Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Tem razao, Carlos. Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei nesse site: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n - y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio. Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio. Obrigado pela ajuda e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce conhecer ele , claro) ?? On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Como Todos os livros da coleção do professor de Matemática da SBM ele tb é muito legal...se vc não tem vale a pena adquiri-lo. Ele trata num tamanho adequado uma boa introdução à Trigonometria básica. Um outro que eu gosto muito é o Temas e Problemas ( o capítulo de trigonometria aplicada é ótimo!!! e não podia ser difente...obra do Wagner um dos mais didáticos prof. que já conheci!...vale a pena conferir. Se quiser algo mais forte, ou mais olímpico dá uma olhada no livro 103 trigonometry problems o Titu Andreenscu...é um primor! valew Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 16, 2007 1:22 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Tem razao, Carlos. Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei nesse site: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n - y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio. Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio. Obrigado pela ajuda e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce conhecer ele , claro) ?? On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2
[obm-l] Complexos e Fatoracao
Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Oi, Rafael (e outro Carlos...) Mas se você lembrar que a^3 - b^3 = ( a - b ). (a^2 + ab + b^2) que eu acredito que você saiba, verá que não é tão mágico assim. É apenas necessário você desenvolver um pouco mais de malícia no uso dos produtos notáveis (inclusive para ler com mais facilidade o ótimo texto do outro Carlos - o Gomes...:-)) Abraços, Nehab At 23:14 15/2/2007, you wrote: Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Fatoracao
Bem, no original tava a+b+c=1 e a^2+b^2+c^2 =0. Mas confesso que acho que foi um equívoco de digitação, pois invertendo o enunciado e fazendo uma manipulação algébrica adequada, chegamos na resposta 1/2, que constava no gabarito. Comecei realmente a desconfiar do enunciado, por envolver complexos.Obrigado. From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: OBM-l (E-mail) obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoracao Date: Thu, 23 Feb 2006 16:26:13 -0300 Naquele problema da fatoracao que gerou tantas mensagens, afinal qual era o enunciado correto? O problema foi originalmente enunciado pedindo para determinar a^4 + b^4 + c^4 sabendo-se que a + b + c = 1 e a^2 + b^2 + c^2 =0. Se a, b e c forem reais, nao ha solucao. Se a, b e c forem complexos, entao o problema tem uma infinidades de solucoes, mas a^4 + b^4 + c^4 nao eh constante, depende da solucao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Copa 2006: Juiz @#$%*!? e mais frases para seu MSN Messenger http://copa.br.msn.com/extra/frases/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fatoracao
Naquele problema da fatoracao que gerou tantas mensagens, afinal qual era o enunciado correto? O problema foi originalmente enunciado pedindo para determinar a^4 + b^4 + c^4 sabendo-se que a + b + c = 1 e a^2 + b^2 + c^2 =0. Se a, b e c forem reais, nao ha solucao. Se a, b e c forem complexos, entao o problema tem uma infinidades de solucoes, mas a^4 + b^4 + c^4 nao eh constante, depende da solucao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatoracao
Vi esse problema esses dias, e eh a+b+c=0 e a2+b2+c2 = 1 Ai a resposta dah 1/2 eu acho. On 2/23/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Naquele problema da fatoracao que gerou tantas mensagens, afinal qual era oenunciado correto?O problema foi originalmente enunciado pedindo para determinar a^4 + b^4 + c^4 sabendo-se que a + b + c = 1 e a^2 + b^2 + c^2 =0. Se a, b e c foremreais, nao ha solucao. Se a, b e c forem complexos, entao o problema tem umainfinidades de solucoes, masa^4 + b^4 + c^4 nao eh constante, depende da solucao.Artur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] problema - fatoracao
Olá,
Eu recebi o seguinte problema ontem:
a) fatore a expressão x^2-9xy+8y^2
b) determine todos os pares de inteiros (x,y) tais que 9xy-x^2-8y^2=2005
a resposta do item a) é (x-y)(x-8y)
no item b) (y-x)(x-8y)=2005=5*401
é possível dizer que {(y-x)=5 e (x-8y)=401} ou {(y-x)=401 e (x-8y)=5} ?
obrigado,
Aldo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] problema - fatoracao
perfeitamente. voce so esqueceu das sequintes possibilidades:
{(y-x)= -5 e (x-8y)= -401} ou {(y-x)= -401 e (x-8y)= -5}
essa questao caiu no nivel 3 da 2 fase da OBM.
