Re: somatorio
Ha uma formula que diz que o a soma dos numero de uma PA que comeca com o numero n1 e acaba com o numero nx e (n1+nx)x/2. Um jeito muito simples de se descobrir esta formula pode ser econtrado em http://galileu.globo.com/edic/112/eureca.htm. Como acho a expressao que me da a soma dos numeros da sequencia n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... ? Ha uma maneira de se obter essa expressao tao simples quanto a que esta na revista Galileu? Qual e a mais simples que voces conhecem? Obrigado, Gustavo Como vai Gustavo ? Olha, não sei como está na revista galileu, mas uma coisa que consegui fazer foi a seguinte: 1 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6, logo a soma que vc deseja n^2 + (n+1)^2 + ... + (n+m)^2 (imagino que esta soma seja limitada), pode ser escrita como : (1 + 2^2 + ... + m^2)-(1 + 2^2 + ... + (n-1)^2)= = m*(m+1)*(2m+1)/6 - (n-1)*n*(2n-1)/6. Se escrevi alguma besteira, por favor avise-me. http://www.ieg.com.br
Re: somatorio
Leia em duas Eurekas seguidas (nao me lembro os numeros) os meus artigos: Contando duas vezes para generalizar. JP - Original Message - From: Gustavo Nunes Martins [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 04, 2001 7:57 PM Subject: somatorio Ha uma formula que diz que o a soma dos numero de uma PA que comeca com o numero n1 e acaba com o numero nx e (n1+nx)x/2. Um jeito muito simples de se descobrir esta formula pode ser econtrado em http://galileu.globo.com/edic/112/eureca.htm. Como acho a expressao que me da a soma dos numeros da sequencia n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... ? Ha uma maneira de se obter essa expressao tao simples quanto a que esta na revista Galileu? Qual e a mais simples que voces conhecem? Obrigado, Gustavo
Re: somatorio
Esse somatório resulta em um polinômio do terceiro grau. Basta fazer p(x) = ax^3 + bx^2 +cx +d e resolver p(x) - p(x-1) = (n+x)^2 - Original Message - From: Gustavo Nunes Martins [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 04, 2001 7:57 PM Subject: somatorio Ha uma formula que diz que o a soma dos numero de uma PA que comeca com o numero n1 e acaba com o numero nx e (n1+nx)x/2. Um jeito muito simples de se descobrir esta formula pode ser econtrado em http://galileu.globo.com/edic/112/eureca.htm. Como acho a expressao que me da a soma dos numeros da sequencia n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... ? Ha uma maneira de se obter essa expressao tao simples quanto a que esta na revista Galileu? Qual e a mais simples que voces conhecem? Obrigado, Gustavo
Re: somatorio
Gustavo Nunes Martins wrote: Ha uma formula que diz que o a soma dos numero de uma PA que comeca com o numero n1 e acaba com o numero nx e (n1+nx)x/2. Um jeito muito simples de se descobrir esta formula pode ser econtrado em http://galileu.globo.com/edic/112/eureca.htm. Aliás, esse é o único jeito q conheço de DEDUZIR esta fórmula. Até é possível PROVÁ-LA com indução, mas deduzir acho q só assim mesmo Como acho a expressao que me da a soma dos numeros da sequencia n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... ? Hum... Vc está querendo somar vários quadrados perfeitos consecutivos a partir de um n^2 qualquer, certo? Pois bem, vamos passo a passo pq já são passa das duas e meus neurônios foram dormir :-) n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... + (n+k)^2 = n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) + (n^2+6n+9) + ... + (n^2+2kn+k^2) = Olhando com carinho, vemos um total de k+1 termos n^2. Note também que ops termos de primeiros grau podem ser arrumados de forma sugestiva coma a abaixo. Por fim, restam os termos independentes. Vejamos como fica... (k+1)n^2 + (2+4+6+...+2k)n + (1+4+9+...k^2) Fazendo por partes: I) (k+1)n^2 É, acho q melhor q isso não fica, hehehe :-) II)(2+4+6+...