[obm-l] Re: Soma de Quadrados
Na realidade, o pedido do problema é: calcular lim P_N quando N - + infty. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Ok, já vi... s = 1.5 - log(3) desculpem poluir a lista, amigos... é que pra mim a questão era difícil... []´s Demétrio --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Já vi que está errado. Mas ainda gostaria de ajuda com a sequencia original. Obrigado. --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Achei uma resposta: s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... = serie harmonica s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie harmonica s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 Será que isto tá certo? --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Amigos da lista, Estou procurando a soma da seguinte sequencia: 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. agradeço qualquer ajuda. []´s __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio Freitas wrote: Achei uma resposta: s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... = serie harmonica s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie harmonica s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 Será que isto tá certo? Infelizmente não. Você usou implicitamente a convergência da série harmônica. A resposta correta está abaixo. Estou procurando a soma da seguinte sequencia: 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + ... (Taylor) A série converge condicionalmente para o valor certo se |z| = 1, z != 1. Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + 1/6 + ... Somando isso com o conjugado temos f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - 1/7 - 1/8 + 2/9 -... Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que você quer é S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = 3/2 - log(3) ~= 0.401387711. Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos no maple: digite aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): add(evalf(aa),k=1..100); e o maple responde 0.3980801201. Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos 0.4010546371. Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de grandeza de k^(-2) donde a soma dos n primeiros termos deve estar sempre um pouco abaixo do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), coerentemente com os números encontrados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Obrigado pela atenção, professor, e pela resposta sempre perfeita. De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma como eu tinha feito ontem a noite. Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa original, só que tomando somas com um número finito de termos da série harmonica. Assim, tomando os n primeiros termos: S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... +3/3n S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ... +2(n-2) -1/(n-1) -1/n + 3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n Comparando a sequencia finita S com os n primeiros termos da minha série original (infinita) percebi que eram iguais exceto pelo erro dado por: E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n Agora é possível fazer duas aproximações quando n-oo Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) Com isso: E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) + 1/3n Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero para x-oo. Neste caso posso calcular: E (n-oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3) E (n-oo) = log (3) Portanto: s(n-oo) = 1 + 1/2 - log(3) Claro que não é uma demonstração completa do ponto de vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito porque acho que está correta e de início eu não sabia nem como começar... E posso usar esta para outras séries parecidas. []´s Demetrio --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio Freitas wrote: Achei uma resposta: s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... = serie harmonica s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie harmonica s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 Será que isto tá certo? Infelizmente não. Você usou implicitamente a convergência da série harmônica. A resposta correta está abaixo. Estou procurando a soma da seguinte sequencia: 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + ... (Taylor) A série converge condicionalmente para o valor certo se |z| = 1, z != 1. Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + 1/6 + ... Somando isso com o conjugado temos f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - 1/7 - 1/8 + 2/9 -... Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que você quer é S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = 3/2 - log(3) ~= 0.401387711. Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos no maple: digite aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): add(evalf(aa),k=1..100); e o maple responde 0.3980801201. Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos 0.4010546371. Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de grandeza de k^(-2) donde a soma dos n primeiros termos deve estar sempre um pouco abaixo do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), coerentemente com os números encontrados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Sauda,c~oes,
Também gostei da solução do Nicolau.
===
Claro que não é uma demonstração completa do ponto de
vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito
porque acho que está correta e de início eu não sabia
nem como começar.
===
Resumindo a sua idéia, podemos escrever
S_n = 3/2 + H_n - H_{3n+2} e S=lim n--oo S_n.
Como H_n = log n + gama + o(1) e log(3n+2) =
log(3n) + o(1), então S = 3/2 - log(3).
===
... E posso usar esta para outras séries parecidas
===
É verdade. Uma outra série que apareceu por aqui foi
S_n = sum_{k=0}^n { 1/(4k+1) +1/(4k+3) - 1/2(k+1) }.
Então S_n = H_{4n+3} - H_{2n+1}/2 - H_{n+1}/2
e S = 3log(2) / 2 .
[]'s
Luis
From: Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Date: Thu, 13 Jan 2005 12:26:10 -0300 (ART)
Obrigado pela atenção, professor, e pela resposta
sempre perfeita.