On 9/5/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,Eu recebi o seguinte problema ontem:a) fatore a expressão x^2-9xy+8y^2b) determine todos os pares de inteiros (x,y) tais que 9xy-x^2-8y^2=2005
a resposta do item a) é (x-y)(x-8y)no item b) (y-x)(x-8y)=2005=5*401é possível dizer que {(y-x)=5 e (x-8y)=401} ou {(y-x)=401 e (x-8y)=5} ?obrigado,Aldo=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] problema - fatoracao
Bom, eu n~ao fiz as contas, mas acho que pode haver soluçoes com +-1 e
+-2005 também, que s~ao fatoraç~oes aceitáveis de 2005!
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 9/5/05, Renato Lira [EMAIL PROTECTED] wrote:
perfeitamente. voce so esqueceu das sequintes possibilidades:
{(y-x)= -5 e (x-8y)= -401} ou {(y-x)= -401 e (x-8y)= -5}
essa questao caiu no nivel 3 da 2 fase da OBM.
On 9/5/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,
Eu recebi o seguinte problema ontem:
a) fatore a expressão x^2-9xy+8y^2
b) determine todos os pares de inteiros (x,y) tais que 9xy-x^2-8y^2=2005
a resposta do item a) é (x-y)(x-8y)
no item b) (y-x)(x-8y)=2005=5*401
é possível dizer que {(y-x)=5 e (x-8y)=401} ou {(y-x)=401 e (x-8y)=5} ?
obrigado,
Aldo
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[obm-l] Fatoracao Unica em D[x]
Estou empacado neste aqui: Seja D um dominio de integridade que nao tem fatoracao unica. Prove ou de um contra-exemplo: Todo polinomio monico de D[x] pode ser expresso, de forma unica, como o produto de polinomios irredutiveis em D[x]. Eu sei que se F eh o corpo de fracoes de D, entao qualquer f(x) de D[x] tem fatoracao unica em F[x]. O problema eh que o lema de Gauss usa os tais polinomios primitivos, onde o mdc dos coeficientes eh 1, soh que se D nao eh fatorial, nao existe mdc... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada
Não entendi a sua colocação, Niski. Veja em seu e-mail original, logo abaixo, que foi você mesmo que restringiu o domínio em R. Davidson Estanislau -Mensagem original- De: niski [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 28 de Março de 2002 20:07 Assunto: Re: [obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 - 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)) Como a fatoração é em R, devemos ter: (y^6 - 4y^3)=0. Davidson. Voce restringiu o dominio do problema. Não pode sobrar x e y no denominador ou dentro de uma raiz que periga cair em um numero complexo. Se fosse assim eu já teria fatorado assim: x^6 + x^3y^3 + y^6 (x^3 + y^3)^2 - x^2y^3 [x^3 + y^3 + xy((xy)^1/2][x^3 + y^3 - xy((xy)^1/2] Abracos -Mensagem original- De: niski [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 26 de Março de 2002 19:57 Assunto: [obm-l] Outra Fatoracao...mais complicada Gente por favor me ajudem com essa fatoracao em R. x^6 + (x^3)(y^3) + y^3 Muito obrigado. niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada
Davidson Estanislau wrote: Não entendi a sua colocação, Niski. Veja em seu e-mail original, logo abaixo, que foi você mesmo que restringiu o domínio em R. Só que voce restringiu mais ainda impondo (y^6 - 4y^3) 0 entende? -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada
Ainda não entendi! Você pode ser mais claro? x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 - 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)); (y^6 - 4y^3)=0 Eu não transformei o polinômio original em um produto de dois outros polinômios? Onde está o erro? O fato de (y^6 - 4y^3) 0, é somente uma condição para que não apareça uma raiz negativa. Não houve necessidade que indicar uma condição de existência para a variável x. Mas se você tivesse fatorado, da seguinte maneira: x^6 + x^3y^3 + y^6 (x^3 + y^3)^2 - x^2y^3 [x^3 + y^3 + xy((xy)^1/2][x^3 + y^3 - xy((xy)^1/2] A condição, seria: x0 e y0. Olhando pela primeira fatoração poderíamos ter dito que você restringiu x, não é? Davidson Estanislau -Mensagem original- De: niski [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 1 de Abril de 2002 14:57 Assunto: Re: [obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada Davidson Estanislau wrote: Não entendi a sua colocação, Niski. Veja em seu e-mail original, logo abaixo, que foi você mesmo que restringiu o domínio em R. Só que voce restringiu mais ainda impondo (y^6 - 4y^3) 0 entende? Mensagem original- De: niski [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 26 de Março de 2002 19:57 Assunto: [obm-l] Outra Fatoracao...mais complicada Gente por favor me ajudem com essa fatoracao em R. x^6 + (x^3)(y^3) + y^3 Muito obrigado. niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada
Davidson Estanislau wrote: Ainda não entendi! Você pode ser mais claro? x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 - 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)); (y^6 - 4y^3)=0 Eu não transformei o polinômio original em um produto de dois outros polinômios? Onde está o erro? Pq vc restringiu o dominio. Veja, é para fatorar nos reais certo? O seu resultado estaria certo se o enunciado fosse fatorar em Reais, execto para y 0 y 2^(2/3) O fato de (y^6 - 4y^3) 0, é somente uma condição para que não apareça uma raiz negativa. Não houve necessidade que indicar uma condição de existência para a variável x. Mas se você tivesse fatorado, da seguinte maneira: x^6 + x^3y^3 + y^6 (x^3 + y^3)^2 - x^2y^3 [x^3 + y^3 + xy((xy)^1/2][x^3 + y^3 - xy((xy)^1/2] A condição, seria: x0 e y0. Olhando pela primeira fatoração poderíamos ter dito que você restringiu x, não é? Sim, creio que essa fatoracao esteja igualmente errada a sua ultima, pois do mesmo modo que fazer x 0 e y 0 seria um erro pois estaria restringindo o dominio, fazer 0 y 2^(2/3) é a mesma coisa creio eu. -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada
-Mensagem original-De: niski [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 26 de Maro de 2002 19:57Assunto: [obm-l] Outra Fatoracao...mais complicadaGente por favor me ajudem com essa fatoracao em R.x^6 + (x^3)(y^3) + y^3Muito obrigado.niski-- [about him:]It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have asense of humour.Gottfried Whilhem Leibniz
[obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada
Estou reenviando o e-mail da fatorao, devido problemas tcnicos. Niski, veja como ficou a fatorao: x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)*(4x^6 + 4(x^3)(y^3) + 4y^3) = = (1/4)(4x^6 + 2(x^3)(y^3) - 2(x^3)(y^6 - 4y^3)^(1/2)+ + 2(x^3)(y^3) + y^6 - (y^3)(y^6 - 4y^3)^(1/2) + + 2(x^3)(y^6 - 4y^3)^(1/2) + (y^3)(y^6 - 4y^3)^(1/2) - (y^6 - 4y^3)) = = (1/4)(2(x^3)(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)) + + (y^3)(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)) + + (y^6 - 4y^3)^(1/2)(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2))) = = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 - 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)) Logo: x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 - 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)) Como a fatorao em R, devemos ter: (y^6 - 4y^3)=0. Felicidades! Davidson Estanislau -Mensagem original-De: Davidson Estanislau [EMAIL PROTECTED]Para: obm [EMAIL PROTECTED]Data: Quinta-feira, 28 de Maro de 2002 15:22Assunto: [obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada -Mensagem original-De: niski [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 26 de Maro de 2002 19:57Assunto: [obm-l] Outra Fatoracao...mais complicadaGente por favor me ajudem com essa fatoracao em R.x^6 + (x^3)(y^3) + y^3Muito obrigado.niski-- [about him:]It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have asense of humour.Gottfried Whilhem Leibniz
Re: [obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada
x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 - 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 - (y^6 - 4y^3)^(1/2)) Como a fatoração é em R, devemos ter: (y^6 - 4y^3)=0. Davidson. Voce restringiu o dominio do problema. Não pode sobrar x e y no denominador ou dentro de uma raiz que periga cair em um numero complexo. Se fosse assim eu já teria fatorado assim: x^6 + x^3y^3 + y^6 (x^3 + y^3)^2 - x^2y^3 [x^3 + y^3 + xy((xy)^1/2][x^3 + y^3 - xy((xy)^1/2] Abracos -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Outra Fatoracao...mais complicada
Gente por favor me ajudem com essa fatoracao em R. x^6 + (x^3)(y^3) + y^3 Muito obrigado. niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
fatoracao e funções geradoras
Sauda,c~oes,
Escrevi para o prof. Rousseau a respeito deste email.
