Re: [obm-l] o chapeu de Rudin.
A idéia é arranjar um cara tal que (p+x)^2q^2, algo assim. Mas realmente, ficou obscuro demais! niski lista wrote: O Rudin, no começo do livro Principles of Mathematical Analysis (3rd edition) define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 2. Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q tal que p q. Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p 0 o numero q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2) Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca seria: q foi tomado dessa forma pois é o que funciona. Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra apresentar esse q ? Um abraço a todos. Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o chapeu de Rudin.
Olá, cara, realmente, nunca vi isso, mas vou tentar te ajudar. seja p um racional, entao: q = a/b, b!=0, mdc(a,b)=1, p^2 2 agora, vamos tomar um q = 2(p+1)/(p+2) q-p = 2(p+1)/(p+2) - p = (2p+2-p^2-2p)/(p+2) = (2-p^2)/(p+2) mas p^2 2, logo: q-p 0 = q p falta mostrar que q^2 2 2 - q^2 = 2 - 4(p^2 + 2p + 1)/(p^2 + 4p + 4) = (2p^2 + 8p + 8 - 4p^2 - 8p - 4)/(p^2 + 4p + 4) = (4 - 2p^2)/(p^2+4p+4) mas p^2 2 = 4 - 2p^2 0 = 2 - q^2 0 = q^2 2 bom, agora a motivacao pra ele ter escolhido este q: p^2 2 = 2 - p^2 0 .. ele quer um q, tal que q p e q^2 2 isso é: q = p + k, k 0 q^2 2 q sqrt(2) = k sqrt(2) - p multiplicando e dividindo por sqrt(2)+p, ficamos com: k (2-p^2)/(sqrt(2)+p) bom, sqrt(2) 2 = sqrt(2)+p 2+p + 1/(sqrt(2)+p) 1/(2+p) = (2-p^2)/(2+p) (2-p^2)/(sqrt(2)+p) veja bem, tomando k = (2 - p^2)/(2+p), temos nossa condicao satisfeita sempre.. tambem poderia ser k = (2 - p^2)/(3+p), por exemplo.. ou qquer numero maior que sqrt(2).. mas ele escolheu 2 :) espero ter ajudado, um abraço, Salhab - Original Message - From: niski lista [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, December 06, 2006 7:19 PM Subject: [obm-l] o chapeu de Rudin. O Rudin, no começo do livro Principles of Mathematical Analysis (3rd edition) define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 2. Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q tal que p q. Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p 0 o numero q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2) Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca seria: q foi tomado dessa forma pois é o que funciona. Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra apresentar esse q ? Um abraço a todos. Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.3/562 - Release Date: 1/12/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o chapeu de Rudin.
Só por curiosidade, o do livro do Elon (q = p + (2 - p^2)/(2p + 1)) é mais fácil de se explicar: Queremos que, para 2 - p^2 0, tenhamos 2 - (p+a)^2 0. Isto implica em 2 - p^2 - 2ap - a^2 0. Mas, considerando 0 a 1, temos que 2 - p^2 - 2ap - a^2 2 - p^2 - 2ap - a, e, daí, basta tomar um racional a que satisfaça a inequação 2 - p^2 - 2ap - a 0, que é equivalente a 0 a (2-p^2)/(2p + 1). -- Abraços, Maurício On 12/6/06, niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote: O Rudin, no começo do livro Principles of Mathematical Analysis (3rd edition) define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 2. Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q tal que p q. Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p 0 o numero q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2) Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca seria: q foi tomado dessa forma pois é o que funciona. Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra apresentar esse q ? Um abraço a todos. Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