De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar
enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a
sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma
como eu tinha feito ontem a noite.
Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa
original, só que tomando somas com um número finito de
termos da série harmonica.
Assim, tomando os n primeiros termos:
[...]
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
On Thu, Jan 13, 2005 at 12:26:10PM -0300, Demetrio Freitas wrote: ... De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar enchedo a lista com coisas de interesse menor. Acho que você não tem nenhum motivo para estar se desculpando. A sua mensagem está perfeitamente dentro da proposta da lista e até caiu uma questão parecida na primeira fase da OBM nível U do ano passado. E há um monte de mensagens off-topic ou pelo menos de caráter duvidoso. Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma como eu tinha feito ontem a noite. Ótimo! Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa original, só que tomando somas com um número finito de termos da série harmonica. Assim, tomando os n primeiros termos: S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... +3/3n S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ... +2(n-2) -1/(n-1) -1/n + 3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n Comparando a sequencia finita S com os n primeiros termos da minha série original (infinita) percebi que eram iguais exceto pelo erro dado por: E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n Até aqui está tudo perfeito. Agora é possível fazer duas aproximações quando n-oo Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) Com isso: E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) + 1/3n Este primeiro passo precisaria ser justificado: pq esta aproximação não altera o valor do limite? Mas veja abaixo. Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero para x-oo. Neste caso posso calcular: E (n-oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3) E (n-oo) = log (3) O primeiro passo é desnecessário. O valor original E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n é uma soma de Riemann que aproxima a mesma integral que você considerou. Assim o seu limite é log(3). Portanto: s(n-oo) = 1 + 1/2 - log(3) Claro que não é uma demonstração completa do ponto de vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito porque acho que está correta e de início eu não sabia nem como começar... E posso usar esta para outras séries parecidas. Acho que está correta e quase completa, faltou apenas dar uma breve explicação para o segundo passo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Soma de sequencia
Achei uma resposta: s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... = serie harmonica s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie harmonica s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 Será que isto tá certo? --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Amigos da lista, Estou procurando a soma da seguinte sequencia: 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. agradeço qualquer ajuda. []´s __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Já vi que está errado. Mas ainda gostaria de ajuda com a sequencia original. Obrigado. --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Achei uma resposta: s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... = serie harmonica s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie harmonica s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 Será que isto tá certo? --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Amigos da lista, Estou procurando a soma da seguinte sequencia: 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. agradeço qualquer ajuda. []´s __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Soma-Renata
acho que recolvi seu problema, o complicado é digitar P(i) indicaP índice i Escreva S=A+2A^2+3A^3+...+nA^n P(1)=A P(2)=A+A^2 P(3)=A+A^2+A^3 . . P(n-1)=A+A^2+A^3+...A^(n-1) Observe que essas P são todas progressoes geometrica que vc sabe simplificar. Agora adicione todas as equacoes acima. Do lado esquerdo vc vai ter S e mais um bocado de soma de PG, do lado direito vc vai ter n*(A+A^2+A^3+...+A^n) que vc sabe simplificar, agora é so isolar o S. Termine as contas e me diga se da certo. Um abraço. renata rabakov [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, sou nova na lista. Gostaria de saber se existe uma forma de simplificar isto: somatorio [i=1, n] (i * A ^ i Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: soma....
Já respondi. Não recebeu?
-Mensagem Original-
De: Davidson
Estanislau
Para: [EMAIL PROTECTED]
Cc: obm
Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de
2001 09:45
Assunto: soma
Caro Luis, o que simboliza a expressão
\frac,
\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} +
\frac{rq(1-nq{n-1}+(n-1)q^n }{(1-q)^2}
Davidson
Estanislau
-Mensagem original-De: Luis Lopes
[EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Segunda-feira, 3 de Dezembro de 2001 20:43Assunto: Re: RES:
somaSauda,c~oes,Temos aqui um exemplo de uma
progressãoaritmético-geométrica.Se a_i = [a_1 +
(i-1)r]q^{i-1}é o termo geral, então S_n = a_1 + + a_n
=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} + \frac{rq(1-nq{n-1}+(n-1)q^n
}{(1-q)^2}S_{n+1}(x) = 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (n+1)x^na_i =
ix^{i-1}=[1+(i-1)]x^{i-1}. Então a_1=1 r=1, q=x e S_{n+1}(x)
vale.deixo a substituição para o leitor. Observe que
n=n+1.[]'sLuis
Re: soma....