Vejam sua resposta:
===
Dear Luis:
These sorts of problems are naturally dealt with using
generating functions. The series
\sum_{k_1,k_3 \geq 0} x^{2k_1 + k_3}
sums to \frac{1}{(1-x^2)(1-x)} = (1+x^2 + x^4 + x^6 + \cdots)/(1-x)
= 1 + x + 2x^2 + 2x^3 + 3x^3 + 3x^4 + \codts . Thus the
number of solutions of n = 2k_1 + k_3 is the coefficient of x^n
in this series, which can be written as 1 + \floor n/2 \floor.
For solutions of n = 3k_1 + 2k_2 + k_3 the generating
function approach is similar. One gets
1/(1-x)(1-x^2)(1-x^3)) = 1/((1-x)^3(1+x)(1+x+x^2)).
Now the recovery of the coefficient
of x^n gets more complicated. By partial fractions one can
get an exact (though slightly complicated) formula. Specifically,
(n+3)^2/12 - 7/72 + (-1)^n/8 + 2 cos(2 \pi n/3)/9.
The details are given in various places. Right now, I am looking
at chapter 15 of A Course in Combinatorics by van Lint and
Wilson. I hope this helps. Sorry, I haven't had a good look
at the Smarandache problem that you sent. I have been
very busy trying to catch up on various responsibilities.
Cecil
===
Confesso que a primeira vez que pensei sobre tais problemas
e naturalmente no conhecia as tcnicas para resolv-los.
Tendo em vista o recurso s funes geradoras em diversas
aplicaes, sugiro que um artigo tratando delas e suas
aplicaes - em particular na resoluo dessas equaes e no clculo
de somas (para os que sabem, o mtodo do "snake oil method" no livro
do Wilf) - seja apresentado em algum nmero da Eureka.
[ ]'s
Lus
-Mensagem Original-
De: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 12 de Maro de 2001 19:37
Assunto: Re: fatoracao
Sauda,c~oes,
Para resolver o problema da decomposio de N em trs
fatores, a soluo que o Nicolau apresentou numa hora
tratou de resolver a seguinte equao:
===
O nmero de solues naturais da equao a = 2 a1 + a3 claramente
floor(1 + (a/2)) (aqui floor(x) o maior inteiro menor ou igual a x).
Assim ...
===
Como resolver tais equaes? E se fosse
a = 3 a1 + 2a2 + a3 ???
E considere tambm a equao
===
a = a1 + a2 + a3, where a1 = a2 = a3.
By generating functions or otherwise, one can show that
the number of such solutions is {(k+3)^2/12}. where {x} denotes
the integer nearest x. (pedao do mail do Rousseau).
===
Qual a tcnica para resolver tais equaes?
