Re: [obm-l] dizima
Um metodo tiro-e-queda e: multiplique em cima e embaixo ate dar um numero da forma 999...99 embaixo. O tanto de noves e o que voce procura! --- Brunno Fernandes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar? Dizer quantos algarismos podera ter o período da dizima cuja fração geratriz é 25/147 eu vi uma regra em que o numero maximo de algarismos da dizima, quando o denominador for um numero primo diferente de 2 ou 5, é só pegar o numero e subtarir uma unidade, mas 147 não é primo e decompondo em fatores primos nao é possivel aplicar essa regra Um abraco Brunno ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dizima
Brunno Fernandes wrote: Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar? Dizer quantos algarismos podera ter o período da dizima cuja fração geratriz é 25/147 eu vi uma regra em que o numero maximo de algarismos da dizima, quando o denominador for um numero primo diferente de 2 ou 5, é só pegar o numero e subtarir uma unidade, mas 147 não é primo e decompondo em fatores primos nao é possivel aplicar essa regra Um abraco Brunno OPs falha minha .. o período vai ser 25A somente se eu usar o menor valor de n (da resposta anterior) desculpem a falha ;-) []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dizima
Brunno Fernandes wrote: Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar? Dizer quantos algarismos podera ter o período da dizima cuja fração geratriz é 25/147 eu vi uma regra em que o numero maximo de algarismos da dizima, quando o denominador for um numero primo diferente de 2 ou 5, é só pegar o numero e subtarir uma unidade, mas 147 não é primo e decompondo em fatores primos nao é possivel aplicar essa regra Um abraco Brunno O Professor José Paulo Q. Carneiro escreveu um artigo muito interessante na RPM 52 sobre dízimas periódicas. NEsse artigo há um método que não usa o algoritmo tradicional da divisão e consiste em tentar encontrar uma potencia de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147. Seja n tal que 10^n = A*147 + 1, ou seja, 147 = (10^n - 1)/A 1/147 = A*1/(10^n - 1) = A* [(1/10^n) /(1-1/10^n)] = A/10^n *[1 + 1/10^n + 1/10^2n + ...] 25/147 = 25A/10^n *[1 + 1/10^n + ...] O número 25A será seu período. No artigo ainda há uma explicação de como ter certeza de que haverá uma potência de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147 (que é primo com 10). A certeza vem de um dos teoremas de Euler que garante que 10^[phi(147)] deixa resto 1 na divisão por 147, onde phi(147 é o número de inteiros positivos menores que 147 e primos com 147. Phi(147) = 147(1-1/3)(1-1/7) = 84. Isso me permite reduzir a procura das potencias de 10, bastando testar apenas os expoentes que são divisores de 84. Não digo que é o melhor método ou que é o mais apropriado mas é uma alternativa interessante e o artigo é muito legal.. vale a pena ler. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
problema de dizima
Oi pessoal! Alguém poderia me ajudar com o problema abaixo: - Sabendo que letras diferentes significam algarismos diferentes. Qual o valor de ABA/CDC = 0,DEFGDEFGDEFG... obrigado abraços Marcelo _ Get more from the Web. FREE MSN Explorer download : http://explorer.msn.com
Re: problema de dizima
Olá. Estranho, eu não achei resposta para esse problema, devo ter errado algo. Confiram abaixo se eu errei. Marcelo Souza wrote: Oi pessoal! Alguém poderia me ajudar com o problema abaixo: - Sabendo que letras diferentes significam algarismos diferentes. Qual o valor de ABA/CDC = 0,DEFGDEFGDEFG... obrigado abraços Marcelo Experimente fazer assim: ABA/CDC = DEFG/ (ABA)=(CDC)(DEFG) Como 101 divide , (e 101 é primo), temos que 101 | CDC ou 101 | DEFG. No primeiro caso, D=0 (absurdo pois ABA/CDC 100/1000 = 0,1). Assim, 101 | DEFG, isto é, DEFG = 101k; como 1000=DEFG=, tem-se 10=k=99. Escreva k=MN com dois algarismos e note que DEFG = MNMN, isto é, DE=FG=MN. Estritamente falando, então, o problema não tem resposta pois D e F deveriam ser diferentes... --//-- Eu acho que o problema era ABA/CDC = 0,DEDEDEDE... Aí fica assim: 99(ABA)=(CDC)(DE) Como D!