[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico
Se eu não me engano é da olimpiada peruana... mas acontece q em demostrações parecidas com essa eu cheguei, mas nesse número cabeludo, não... - Original Message - From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "obm-l" Sent: Saturday, December 02, 2006 1:39 AM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200 Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego na demonstração completa nunca. (Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por várias maneiras diferentes, mas não chego na solução) Ele diz o seguinte: Prove que: (LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2 Sendo: - LMN o triângulo órtico do triângulo ABC. - As alturas se encontrem no ponto H. - Seja HL, HM e HN inraios. Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos triângulos. Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices (A, B e C) L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H. HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC ==> H eh incentro de ABC. Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas. Logo, ABC eh equilatero ==> a = b = c e (LMN) = (ABC)/4 (ABC) = a^2*raiz(3)/4 ==> (LMN) = a^2*raiz(3)/16 (ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64 (a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==> 4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) = a^2*raiz(3)/16 = (LMN) Esquisito esse problema... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.430 / Virus Database: 268.15.3/561 - Release Date: 1/12/2006 06:36 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200 Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico > Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego > na demonstração completa nunca. > (Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por > várias maneiras diferentes, mas não chego na solução) > > Ele diz o seguinte: > > Prove que: > > (LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2 > > Sendo: > - LMN o triângulo órtico do triângulo ABC. > - As alturas se encontrem no ponto H. > - Seja HL, HM e HN inraios. > > Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos > triângulos. > Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices > (A, B e C) > L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H. HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC ==> H eh incentro de ABC. Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas. Logo, ABC eh equilatero ==> a = b = c e (LMN) = (ABC)/4 (ABC) = a^2*raiz(3)/4 ==> (LMN) = a^2*raiz(3)/16 (ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64 (a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==> 4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) = a^2*raiz(3)/16 = (LMN) Esquisito esse problema... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Triângulo Órtico
Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego na demonstração completa nunca. (Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por várias maneiras diferentes, mas não chego na solução) Ele diz o seguinte: Prove que: (LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2 Sendo: - LMN o triângulo órtico do triângulo ABC. - As alturas se encontrem no ponto H. - Seja HL, HM e HN inraios. Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos triângulos. Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices (A, B e C) Desde já agradeço quem puder me dar uma mão. Abraços. João Preturlan.
Re: Re:Re: Triângulo Órtico
Num triangulo acutangulo ABC, traçamos as alturas AH(a), BH(b) e CH(c). (onde H(x) e o pe da altura relativa ao vertice x) e seja O o ORTOCENTRO (encontro das alturas). O quadrilatero BH(a)OH(c) é inscritivel (Os angulos CH(c)B e AH(a)B são retos e estao em vertices opostos). Inscrevendo este quadrilatero num circulo temos os angulos H(c)BH(b) e AH(a)H(c) congruentes, pois sao inscritos ao círculo sob a mesma corda (H(c)O). Analogamente mostramos que ACH(c) e congruente a AH(a)H(b). Basta agora notar que os triangulos BOH(c) e COH(b) sao semelhantes e portanto ABH(b) eh congruente a ACH(c) e portanto o anguloH(c)H(a)A eh congruente a AH(a)H(b), ou seja AH(a) eh bissetriz de H(b)H(a)H(c). O restante da demonstracaum eh analogo a esse passo. []'s MP - Original Message - From: "Jorge Peixoto Morais" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, August 27, 2000 11:05 AM Subject: Re:Re: Triângulo Órtico > > > > >From: "Marcos Paulo" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: Re: Triângulo Órtico > >Date: Thu, 24 Aug 2000 22:29:22 -0300 > > > >Use inscrição de quadriláteros para provar que as alturas são bissetrizas > >dos ângulos do triângulo ortico! Acho que só isso já resolve o problema! > >Na verdade é importante verificar que a altura dividirá cada ângulo do > >triângulo original em duas partes. Se me lembro bem mostra-se que estas > >são congruentes duas a duas e depois mostra-se que cada uma das partes (que > >são iguais) é congruente a uma "parte" de um mesmo ânulo interno do > >triângulo ortico. acho que é isso! > >Epero ter ajudado. > >[]'s MP > > ----- Original MessUse inscriçage - > > From: Jorge Peixoto Morais > > To: [EMAIL PROTECTED] > > Sent: Thursday, August 24, 2000 9:01 PM > > Subject: Triângulo Órtico > > > > > > Como se prova que o ortocentro de um triângulo qualquer é o incentro de > >seu triângulo órtico? > > > Eu nao entendi o que voce propos!COmo assim, usar incricao de quadrilateros? > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com >
