Re: Sobre o Problema 3N+1
Um livro que trata do problema do 3n+1 e de vários outros problemas em aberto é Old and New Unsolved Problems in Plane Gometry and Number Theory (Victor Klee and Stan Wagon) MAA - Dolciani Mathematical Expositions - No 11 Paulo José (Fortaleza) - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, May 09, 2001 10:54 PM Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 > Boa Noite: > > Sobre o problema 3n+1 e variantes. > > Uma leitura bastante atual acerca desse problema é o livro de Günter J. > Wirshing, "The Dynamical System Generated by the 3n+1 Functio" (Lecture Notes in > Math. #1681, Springer-Verlag). > >O capítulo 1 é de leitura bastante simples e dá uma boa idéia do estado da > arte no assunto, até 1998. > > Bom divertimento. > > Manuel Garcia > > >
Re: Sobre o Problema 3N+1
Boa Noite: Sobre o problema 3n+1 e variantes. Uma leitura bastante atual acerca desse problema é o livro de Günter J. Wirshing, "The Dynamical System Generated by the 3n+1 Functio" (Lecture Notes in Math. #1681, Springer-Verlag). O capítulo 1 é de leitura bastante simples e dá uma boa idéia do estado da arte no assunto, até 1998. Bom divertimento. Manuel Garcia
Re: Sobre o Problema 3N+1
Sauda,c~oes (e ao Paulo Santa Rita em particular),
Sejam a_i o termo geral de uma PA de ordem k e S_n a soma a_1 + a_2 + ... +
a_n. Temos os seguintes resultados:
a_i = a_1 + Delta a_1 binom{i-1}{1} + Delta^2 a_1 binom{i-1}{2} + ... +
Delta^k a_1 binom{i-1}{k}
S_n = a_1 binom{n}{1} + Delta a_1 binom{n}{2} + Delta^2 a_1 binom{n}{3} +
... +
Delta^k a_1 binom{n}{k+1},
onde Delta^n a_i = sum (-1)^j binom{n}{j} a_{i+n-j} para j = 0,1,2,...n
(para a prova, ver meu livro de Indução).
Então, para i=1, temos:
Delta^1 a_1 = Delta a_1 = a_2 - a_1
Delta^2 a_1 = a_3 - 2a_1 + a_1
Delta^3 a_1 = a_4 - 3a_3 + 3a_2 - a_1
.
Seja a seqüência 1,3,19,61,141,271...
a_i 1319 61 141
271
Delta a_i216 42 80
130
Delta^2 a_i 14 2638 50
Delta^3 a_i 12 12 12
PA de ordem k=3
a_1 = 1Delta a_1 = 2 Delta^2 a_1 = 14 Delta^3 a_1 = 12
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = (3n^3 - 4n^2 - 3n + 10)n / 6
E todos os problemas deste tipo estão resolvidos.
>O resultado abaixo e belo :
>Se elevarmos todos os termos de uma PA de ordem K ao expoente R, teremos
uma
>PA de ordem K*R
Isto é um corolário do seguinte teorema:
Teorema: A seqüência {a_i} é uma PA de ordem k se e somente se seu termo
geral a_i é um polinômio de grau k em i.
Prova: ver meu livro de Prog.
Portanto, o termo geral a_i do exemplo acima será um pol. de grau 3 e S_n,
um pol. de grau 4 (sem termo independente).
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 21:08
Assunto: Re: Sobre o Problema 3N+1
Ola Alexandre e
Colegas da Lista,
Saudacoes a Todos !
E muito boa a sua observacao... Os alunos-membros desta lista, como eu, em
geral sao estudantes serios que buscam algo mais do conhecimento, de forma
que uma boa parte de nos ja descobriu uma ou outra coisa interessante.
Eu penso que as pesquisas que fazemos como estudantes e uma forma de
entreter nossas mentes, pois as Faculdades e muitos Prof´s de faculdade
tornam os assuntos desinteressantes e mediocres, os livros adotados sao umas
porcarias, de forma que nao nos resta outro caminho senao buscar desafios
pessoais que possam satisfazer nossa curiosidade e ansia de saber.
Neste sentido, esta Lista e um refugio e um prazer !