=E, 11 não divide DE, isto é, 11|CDC e portanto 11|2C-D. C= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D=2C%11 = 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 CDC= 000 121 242 363 484 5?5 616 737 858 979 CDC/11=0 11 22 33 44 ?? 56 67 78 89 (2C%11 é o resto de 2C na divisão por 11) Se 9|DE, então D+E=9 e inserimos: E=9-D= 9 7 5 3 1 ? 8 6 4 2 DE/9= 1 3 5 7 9 ? 2 4 6 8 ABA= 0 33 110 231 396 ? 112 268 468 712 (usando ABA = CDC/11 . DE/9) Nenhum deles presta pois os dígitos das pontas não batem. Caso contrário, 3|(CDC/11). Sobram apenas duas opções: a) CDC/11 = 33: (ABA)= 11.(6E)/3 E =0 3 9 ABA = 220 231 253 Nada presta. b) CDC/11 = 78; (ABA)= 26.(5E)/3 E =1 4 7 ABA = 442 468 494 Solução: 494/858 = 0,575757... --//-- O problema original permitindo dígitos iguais para letras diferentes teria também o caso D=E. Então, 9(ABA)=D(CDC), ou seja: 101 (9A-CD) = 10 (D^2 - 9B) Assim, 101 | D^2-9B e portanto D^2=9B (já que B e D são algarismos) e 9A=CD. A tabelinha é: D =3 6 9 B = D^2/9 1 4 9 A/C = D/9 3/9 (1/3, 2/6) 6/9 (2/3, 4/6) 9/9 (A/A) Soluções: 111/333 = 212/636 = 313/939 = 0, 242/363 = 444/666 = 646/969 = 0, A9A/A9A = 0,
Re: dizima
Muito obrigado, pela ajuda! -Mensagem original-De: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quarta-feira, 2 de Agosto de 2000 01:04Assunto: Re: dizima Caro Carlos, Sabe-se que quandoo periodo da representacao decimal de 1/n possui n-1 casas decimais (como o caso de n = 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, etc), toda fracao r/n (com r variando de 2 a n-1) possuir um perodo composto pelos mesmos algarismos do periodo de 1/n, na mesma ordem circular, mas variando a posio dos algarismos (A demonstracao se encontra na Eureka 1) Trocando em midos, se 1/n = 0,abcdefabcdefabcdef... h um r para o qual r/n = 0,bcdefabcdefabcdefa... , onde o negrito representa o periodo de representacao decimal das fracoes. Assim, sendo 1/97 = 0,abcdefvxyzabcdefvxyzabcdefvxyz... , deve haver um k (1 k 97) tal que: k/97 = 0,xyzabcdefvxyzabcdefvxyzabcdefv... Ou seja, 1000k/97 = 100x + 10y + z + 0,abcdef...vxyzabcdef...vxyzabcdef...vxyz... Ou: 1000k/97 = 100x + 10y + z +1/97 E entao: (1000k - 1)/97 = 100x + 10y + z. Seja 100x + 10y + z = H. Assim, 1000k - 1 = 97H -- 97H = 1000(k-1) + 999, logo os 3ltimos algarismos de 97H sao 9s. Considere H, i, j, m como inteiros nao-negativos. Para que um 97H termine em 9, H deve ser um nmero da forma 10i + 7. Assim, 97H = 970i + 679 = 900i + 600 + 70i + 70 + 9 =100(9i + 6) + 10(7i + 7) + 9 Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6. Isto ocorre se e somente se i for um nmero da forma 10j + 6. 97H = 970i + 679 = 9700j + 5820 + 679 = 1000(9j + 6) + 100(7j + 4) + 99 Para que 97H termine em 999, portanto, (7j + 4) deve terminar em 9, ou seja, 7j termina em 5. Isto ocorre se e somente sej for um nmero da forma 10m + 5. Assim, H = 10i + 7 = 10(10j + 6) + 7 = 100j + 67= 100(10m + 5) + 67 = 1000m + 567. Para todo m inteiro nao-negativo, portanto, 97H terminar em 999, o que nos d um k inteiro. Para m 0, no entanto, H 1566 e, portanto, 97H 151902. Assim, 1000k 151903 -- k 151 , o que nao possivel, pois0 k 98 Logo, m = 0 -- H = 567 -- 1000k= 55000 -- k = 55 Como H =100x + 10y + z , com x,y,z inteiros nao-negativos menores que 10: 100x + 10y + z = 567 -- x = 5 y = 6 z = 7 Portanto, o ltimo algarismo do perodo de 1/97 7 o penltimo algarismo do perodo de 1/97 6 o antepenltimo algarismo do perodo de 1/97 5 Abraos,Terezan Espero ter ajudado. - Original Message - From: Carlos Roberto de Moraes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tera-feira, 1 de Agosto de 2000 18:29 Subject: dizima Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dzima peridica com 96 algarismos no perodo. Como determinar os trs ltimos algarismos desse perodo?