1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k eh a derivada de x+x^2+ x^3+...+x^(k+1) = x(1-x^(k+1)) / (1-x), para x diferente de 1. Basta entao derivar o resultado. JP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 30, 2001 10:55 PM Subject: soma Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar um insigth?? 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k Obrigado Ruy
Re: soma....
Quando o x eh diferente de 1. 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^k + x + x^2 + x^3 + ... + x^k + ...+ x^k = (x^(k+1) - 1)/(x - 1) + (x^(k+1) - x)/(x - 1) + (x^(k+1) - x^2)/(x - 1) + ... + (x^(k+1) - x^k)/(x - 1) = ((k+1)x^(k+1) - (x^(k+1) - 1)/(x - 1))/(x - 1) = ((k+1)x^(k+1))/(x - 1) + (x^(k+1) - 1)/(x - 1)^2 Acho que ta certo. Eduardo Casagrande Stabel. From: [EMAIL PROTECTED] Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar um insigth?? 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k Obrigado Ruy
RE: Soma de quadrados = 1005
vc tb est no sabesabe n? Acho que no existe um mtodo, j que temos zilhes de respostas. Eu fiz o seguinte, apenas para me situar (coincidentemente achei uma resposta): Extra a raiz e achei 31 Extra a raiz do resto e achei 6 De novo e achei 2 Sobrou 4 que quadrado perfeito, logo 31 + 6 + 2 + 2 soluo. Bem, o cara que fez essa pergunta no sabesabe j tem essa resposta. Eduardo Grasser Campinas SP -- De: Bruno Woltzenlogel Paleo[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quinta-feira, 1 de Fevereiro de 2001 10:22 Para: OBMList; Olympium Assunto:Soma de quadrados = 1005 1005 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 Como encontrar a , b, c, d??? Bruno Woltzenlogel Paleo http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED] application/ms-tnef
Re: Soma de quadrados = 1005
vc tb est no sabesabe n? Acho que no existe um mtodo, j que temos zilhes de respostas. Eu fiz o seguinte, apenas para me situar (coincidentemente achei uma resposta): --- . Eu vi a pergunta l... Existe mais de uma soluo com nmeros naturais? Bruno Woltzenlogel Paleo http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED]
RE: Soma de quadrados = 1005
a bvia 900 + 100 + 4 + 1 -- De: Bruno Woltzenlogel Paleo[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quinta-feira, 1 de Fevereiro de 2001 14:35 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: Soma de quadrados = 1005 vc tb est no sabesabe n? Acho que no existe um mtodo, j que temos zilhes de respostas. Eu fiz o seguinte, apenas para me situar (coincidentemente achei uma resposta): --- . Eu vi a pergunta l... Existe mais de uma soluo com nmeros naturais? Bruno Woltzenlogel Paleo http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED] application/ms-tnef
Re: Soma
Olá Eduardo (e todo o pessoal da lista!), Há uma propriedade (acho que é isso, ou talvez um teorema, não sei bem) que garante o seguinte: A soma das potências de grau k do n primeiros termos de uma P.A. é um polinômio de grau (k+1) em n. Assim, no seu problema, teremos: 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = A.n^3 + B.n^2 + Cn + D e para n = 1, 2, 3 , 4 , teremos: i) A + B + C + D = 1 ii) 8A + 4B + 2C + D = 1 iii) 27A + 9B + 3C + D = 14 iv) 64A + 16B + 4C + D = 30 resolvendo esse sisteminha (você não pensou que eu ia fazer isso aqui, né??), teremos: A=1/3 ; B=1/2 ; C=1/6 e D=0 assim, substituindo no polinômio original: 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (1/3).n^3 + (1/2).n^2 + (1/6).n A propósito essa é uma solução que eu enxerguei para a 5a questão da prova do IME do ano passado. Entretanto lá eles pediam pelo polinômio, talvez por isso o Marcos Paulo tenha lembrado que essa questão já foi discutida aqui na lista. Mas é sempre bom relembrar... Espero ter podido ajudar [ ]'s e saudações (Tricolores... sempre!) Alexandre Vellasquez Saudações. Alguém poderia me ajudar com a seguinte soma? S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 Obrigado
Re soma
Acredito que este problema já tenha sido discutido nesta lista. No entanto, lá vai: Usaremos a seguinte propriedade: (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 1^3 = 1 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 ... (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 Somando-se membro a membro temos: (n+1)^3 = 3*S + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n Resolvendo esta equação em S temos: S = n(n+1)(2n+1)/6
Re: soma
Ola Eduardo,
Tudo Legal ?