Muitos colegas aqui sao brilhantes e ja descobriram fatos dignos de se
transformarem em artigos de revistas especializadas. De cabeca eu lembro
agora do meu amigo Bruno Leite ( Sobre sequencia harmonica e teorema de
bertrand ), do Duda ( acho que sobre numeros perfeitos ), do Benjamim
Hinricks ( equacao de Jacobi), Bruno Paleo e varios outros. Tenho certeza
que todos eles podem mostrar inovacoes e resultados interessantes, pois sao
pessoas inteligentes, serias e dedicadas.
Em atencao a sua mensagem, vou citar a primeira "descoberta" que eu fiz.
Isso ocorreu a muito tempo, ha mais de 8 anos ou 9 anos. Eu estava na 8
serie e fazia uma prova para ingressar em uma escola de nivel medio, publica
e federal. Se eu tivesse ingressado nesta escola, deveria seguir uma
carreira nao-cientifica. As ideias chegaram no momento da prova e eu acabei
a prova correndo e comecei a rabiscar na prancheta o que tinha percebido :
foi neste momento que eu percebi que nao deveria seguir a carreira a que
estaria submetido se ingressasse naquela escola ! Houveram varios outros
exames e eu so consegui me livrar no ultimo, o exame medico, quando o medico
colocou um colirio nos meus olhos e eu fingi que era um mister magoo ...
Estava livre para seguir meu coracao !
A ideia que entao me ocorreu e de como tratar de forma elegante as
progressoes aritmeticas de ordem maior que 1.
Todos conhecem a formas classica de uma PA :
An = A1 + (N-1)*R
Se notarmos que R=A2 - A1, entao :
An = A1 + (N-1)*(A2 - A1)
An = BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2 - A1)
OBS : BINOM(N,P)=N!/(P!*(N-P)!). SE N= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)
Em homenagem a um professor, eu batizei esta desigualdade de "DESIGUALDADE
WAGNER".
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1800,09052001
>From: "Alexandre F. Terezan" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1
>Date: Wed, 9 May 2001 17:17:03 -0300
>
>Seria interessante que vcs compartilhassem idéias e descobertas na lista,
>para que possamos todos contribuir...
>
>- Original Message -
>From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Sent: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:45
>Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1
>
>
>Ola Rui e Colegas da Lista,
>Tudo Legal ?
>
>Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau
>o apre
Re: Sobre o Problema 3N+1
Ola Alexandre e Colegas da Lista, Saudacoes a Todos ! E muito boa a sua observacao... Os alunos-membros desta lista, como eu, em geral sao estudantes serios que buscam algo mais do conhecimento, de forma que uma boa parte de nos ja descobriu uma ou outra coisa interessante. Eu penso que as pesquisas que fazemos como estudantes e uma forma de entreter nossas mentes, pois as Faculdades e muitos Prof´s de faculdade tornam os assuntos desinteressantes e mediocres, os livros adotados sao umas porcarias, de forma que nao nos resta outro caminho senao buscar desafios pessoais que possam satisfazer nossa curiosidade e ansia de saber. Neste sentido, esta Lista e um refugio e um prazer ! Muitos colegas aqui sao brilhantes e ja descobriram fatos dignos de se transformarem em artigos de revistas especializadas. De cabeca eu lembro agora do meu amigo Bruno Leite ( Sobre sequencia harmonica e teorema de bertrand ), do Duda ( acho que sobre numeros perfeitos ), do Benjamim Hinricks ( equacao de Jacobi), Bruno Paleo e varios outros. Tenho certeza que todos eles podem mostrar inovacoes e resultados interessantes, pois sao pessoas inteligentes, serias e dedicadas. Em atencao a sua mensagem, vou citar a primeira "descoberta" que eu fiz. Isso ocorreu a muito tempo, ha mais de 8 anos ou 9 anos. Eu estava na 8 serie e fazia uma prova para ingressar em uma escola de nivel medio, publica e federal. Se eu tivesse ingressado nesta escola, deveria seguir uma carreira nao-cientifica. As ideias chegaram no momento da prova e eu acabei a prova correndo e comecei a rabiscar na prancheta o que tinha percebido : foi neste momento que eu percebi que nao deveria seguir a carreira a que estaria submetido se ingressasse naquela escola ! Houveram varios outros exames e eu so consegui me livrar no ultimo, o exame medico, quando o medico colocou um colirio nos meus olhos e eu fingi que era um mister magoo ... Estava livre para seguir meu coracao ! A ideia que entao me ocorreu e de como tratar de forma elegante as progressoes aritmeticas de ordem maior que 1. Todos conhecem a formas classica de uma PA : An = A1 + (N-1)*R Se notarmos que R=A2 - A1, entao : An = A1 + (N-1)*(A2 - A1) An = BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2 - A1) OBS : BINOM(N,P)=N!/(P!