Re: dizima
Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6. Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j + 6. O textoacima deve ser lido como: Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 2. Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j + 6. DESCULPEM O ERRO DE DIGITAÇÃO...
dizima
Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dzima peridica com 96 algarismos no perodo. Como determinar os trs ltimos algarismos desse perodo?
Re: dizima
Caro Carlos, Sabe-se que quandoo periodo da representacao decimal de 1/n possui n-1 casas decimais (como é o caso de n = 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, etc), toda fracao r/n (com r variando de 2 a n-1) possuirá um período composto pelos mesmos algarismos do periodo de 1/n, na mesma ordem circular, mas variando a posição dos algarismos (A demonstracao se encontra na Eureka 1) Trocando em miúdos, se 1/n = 0,abcdefabcdefabcdef... há um r para o qual r/n = 0,bcdefabcdefabcdefa... , onde o negrito representa o periodo de representacao decimal das fracoes. Assim, sendo 1/97 = 0,abcdefvxyzabcdefvxyzabcdefvxyz... , deve haver um k (1 k 97) tal que: k/97 = 0,xyzabcdefvxyzabcdefvxyzabcdefv... Ou seja, 1000k/97 = 100x + 10y + z + 0,abcdef...vxyzabcdef...vxyzabcdef...vxyz... Ou: 1000k/97 = 100x + 10y + z +1/97 E entao: (1000k - 1)/97 = 100x + 10y + z. Seja 100x + 10y + z = H. Assim, 1000k - 1 = 97H -- 97H = 1000(k-1) + 999, logo os 3últimos algarismos de 97H sao 9s. Considere H, i, j, m como inteiros nao-negativos. Para que um 97H termine em 9, H deve ser um número da forma 10i + 7. Assim, 97H = 970i + 679 = 900i + 600 + 70i + 70 + 9 =100(9i + 6) + 10(7i + 7) + 9 Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6. Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j + 6. 97H = 970i + 679 = 9700j + 5820 + 679 = 1000(9j + 6) + 100(7j + 4) + 99 Para que 97H termine em 999, portanto, (7j + 4) deve terminar em 9, ou seja, 7j termina em 5. Isto ocorre se e somente sej for um número da forma 10m + 5. Assim, H = 10i + 7 = 10(10j + 6) + 7 = 100j + 67= 100(10m + 5) + 67 = 1000m + 567. Para todo m inteiro nao-negativo, portanto, 97H terminará em 999, o que nos dá um k inteiro. Para m 0, no entanto, H 1566 e, portanto, 97H 151902. Assim, 1000k 151903 -- k 151 , o que nao é possivel, pois0 k 98 Logo, m = 0 -- H = 567 -- 1000k= 55000 -- k = 55 Como H =100x + 10y + z , com x,y,z inteiros nao-negativos menores que 10: 100x + 10y + z = 567 -- x = 5 y = 6 z = 7 Portanto, o último algarismo do período de 1/97 é 7 o penúltimo algarismo do período de 1/97 é6 o antepenúltimo algarismo do período de 1/97 é5 Abraços,Terezan Espero ter ajudado. - Original Message - From: Carlos Roberto de Moraes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 1 de Agosto de 2000 18:29 Subject: dizima Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dízima periódica com 96 algarismos no período. Como determinar os três últimos algarismos desse período?
Re: dizima
Só para deixar bem claro, k 1, pois k = 1 seria a própria fração 1/97 e para k = 0, k/97 = 0. k 97, pois para k = 97, k/97 = 1 e para k 97, k/97 1, nao sendo da forma 0,abcdef... - Original Message - From: Carlos Roberto de Moraes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 1 de Agosto de 2000 18:29 Subject: dizima Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dízima periódica com 96 algarismos no período. Como determinar os três últimos algarismos desse período?