[ ]s,
Lus
Re: fatoracao
Sauda,c~oes, Seja N=36. Calculando f(36), obtemos: 36=1.1.36 = 1.2.18 = 1.3.12 = 1.4.9 = 1.6.6 = 2.2.9 = 2.3.6 = 3.3.4 e f(36)=8. Usando o resultado do Nicolau, vem: 36=2^2 . 3^2 M0=binom(a+2,2) binom(b+2,2)= binom(2+2,2) binom(2+2,2)=36. M1 = floor(1 + (a/2)) floor(1 + (b/2)) =floor(1 + (2/2)) floor(1 + (2/2))=4. M2=0 Temos assim M0 - 3 M1 + 2 M2 solues com os trs Ni diferentes e portanto (M0 - 3 M1 + 2 M2)/6 solues correspondentes na interpretao original. As solues com os trs Ni diferentes so: 1.2.18, 1.3.12, 1.4.9 e 2.3.6. e (M0 - 3 M1 + 2 M2)/6 = 4. Confere. Temos ainda M1 - M2 solues com N1 = N2 != N3 que correspondem a (M1 - M2)/2 solues na interpretao original. Acho que aqui ele est calculando todas as solues com dois Ni iguais e um diferente. So as seguintes: 1.1.36, 2.2.9, 3.3.4 e 6.6.1. Esse nmero ento seria dado por M1-M2 no original e 3(M1-M2) levando em conta a ordem. E finalmente temos M2 solues com N1 = N2 = N3 em qualquer interpretao. Confere. Ou seja, a resposta desejada : ((M0 - 3 M1 + 2 M2)/6) + ((M1 - M2)/2) + M2 Calculando f(36), vem: 4 + ((4-0)/2) + 0 = 6. No confere. Acho que a resposta seria ((M0 - 3 M1 + 2 M2)/6) + (M1 - M2) + M2 para o original e (M0 - 3 M1 + 2 M2) + 3(M1 - M2) + M2 levando em conta a ordem. Calculando para f(8), vem: M0 = binom(5,2) = 10 M1 = 2 M2 = 1 ((M0 - 3 M1 + 2 M2)/6) + (M1 - M2) + M2 = 1 + 1 + 1 = 3. Elas so 1.1.8, 1.2.4 e 2.2.2. Confere. (M0 - 3 M1 + 2 M2) + 3(M1 - M2) + M2 = 6 + 3 + 1 = 10. Elas so 8 = 1 * 1 * 8 = 1 * 2 * 4 = 1 * 4 * 2 = 1 * 8 * 1 = 2 * 1 * 4 = 2 * 2 * 2 = 2 * 4 * 1 = 4 * 1 * 2 = 4 * 2 * 1 = 8 * 1 * 1 Confere. [ ]'s Lus -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: OBM [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Tera-feira, 6 de Maro de 2001 17:18 Assunto: Re: fatoracao On Sun, 4 Mar 2001, josimat wrote: De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar O problema fica bem mais fcil se *no* identificarmos 1 x 1 x 8 com 1 x 8 x 1 e 8 x 1 x 1. Neste caso basta distribuir os fatores primos entre os trs fatores no nmero. Assim, se N = 2^a 3^b 5^c 7^d ... devemos escrever a = a1 + a2 + a3 b = b1 + b2 + b3 c = c1 + c2 + c3 d = d1 + d2 + d3 ... N1 = 2^a1 3^b1 5^c1 7^d1 ... N2 = 2^a2 3^b2 5^c2 7^d2 ... N3 = 2^a3 3^b3 5^c3 7^d3 ... N = N1 N2 N3 onde todos estes nmeros so naturais (= inteiros no negativos). Vocs devem saber que o nmero de formas de decompor a como soma de trs parcelas naturais binom(a+2,2). Assim o nmero de solues M0 = binom(a+2,2) binom(b+2,2) binom(c+2,2) binom(d+2,2) ... Para N = 8 = 2^3, por exemplo, esta frmula d M0 = binom(5,2) = 10 e, de fato, 8 = 1 * 1 * 8 = 1 * 2 * 4 = 1 * 4 * 2 = 1 * 8 * 1 = 2 * 1 * 4 = 2 * 2 * 2 = 2 * 4 * 1 = 4 * 1 * 2 = 4 * 2 * 1 = 8 * 1 * 1 Para resolver o problema original precisamos contar dentre estas solues aquelas que tem simetrias especiais, ou seja, aquelas para as quais: (a) N1 = N2 (b) N1 = N3 (c) N2 = N3 (d) N1 = N2 = N3 A resposta para os itens (a), (b) e (c) claramente a mesma, chamemos de M1; chamemos a resposta para o item (d) de M2. Observe que as solues contadas em (d) so tambm contadas em (a), (b) e (c). O item (a) corresponde a solues de a = 2 a1 + a3 b = 2 b1 + b3 c = 2 c1 + c3 d = 2 d1 + d3 ... N1 = N2 = 2^a1 3^b1 5^c1 7^d1 ... N3 = 2^a3 3^b3 5^c3 7^d3 ... N = N1 N2 N3 O nmero de solues naturais da equao a = 2 a1 + a3 claramente floor(1 + (a/2)) (aqui floor(x) o maior inteiro menor ou igual a x). Assim M1 = floor(1 + (a/2)) floor(1 + (b/2)) floor(1 + (c/2)) floor(1 + (d/2)) ... Para N = 2^3, esta frmula d M1 = 2, o que est correto: 8 = 1 * 1 * 8 = 2 * 2 * 2 Finalmente, M2 claramente 1 se N um cubo e 0 caso contrrio. Temos assim M0 - 3 M1 + 2 M2 solues com os trs Ni diferentes e portanto (M0 - 3 M1 + 2 M2)/6 solues correspondentes na interpretao original. Temos ainda M1 - M2 solues com N1 = N2 != N3 que correspondem a (M1 - M2)/2 solues na interpretao original. E finalmente temos M2 solues com N1 = N2 = N3 em qualquer interpretao. Ou seja, a resposta desejada : ((M0 - 3 M1 + 2 M2)/6) + ((M1 - M2)/2) + M2 e isto resolve o problema. O problema pode ser resolvido pela mesma tcnica para decomposies em qualquer nmero dado de fatores (aqui 3) mas vai ficando mais complicado bem rpido. []s, N.