+2k)n é uma PA. Assim, fica k(k+1)n/2 III)(1+4+9+...k^2) é a soma de todos os quadrados perfeitos a partir do primeiro (zero ou um, tanto faz..). Se vc preferir, um caso particular do seu prob. Observando com cuidado , temos: 4-1=3 9-4=5 5-3=2 16-9=7 7-5=2 25-16=9 9-7=2 . . . Note que os quadrados não formam a PA q vc conhece, mas a diferença deles sim. Isso significa q os quadrados pefeitos formam uma PA de segunda ordem, pq só na segunda vez q calculamos a diferença é q chegamos a valores iguais. A PA q vc conhece é chamada de PA de primeira ordem, porque já na primeira vez q calculamos a diferença chegamos a valores iguais. Podemos ter PAs de qualquer ordem Mas, voltando ao nosso problema, temos q descobrir como somar essa tal de PA de segunda ordem. Como já são duas e meia, deixo p/vc tentar um pouco. Sugiro tentar estabelecer alguma fórmula de recorrência, depois uma do termo geral e, por fim, a da soma. Vale lembra q essas fórmulas, na PA, são, respectivamente: a[n] = a[n-1] + R a[n] = a[1] + (n-1)R S[n]=(a[1]+a[n])n/2 OBS: a[n] indica n-ésimo termo da seqüencia Depois q você souber somar esta PA de segunda ordem basta somar I, II e III q vc terá seu resultado... Se eu conseguir tempo amanhã eu faço o resto... []'s Alexandre Tessarollo
Re: somatorio
Acho que todos estao respondendo o que nao foi perguntado. Perguntou-se quanto valia o somatório de 1 a n e nao de 1 a infinito. Se o n eh grande o somatorio eh bem aproximado por logaritmo natural de n. Nao ha modo "elementar" de calcular o somatorio. Entretanto ele pode ser expresso em termos de funçoes tabeladas (no seculo passado; hoje seria melhor dizer mapleadas). Consultem, em um livro de Calculo, funçao digama ou funçao psi. Fábio Arruda de Lima wrote: Oi amigo, Inicialmente, seria interessante você adquirir o livro do Prof. Elon Lages Lima, Curso de Análise, e dar uma lida no Capítulo de Seqüências e Séries de números reais. Entretanto, como esclarecimento. Trago o seguinte Teorema: "Se Somatório de An é uma série convergente então o limite An = 0." Entretanto a recíproca não é verdadeira e o contra-exemplo clássico é exatemente somatório de 1/n. Esta série diverge! Gostaria de complementar o assunto trazendo uma pequena técnica (aprendi vendo em muitos livros) para o calculo de somatório. Busque transformar o somatorio do termo geral em diferença de dois termos. Por exemplo: Somatório (1/(n)(n+1) = A/n - B/(n+1) = (An + A -Bn)/ (n)(n+1) A-B=0 A=1 Portanto, B=1. Assim, temos Somatório 1/(n)(n+1) = 1/n - 1/(n+1) Temos: 1- 1/2 1/2 - 1/3 1/3 - 1/4 . 1/n - 1/(n+1) Simplificando positivos e negativos, temos: Soma = 1 - 1/(n+1) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 10, 2001 5:00 PM Subject: somatorio Podem me ajudar com este somatorio? 1/k;com K variando de 1 ate n
Re: somatorio
Corrigindo: Consultem funçao psi, funçao digama e constante de Euler (ou constante de Euler-Mascheroni). Augusto Morgado wrote: Acho que todos estao respondendo o que nao foi perguntado. Perguntou-se quanto valia o somatório de 1 a n e nao de 1 a infinito. Se o n eh grande o somatorio eh bem aproximado por logaritmo natural de n. Nao ha modo "elementar" de calcular o somatorio. Entretanto ele pode ser expresso em termos de funçoes tabeladas (no seculo passado; hoje seria melhor dizer mapleadas). Consultem, em um livro de Calculo, funçao digama ou funçao psi. Fábio Arruda de Lima wrote: Oi amigo, Inicialmente, seria interessante você adquirir o livro do Prof. Elon Lages Lima, Curso de Análise, e dar uma lida no Capítulo de Seqüências e Séries de números reais. Entretanto, como esclarecimento. Trago o seguinte Teorema: "Se Somatório de An é uma série convergente então o limite An = 0." Entretanto a recíproca não é verdadeira e o contra-exemplo clássico é exatemente somatório de 1/n. Esta série diverge! Gostaria de complementar o assunto trazendo uma pequena técnica (aprendi vendo em muitos livros) para o calculo de somatório. Busque transformar o somatorio do termo geral em diferença de dois termos. Por exemplo: Somatório (1/(n)(n+1) = A/n - B/(n+1) = (An + A -Bn)/ (n)(n+1) A-B=0 A=1 Portanto, B=1. Assim, temos Somatório 1/(n)(n+1) = 1/n - 1/(n+1) Temos: 1- 1/2 1/2 - 1/3 1/3 - 1/4 . 1/n - 1/(n+1) Simplificando positivos e negativos, temos: Soma = 1 - 1/(n+1) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 10, 2001 5:00 PM Subject: somatorio Podem me ajudar com este somatorio? 1/k;com K variando de 1 ate n
Re: somatorio
Tem uma fórmula que aproxima MUITO bem esse somatório: seja S(n)=1+1/2+1/3+...1/n. Então S(n)= ln(n) + gama + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(240n^4) onde gama é a constante de Euler 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992 Bruno Leite
Re: somatorio
Sauda,c~oes,
Gostaria de fazer alguns comentários sobre esta soma
e somas finitas em geral. Assunto recorrente nesta lista.