*(N-P)!). SE N= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) Em homenagem a um professor, eu batizei esta desigualdade de "DESIGUALDADE WAGNER". Um abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1800,09052001 >From: "Alexandre F. Terezan" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 >Date: Wed, 9 May 2001 17:17:03 -0300 > >Seria interessante que vcs compartilhassem idéias e descobertas na lista, >para que possamos todos contribuir... > >- Original Message - >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:45 >Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 > > >Ola Rui e Colegas da Lista, >Tudo Legal ? > >Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau >o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, >nos podemos trabalhar nele juntos. > >Consegui o seguinte : > >1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando >a >cada um uma sequencia finita de numeros naturais. >2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que >S^p(N)=1 >3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. > >Aqui eu parei. > >Minha intuicao : > >Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as >sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e >mostrar que isto e impossivel. > >Como fazer esta prova : > >Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). > > > >Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras >temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do >triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de >ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : > >1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 > >agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : > >1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 >... ). É o teorema das colunas generalizado. > >posso portanto pensar em encontrar o valor de : > >1 + 1/2^r + 1/3^r + ... > >A partir daqui surge a funcao : > >F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... > >Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : >F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... > >E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) > >Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nen
Re: Sobre o Problema 3N+1
Seria interessante que vcs compartilhassem idéias e descobertas na lista, para que possamos todos contribuir... - Original Message - From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:45 Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Ola Rui e Colegas da Lista, Tudo Legal ? Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, nos podemos trabalhar nele juntos. Consegui o seguinte : 1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a cada um uma sequencia finita de numeros naturais. 2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que S^p(N)=1 3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. Aqui eu parei. Minha intuicao : Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e mostrar que isto e impossivel. Como fazer esta prova : Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 ... ). É o teorema das colunas generalizado. posso portanto pensar em encontrar o valor de : 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... A partir daqui surge a funcao : F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua anteriormente. Se assim for, seja bem vindo. Eu sou "abandonante" ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 4,0944,09052001 >From: "Rui Viana" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 >Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 > >Oi Paulo, > >Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina >na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma >formulacao >bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum >eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. >Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel >solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma >pensada >nele. > >A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum >as >demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore >que comeca no 1 e vai descendo assim : >1 >2 >4 >8 >16 > 325 > 6410 >. > >Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... > > >Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando >material relativo ao problema, ideias, solucoes...... > >[]'s >Rui Viana > > >>From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: Sobre o Problema 3N+1 >>Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 >> >>Ola Pessoal ! >> >>Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo >>Prof >>Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura", >>dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : >> >>Seja F:N -> N uma funcao, tal que >>F(n) = 3n+1, se "n" e impar >>F(n) = n/2, se "n" e par. >> >>Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a >>composicao >>de F com ela mesma "p" vezes, entao : >> >>CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que >>F^p(n)=1. >> >>Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de >>Escol >>tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que >>qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... >> >>Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisa
Re: Sobre o Problema 3N+1 (Complemento)