Re:Re: Triângulo Órtico
>From: "Marcos Paulo" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Triângulo Órtico >Date: Thu, 24 Aug 2000 22:29:22 -0300 > >Use inscrição de quadriláteros para provar que as alturas são bissetrizas >dos ângulos do triângulo ortico! Acho que só isso já resolve o problema! >Na verdade é importante verificar que a altura dividirá cada ângulo do >triângulo original em duas partes. Se me lembro bem mostra-se que estas >são congruentes duas a duas e depois mostra-se que cada uma das partes (que >são iguais) é congruente a uma "parte" de um mesmo ânulo interno do >triângulo ortico. acho que é isso! >Epero ter ajudado. >[]'s MP > - Original MessUse inscriçage - > From: Jorge Peixoto Morais > To: [EMAIL PROTECTED] > Sent: Thursday, August 24, 2000 9:01 PM > Subject: Triângulo Órtico > > > Como se prova que o ortocentro de um triângulo qualquer é o incentro de >seu triângulo órtico? Eu nao entendi o que voce propos!COmo assim, usar incricao de quadrilateros? Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Triângulo órtico
Antônio, Pressuponho inicialmente que qualquer triângulo possua o seu triângulo órtico, mas se este obrigatoriamente tenha que ser interno a aquele, acho que somente o acutângulo poderá ter seu triângulo órtico, pois no caso do triângulo reto dois lados do triângulo formado pela união dos pés das alturas irão coincidir com os lados do triângulo reto. E no obtusângulo, uma parte do triângulo formado pela união dos pés das alturas será externa ao triângulo principal. Qual das duas opções está correta? Desde já muito obrigado. []' Pedro -Mensagem original- De: Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Sexta-feira, 25 de Agosto de 2000 16:27 Assunto: Re: Triângulo órtico > Jovem Pedro, > > chama-se triangulo ortico ao triangulo obtido ao se ligar os pés das >alturas de um triangulo qualquer. Pense bam: qualquer triangulo possui um >triangulo ortico? Abraços, olavo. > > >>From: "Pedro" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: <[EMAIL PROTECTED]> >>Subject: Triângulo órtico Date: Thu, 24 Aug 2000 22:03:54 +0100 >> >> Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me esclarecer o que >>é um triângulo órtico, muito obrigado. >>[]' Pedro >>(3o série do ensino médio) > > >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > >
Re: Triângulo órtico
Não sou o jovem Pedro, mas acho que sim. Nem sempre é interno, mas não consigo imaginar um triângulo com os três pés colineares... Como se prova isso? Eduardo Grasser Campinas, SP, Brasil Original Message Follows From: "Antonio Neto" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Triângulo órtico Date: Fri, 25 Aug 2000 13:50:13 GMT Jovem Pedro, chama-se triangulo ortico ao triangulo obtido ao se ligar os pés das alturas de um triangulo qualquer. Pense bam: qualquer triangulo possui um triangulo ortico? Abraços, olavo. >From: "Pedro" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Triângulo órtico Date: Thu, 24 Aug 2000 22:03:54 +0100 > > Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me esclarecer o que >é um triângulo órtico, muito obrigado. >[]' Pedro >(3o série do ensino médio) Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Triângulo órtico
Jovem Pedro, chama-se triangulo ortico ao triangulo obtido ao se ligar os pés das alturas de um triangulo qualquer. Pense bam: qualquer triangulo possui um triangulo ortico? Abraços, olavo. >From: "Pedro" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Triângulo órtico Date: Thu, 24 Aug 2000 22:03:54 +0100 > > Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me esclarecer o que >é um triângulo órtico, muito obrigado. >[]' Pedro >(3o série do ensino médio) Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Triângulo órtico
Triângulo órtico é o triângulo formado pelos pés das alturas de um triângulo acutângulo. []'sMP - Original Message - From: Pedro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, August 24, 2000 6:03 PM Subject: Triângulo órtico Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me esclarecer o que é um triângulo órtico, muito obrigado. []' Pedro (3o série do ensino médio)
Re: Triângulo Órtico
Use inscrição de quadriláteros para provar que as alturas são bissetrizas dos ângulos do triângulo ortico! Acho que só isso já resolve o problema! Na verdade é importante verificar que a altura dividirá cada ângulo do triângulo original em duas partes. Se me lembro bem mostra-se que estas são congruentes duas a duas e depois mostra-se que cada uma das partes (que são iguais) é congruente a uma "parte" de um mesmo ânulo interno do triângulo ortico. acho que é isso! Epero ter ajudado. []'s MP - Original MessUse inscriçage - From: Jorge Peixoto Morais To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, August 24, 2000 9:01 PM Subject: Triângulo Órtico Como se prova que o ortocentro de um triângulo qualquer é o incentro de seu triângulo órtico?
Triângulo órtico
Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me esclarecer o que é um triângulo órtico, muito obrigado. []' Pedro (3o série do ensino médio)
Triângulo Órtico
Como se prova que o ortocentro de um triângulo qualquer é o incentro de seu triângulo órtico?