No livro Manual das Funções Exp. e Log., no exercício 118
mostro que a seq. H_n - ln n é uma seq. monótona decrescente
limitada. Logo convergente. Escrevemos
gama = lim n--00 (H_n - ln n).
No livro Manual de Seq. e Séries, mostro que a fórmula da soma
de Euler-Maclaurin, aplicada para f(k)=1/k, é aproximadamente (~~)
igual a
H_n ~~ ln n + (n+1)/2n + (1-n^{-2})/12 - (1-n^{-4})/120 + (1-n^{-6})/504
Então,
gama = lim n--00 (H_n - ln n) ~~ 1/2 + 1/12 -1/120 + 1/504 = 0,5769841
Com mais rigor, mostra-se que (ver a bibliografia na obra acima)
H_n = ln n + gama + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(120n^4) - e, 0 e 1/252n^6
Falou-se também na soma
===
Somatório (1/(n)(n+1) = A/n - B/(n+1) = (An + A -Bn)/ (n)(n+1)
===
Uma técnica para achar tais somas é encontrar a(uma) antidiferença do termo
no
somatório (na verdade é o que o cálculo acima faz. Infelizmente o somando
1/k não tem uma antidiferenca). Foi com esta técnica que encontrei o valor
da
soma sec (k alpha) sec (k+1) alpha para k=1,...,n sec=secante
Concluo dizendo que muito do que falei pode ser visto no site
www.escolademestres.com/qedtexte
nas amostras em pdf dos livros mencionados acima .
[ ]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 12 de Março de 2001 11:35
Assunto: Re: somatorio
Tem uma fórmula que aproxima MUITO bem esse somatório: seja
S(n)=1+1/2+1/3+...1/n.
Então S(n)= ln(n) + gama + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(240n^4) onde gama é a
constante de Euler 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992
Bruno Leite
Re: somatorio
Eu coloquei esse somatrio no Maple e ele me deu uma resposta q eu no
consegui entender... com uns smbolos que eu no conheo.
Mesmo sem saber ainda como resolv-lo, vou fazer um comentrio :
Sabemos que lim(1+1/n)^n = e, para n-+ oo
Logo, para qualquer n, temos que (1+1/n)^n e, logo ln(1+1/n) 1/n, ou
seja, ln[(n+1)/n] 1/n.
Apliquemos esse resultado para valores de n :
ln(2/1) 1
ln(3/2) 1/2
ln(4/3) 1/3
ln[(n+1)/n] 1/n
Somando tudo : E(n) = 1+ 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ln[(n+1)/2]
Observe, ento, que lim E(n) lim{ln[(n+1)/2]}.
Como lim{ln[(n+1)/2]} = +oo, para n- +oo, lim E(n) = +00, para n- +oo, o
que confirma que a srie diverge.
Abraos,
Villard !
-Mensagem original-
De: Fbio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Domingo, 11 de Maro de 2001 01:33
Assunto: Re: somatorio
Oi amigo,
Inicialmente, seria interessante voc adquirir o livro do Prof. Elon Lages
Lima, Curso de Anlise, e dar uma lida no Captulo de Seqncias e Sries
de
nmeros reais.
Entretanto, como esclarecimento. Trago o seguinte Teorema:
"Se Somatrio de An uma srie convergente ento o limite An = 0."
Entretanto a recproca no verdadeira e o contra-exemplo clssico
exatemente somatrio de 1/n. Esta srie diverge!
Gostaria de complementar o assunto trazendo uma pequena tcnica (aprendi
vendo em muitos livros) para o calculo de somatrio.
Busque transformar o somatorio do termo geral em diferena de dois termos.
Por exemplo:
Somatrio (1/(n)(n+1) = A/n - B/(n+1) = (An + A -Bn)/ (n)(n+1)
A-B=0
A=1
Portanto, B=1.
Assim, temos Somatrio 1/(n)(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
Temos: 1- 1/2
1/2 - 1/3
1/3 - 1/4
.
1/n - 1/(n+1)
Simplificando positivos e negativos, temos:
Soma = 1 - 1/(n+1)
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 10, 2001 5:00 PM
Subject: somatorio
Podem me ajudar com este somatorio?
1/k;com K variando de 1 ate n