Oi Rui, Estou complementando minha mendagem anterior : O seu interesse pela questao despertou novamente o meu interesse por ela. Se voce estiver realmente interessado em aborda-la comigo, posso te remeter uma exposicao detalhada dos resultados a que chequei e que mariei na mensagem anterior. Voce da uma olhada e me envia suas impressoes. Conforme ja disse, a minha ideia foi MAPEAR os numeros que, com certeza, atendem a Conjectura de Siracura, associando a cada um uma sequencia conveniente e determinando, atraves desta sequencia, o expoente "p" de S^p(N)= 1. So a titulo de exemplificacao : a N=(4^s - 1)/3 esta associada a sequecia "s". Qual o expoente "p" tal que S^p(N)=1 ? Claramente : 2s + 1. Pois vamos aplicar S na forma 3N+1 a N (Pois N e impar ). Isso ira gerar: 2^(2s). Aplicando S na forma N/2, "2s" vezes chegaremos a S^p(N)=1 com p=2s+1 Nos numeros da forma (2^q)*((4^s - 1)/3) o expoente p e: q+2s+1 e a este numero estara associado a sequencia (s,q). Como voce ve, o que fiz foi estudar a arvore que voce percebeu, acompanhando seu comportamento. Isso nos leva a associar a cada numero que atende a conjectura de siracura uma sequencia finita N=(x1,x2, ...,xn) e, com esta sequencia, podemos nao so descobrir o numero que esta associado a ela como o expoente que devemos associar a p para que S^p(N). Este numero chamei de p(N). A extensao da sequencia permite definir uma "distancia" entre o numero que ela representa e o famigerado SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Este mapeamento nos livra de trabalhar com os imensos numeros que estao associados a este problema e saber tudo que precisamos : qual o numero e qual o expoente. Se algum numero N e tal que nao existe p tal que S^p(N)=1 entao a aplicacao de S em N ira gerar uma sequencia infinita ... ! É possivel isso ? Me parece ser fundamental estudar as propriedades graficas (topologicas) da figura ( voce chama de arvore ) par provarmos algo neste sentido ... A ideia e associar a cada familia bem caracterizada de numeros uma linha. Assim : A familia (4^s - 1)/3, que e a beira do sorvedouro, é uma linha na qual para cada s associamos um ponto. As familias (2^q)*((4^s -1)/3) sao linhas orientadas que vem do infinito e terminam ( ponta da seta ) em (4^s - 1)/3. E assim sucessivamente. Se despirmos esta figura de inconsistencias e ela for um modelo real para o problema, as propriedades desta figura ( cruzamento de linhas, etc ) pode fornecer o que falta par completar a prova. O QUE EU ACHO QUE ME FALTA E FAZER UMA REPRSENTACAO GRAFICA LEGAL DESTA FIGURA, PARA ESTUDA-LA EM SEPARADO. aqui esta uma sintese da ideia em que mais investi. Mas percebi uma outra linha de ataque : 1) definir com precisao ( baseado na funcao S ) o conceito de SORVEDOURO. 2) Mostrar que nao pode haver mais de um SORVEDOURO. Mas eu acredito muito na primeira ideia e nao tirei as implicacoes imediatas ( Nao defini ) desta segunda ideia. Não investi nela. E muito provavel que voce saiba coisas que eu nao sei e, reciprocamente, eu saiba coisas que voce nao sabe. A uniao deste saberes ( ou ignorancias ?) pode nos levar a solucao. O que voce acha ? Eu penso, numa primeira aproximacao ( pois nunca fiz isso antes !), que para duas pessoas investigarem juntas deve haver alguns principios : 1)Cada um deve levar a serio o trabalho do outro 2)Um nao pode querer parecer melhor que o outro 3)Ninguem pode se melindrar por ser corrigido 4)Ninguem pode se melindrar em corrigir. 5)Cordialidade e camaradagem nao fazem mal a niguem O que voce acha ? Acrescenta alguma coisa ? e entao, vmaos trabalhar ? Um grande abraco pra voce ! Do seu colega e, quica, futuro amigo Paulo Santa Rita 4,1042,09052001 >From: "Rui Viana" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 >Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 > >Oi Paulo, > >Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina >na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma >formulacao >bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum >eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. >Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel >solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma >pensada >nele. > >A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum >as >demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore >que comeca no 1 e vai descendo assim : >1 >2 >4 >8 >16 > 325 > 6410 >. > >Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... > > >Seria muito l
Re: Sobre o Problema 3N+1
Ola Rui e Colegas da Lista, Tudo Legal ? Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, nos podemos trabalhar nele juntos. Consegui o seguinte : 1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a cada um uma sequencia finita de numeros naturais. 