas da lista,
>  nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
>
>  Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo ela
> vale 1/3.
>  E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em torno do
> seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em triangulo
> retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3 ,
> por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
>
>  Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo
> outra area "notavel" (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da area
> dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem faria
> muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes).
>
>  Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ  e' ... NENHUMA!
>
>  []'s
>  Rogerio Ponce
>
>
>  Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.
>
>  X eh a reflexao de A em re

Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, querido Ponce

Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as 
áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei 
vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.


Eu esperava algo do tipo:  a razão entre as áreas é "o quadrado do 
produto dos senos dos angulos", ou  coisa similar.  Embora tendo 
encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante 
triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples 
que merecesse ser publicado.


E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse 
alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar  que quem 
propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco 
praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos 
- e às vezes, a origem é bastante interessante).


Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de 
mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu 
proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio.


Abraços,
Nehab

At 01:09 29/7/2007, you wrote:

Ola' Douglas e colegas da lista,
nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.

Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo 
retangulo ela vale 1/3.
E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em 
torno do seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma 
continua, em triangulo retangulo. O efeito disso e' percorrermos 
todos os valores de 1/4 a 1/3 , por exemplo, mostrando que nao 
existe uma relacao fixa entre as 2 areas.


Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao 
envolvendo outra area "notavel" (como o triangulo de Euler, por 
exempo) , alem da area dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que 
o problema pede (e nem faria muito sentido ficar testando uma 
infinidade de combinacoes).


Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ  e' ... NENHUMA!

[]'s
Rogerio Ponce


Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.

X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB

Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?


Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. 
Saiba mais.