Se voce observar bem, a serie que voce quer somar pode ser
interpretada como o produto ordenado de uma Progressao
Aritmetica por uma Progressao Geometrica ... De fato, em
1/(2^0) + 2/(2^1) + 3/(2^2) + 4/(2^3) + ...
os numeradores formam a Progressao Aritmetica :
1,2,3,4,5, Os denominadores formam a Progressao
Geometrica: 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Seja An = A1 + (N-1)*R o termo geral de uma PA e Gn =
G1*(q^(N-1)) o termo geral da Progressao Geometrica.
Queremos estudar Tn = An*Gn.
Para tanto, faca :
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
Entao :
T1 = A1*G1
T2 = (A1 + R)*G1*q
T3 = (A1 + 2*R)*G1*(q^2)
...
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
S = T1 + T2 + T3 + ... + Tn
q*S = q*T1 + q*T2 + q*T3 + ... + q*Tn
S - q*S =(T2 - q*T1) + (T3 - q*T2) + (T4 - q*T3) + ... + (Tn
- q*Tn-1) + T1 - q*Tn
(1 - q)*S=R*G1*q + R*G1*(q^2) + R*G1*(q^3) + ... +
R*G1*(q^(N-1)) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q( 1 + q + q^2 + ... + q^(N-2) ) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q[(q^(N-1) - 1)/(q - 1) ] + T1 - q*Tn
(q-1)*S=(q*Tn - T1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
S = (q*Tn - T1)/(q-1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
Esta seria a "Formula do Termo Geral" para este tipo de
serie, no caso de um numero finito de termos. Todavia, se
modulo(q) 1 entao q^N - 0 ( tende a zero ) quando N tende
ao infinito e, portanto, Tn tambem tende a zero. Assim, no
Limite :
lim S = T1/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = (A1*G1)/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = [ A1 + ( q/(1 - q) )*R ]*(G1/(1 - q))
Esta ultima expressao e a que achei mais bonita e que
portanto a que merece perdurar. ( A matematica e o reino da
Beleza ... O que e feio guarda defeitos nao percebidos e nao
permanece ... Quando voce vislumbra a Beleza e Simetria de
uma formula ou construcao, pode ter certeza que encetou pelo
caminho correto e que o levara a uma compreensao mais
profunda do tema ... )
No caso da sua serie :
A1 = primeiro termo da PA = 1
G1 = primeiro termo da PG = 1
R = razao da PA = 1
q = razao da PG = 1/2 ( modulo(q) 1 )
Logo:
Lim S = [1 + ((1/2)/(1 - 1/2))*1]*(1/(1 - 1/2))
Lim S = 2*2 = 4
Trink than weing, was die zimember zimber !
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1509,12092000
On Tue, 12 Sep 2000 12:24:47 -0300
"Luis Lopes" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
Para somar se'ries, infinitas ou n~ao, geralmente
e' boa ide'ia tentar escreve^-las como
S_n = \sum_{p\leq i\leq q} f(i) = f(p) + f(p+1) + \cdots
+ f(q),
onde p=0 ou 1 e q=n-1, ou n ou n+1.
Para a soma
S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \cdots,
vamos fazer p=0, q=n e deixamos f(i) para o leitor.
Calculemos S_n e fa,camos
S = \lim_{n \to \infty} S_n, onde \to representa ---.
Damos os detalhes numa pro'xima mensagem.
[ ]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 11 de Setembro de 2000 23:00
Assunto: estranho
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o
outro? como assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema
bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I
(conjunto dos numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e
portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se
e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao
enumeraveis, ou seja sao
"muito maiores".
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