2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que S^p(N)=1 3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. Aqui eu parei. Minha intuicao : Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e mostrar que isto e impossivel. Como fazer esta prova : Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 ... ). É o teorema das colunas generalizado. posso portanto pensar em encontrar o valor de : 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... A partir daqui surge a funcao : F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua anteriormente. Se assim for, seja bem vindo. Eu sou "abandonante" ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 4,0944,09052001 >From: "Rui Viana" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 >Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 > >Oi Paulo, > >Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina >na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma >formulacao >bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum >eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. >Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel >solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma >pensada >nele. > >A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum >as >demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore >que comeca no 1 e vai descendo assim : >1 >2 >4 >8 >16 > 325 > 6410 >. > >Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... > > >Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando >material relativo ao problema, ideias, solucoes.. > >[]'s >Rui Viana > > >>From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: Sobre o Problema 3N+1 >>Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 >> >>Ola Pessoal ! >> >>Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo >>Prof >>Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura", >>dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : >> >>Seja F:N -> N uma funcao, tal que >>F(n) = 3n+1, se "n" e impar >>F(n) = n/2, se "n" e par. >> >>Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a >>composicao >>de F com ela mesma "p" vezes, entao : >> >>CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que >>F^p(n)=1. >> >>Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de >>Escol >>tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que >>qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... >> >>Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos >>apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar >>alguns >>aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! >> >>O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou >>SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algu
Re: Sobre o Problema 3N+1
Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Sobre o Problema 3N+1 >Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 > >Ola Pessoal ! > >Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo >Prof >Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura", >dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : > >Seja F:N -> N uma funcao, tal que >F(n) = 3n+1, se "n" e impar >F(n) = n/2, se "n" e par. > >Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a composicao >de F com ela mesma "p" vezes, entao : > >CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que >F^p(n)=1. > >Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de >Escol >tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que >qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... > >Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos >apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns >aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! > >O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou >SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum "n" impar aplicarmos F(n)=3n+1 e >o >resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 ira >nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia >2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma >que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira : > >CONJECTURA1 : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que >F^p(n)=2^r, r um natural qualquer. > >Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ? > >PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao "r" e par e "n" e da forma (4^s - 1)/3. > >Suponha um natural "n" da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar e, >portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s). Por outro lado, se "n" e impar e 3n+1=2^r >entao : n=(2^r - 1)/3. Se "r" for impar entao : r=2q+1 e ficara : n=(2.2^2q >- 1 )/3= (2^2q)/3 + (2^2q - 1)/3 um absurdo, pois "n" e natural. Assim, nao >pode ser r=2q+1. > >Aqui descobrimos algo interessante... Os numeros da forma n=(4^s - 1)/3 sao >tais que F(n)=2^r (r=2s) e, reciprocamente, se F(n)=2^r entao >n=(4^s - 1)/3 (r=2s). Isto mostra que a sequencia n=(4^s - 1)/3, "DE CERTA >FORMA" pode ser vista como "PARALELA" ao SORVEDOURO 2,4,8,16,32,... > >Pois se "n" nao for da forma "2^r" e tambem nao for da forma (4^s - 1)/3 >entao, supondo correta a CONJETURA 3N+1, "n" devera necessariamente assumir >a forma (4^s - 1)/3 antes de cair no SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Tudo sucede >como se a sequencia n=(4^s - 1)/3 fosse um "ESTADO" no qual todo numero >natural devera se transformar antes de cair no SORVEDOURO 2,4,8,16,32,... > >Bom. Ate aqui, o que conseguimos ? Podemos, sem duvida, reformular a >conjectura de Siracusa e apresenta-la na forma : > >CONJECTURA2:Para todo "n" natural que nao e potencia de 2 e nao e da forma >(4^s - 1)/3, existe um "p" natural tal que >F^p(n)=2^r, r um natural qualquer. > >OBS : Pois ja sabemos que 2^r e (4^s - 1)/3 necessariamente sao tais que >F^p(n)=1, para algum p. > >A Imagem de "SEQUENCIAS PARALELAS" pode nos conduzir a belas >simplificacoes. >Para vermos como e possivel fazermos isso, vamos tentar entender quem >desemboca em (4^s - 1)/3. > >Claramente que sendo (4^s - 1)/3 impar, serao "n" pares que apos F(n) se >transformarao em (4^s - 1)/3. Serao, portanto, todo
Sobre o Problema 3N+1
Ola Pessoal ! Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo Prof Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura", dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : Seja F:N -> N uma funcao, tal que F(n) = 3n+1, se "n" e impar F(n) = n/2, se "n" e par. Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a composicao de F com ela mesma "p" vezes, entao : CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que F^p(n)=1. Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de Escol tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum "n" impar aplicarmos F(n)=3n+1 e o resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 ira nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia 2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira : CONJECTURA1 : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que F^p(n)=2^r, r um natural qualquer. Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ? PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao "r" e par e "n" e da forma (4^s - 1)/3. Suponha um natural "n" da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar e, portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s). Por outro lado, se "n" e impar e 3n+1=2^r entao : n=(2^r - 1)/3. Se "r" for impar entao : r=2q+1 e ficara : n=(2.2^2q - 1 )/3= (2^2q)/3 + (2^2q - 1)/3 um absurdo, pois "n" e natural. Assim, nao pode ser r=2q+1. Aqui descobrimos algo interessante... Os numeros da forma n=(4^s - 1)/3 sao tais que F(n)=2^r (r=2s) e, reciprocamente, se F(n)=2^r entao n=(4^s - 1)/3 (r=2s). Isto mostra que a sequencia n=(4^s - 1)/3, "DE CERTA FORMA" pode ser vista como "PARALELA" ao SORVEDOURO 2,4,8,16,32,... Pois se "n" nao for da forma "2^r" e tambem nao for da forma (4^s - 1)/3 entao, supondo correta a CONJETURA 3N+1, "n" devera necessariamente assumir a forma (4^s - 1)/3 antes de cair no SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Tudo sucede como se a sequencia n=(4^s - 1)/3 fosse um "ESTADO" no qual todo numero natural devera se transformar antes de cair no SORVEDOURO 2,4,8,16,32,... Bom. Ate aqui, o que conseguimos ? Podemos, sem duvida, reformular a conjectura de Siracusa e apresenta-la na forma : CONJECTURA2:Para todo "n" natural que nao e potencia de 2 e nao e da forma (4^s - 1)/3, existe um "p" natural tal que F^p(n)=2^r, r um natural qualquer. OBS : Pois ja sabemos que 2^r e (4^s - 1)/3 necessariamente sao tais que F^p(n)=1, para algum p. A Imagem de "SEQUENCIAS PARALELAS" pode nos conduzir a belas simplificacoes. Para vermos como e possivel fazermos isso, vamos tentar entender quem desemboca em (4^s - 1)/3. Claramente que sendo (4^s - 1)/3 impar, serao "n" pares que apos F(n) se transformarao em (4^s - 1)/3. Serao, portanto, todos os numeros pares da forma : PAR = (2^q)*( (4^s - 1)/3 ) Assim, fixado "s", existe uma infinidade de naturais ( todos eles ) "q" que formam uma sequencia Aq=(2^q)*( (4^s - 1)/3 ) para a qual F(Aq) "cai" ou "converge" para (4^s - 1)/3. A imaginacao nos leva a pensar na sequencia Aq como uma "linha orientada" apontando para (4^s - 1)/3, na qual marcamos os Aq indo para o infinito. Claramente que para todo "s" de (4^s - 1)/3 ha uma linha desse tido. Poderiamos agora esclarecer alguns aspectos sobre estas linhas, como, por exemplo, se elas se cruzam ou nao, isto e, se existem q1#q2 e s1#s2 tais que : (2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ) = (2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ). Mas por brevidade vamos deixar isso de lado, por enquanto. O que e importante e que, fixado "s", existe uma infinidade de "q" ( todos os naturais ) tais que (2^q)*( (4^s - 1)/3 ) se transforma em (4^s - 1)/3. Podemos transformar esta ideia num par : (s,q). Assim, a todo par (s,q) associamos o numero (2^q)*( (4^s - 1)/3 ). Isto significa que alguns numeros terao uma sequencia (s,q) associada, garantindo assim que ele atende ou satisfaz a CONJECTURA DE SIRACUSA. O MAPA Eu acho que aqui consegui explicar a essencia da minha ideia para atacar o problema 3N+1. Algumas coisas acessorias sao importantes e precisam ser provadas ( O problema do cruzamento das linhas acima e simples, porem muito importante ... ). A ideia e mapear os numeros que satisfazem a conjectura, associando a cada um deles uma sequencia finita de numeros naturais. A extensao das sequencias caracteriza, de certa forma, o quanto o numero esta "distante" do SORVEDOURO. Essa distancia pode ser medida com o numero de iteracoes da forma 3N+1. A ideia e mostrar que nenhum numero natural escapa a este mapeamento. E entao : 1) Alguem p