fatoracao ou N como produto de tres fatores
Sauda,c~oes,
Escrevi para o prof. Rousseau a respeito deste
problema e ele me respondeu o seguinte:
Dear Luis:
I don't know of a simple formula for the problem that you posed.
Even when N = p^k is a prime power, the problem is not that trivial.
In that case f(N) is the number of solutions of k = a_1 + a_2 + a_3
where a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq 0. By generating functions
or otherwise, one can show that the number of such solutions
is {(k+3)^2/12}. where {x} denotes the integer nearest x.
Clearly f(N) only depends on the exponents in the prime factorization
of N. Of course, the problem becomes much simpler if order is
taken into account, i.e. the factorizations 1 \cdot 1 \cdot 2,
1 \cdot 2 \cdot 1, and 2 \cdot 1 \cdot 1 are counted as distinct.
Cecil
===
\geq 'e como TeX representa =
\cdot 'e como TeX representa o ponto da multiplica,c~ao
Esclarecimento quanto `a fun,c~ao {(k+3)^2/12}.
k=1 {16/12}={1,...}=1
k=2 {25/12}={2,08333...}=2
k=6 {81/12}={6,75}=7
Logo para N primo e suas pot^encias o problema est'a
resolvido.
E levando em conta a ordem dos fatores, como resolver o problema?
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 5 de Maro de 2001 12:32
Assunto: Re: fatoracao ( correcao )
Estou corrigindo a mensagem abaixo
From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: fatoracao
Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47
Ola Josimat e
demais Colegas da Lista.
A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu
interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao
estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega
chegou truncada ...
Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero
natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero
como um produto de tres fatores. E isso ?
O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e
irrelevante ...
Se for assim :
1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente
para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que
a unidade a quantidade exata de tres fatores ?
Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES
QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ...
2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se
procura ?
Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares
parece
ser impraticavel ... Para ver isso, note que
A) se N for primo entao:
"N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto
1 (um) para um numero primo.
B) se N for um quadrado perfeito:
Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se
decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores
seria :
AQUI :
T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1
O CERTO E:
T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1
A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma
logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do
problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E
NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL.
Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o
problema
bem mais simples, talvez trivial.
A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica
de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo
que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios
eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma
ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em
todas
as comunicacoes cientificas ...
"Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !"
Renne Descartes
Um Abraco Josimat
Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
2,0249,05032001
From: "josimat" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: "OBM" [EMAIL PROTECTED]
Subject: fatoracao
Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300
De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres
numeros naturais?
Exemplo:
O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas):
1 x 1 x 8
1 x 2 x 4
2 x 2 x 2
[]s Josimar
_
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Re: fatoracao ( correcao )
Estou corrigindo a mensagem abaixo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: fatoracao Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47 Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : AQUI : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 O CERTO E: T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: fatoracao ( correcao )
Olah Paulo e demais amigos da lista! Na tentativa de dirimir duvidas acerca do enunciado do problema, descrevo abaixo como tudo comecou. O que o problema pede eh uma formula, um algoritmo, uma simpatia ou uma oracao que forneca o numero de modos de escrever um natural como produto de tres naturais. O problema surgiu quando um amigo me pediu para resolver o classico problema: Dois homens estavam conversando num bar, quando um virou para o outro e disse: Tenho tres filhas, a soma de suas idades eh igual ao numero da casa em frente e o produto eh 36. Posso determinar as idades de suas filhas apenas com esses dados? Nao. Dar-lhe-ei um dado fundamental: minha filha mais velha toca piano. Determine as idades das filhas e o numero da casa em frente. Quando da resolucao, escrevi todas as 8 possibilidades de se obter produto 36, com tres numeros naturais: 1 x 1 x 36; 1 x 2 x 18; 1 x 3 x 12; 1 x 4 x 9; 1 x 6 x 6; 2 x 2 x 9; 2 x 3 x 6; 3 x 3 x 4. Eu lhe disse que a as idades seguramente seriam inteiras, jah que a soma e o produto eram inteiros. Entao, ele me perguntou se havia uma maneira de se saber o numero de modos de se escrever um natural por meio do produto de tres naturais. Eu lhe respondi que iria pensar. Depois de examinar alguns casos cheguei (seguindo unicamente meu coracao) a uma conjectura, cuja falside foi verificada pelo Prof. Morgado, apesar de ter funcionado bem para uma grande quantidade de casos. []s, JOSIMAR -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 5 de Maro de 2001 10:38 Assunto: Re: fatoracao ( correcao ) Estou corrigindo a mensagem abaixo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: fatoracao Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47 Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : AQUI : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 O CERTO E: T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: fatoracao ( correcao )
O problema j foi debatido na lista h anos atrs. Foi proposto pelo colega Lucas Mocelim e resolvido pelo Sr. meu pai, sendo que eu passei a resposta lista. No falava de bomios. A discusso era entre Scrates e Plato. E o mais velho, segundo Scrates, era homosexual (tal como ele, ouso dizer). Bem, enfim... bons e velhos tempos. Os problemas geralmente eram mais acessveis... mas isso j foi fogo para muitos desentendimentos e brigas nessa lsita. Um grande abrao, Benjamin Hinrichs josimat wrote: Olah Paulo e demais amigos da lista! Na tentativa de dirimir duvidas acerca do enunciado do problema, descrevo abaixo como tudo comecou. O que o problema pede eh uma formula, um algoritmo, uma simpatia ou uma oracao que forneca o numero de modos de escrever um natural como produto de tres naturais. O problema surgiu quando um amigo me pediu para resolver o classico problema: Dois homens estavam conversando num bar, quando um virou para o outro e disse: Tenho tres filhas, a soma de suas idades eh igual ao numero da casa em frente e o produto eh 36. Posso determinar as idades de suas filhas apenas com esses dados? Nao. Dar-lhe-ei um dado fundamental: minha filha mais velha toca piano. Determine as idades das filhas e o numero da casa em frente. Quando da resolucao, escrevi todas as 8 possibilidades de se obter produto 36, com tres numeros naturais: 1 x 1 x 36; 1 x 2 x 18; 1 x 3 x 12; 1 x 4 x 9; 1 x 6 x 6; 2 x 2 x 9; 2 x 3 x 6; 3 x 3 x 4. Eu lhe disse que a as idades seguramente seriam inteiras, jah que a soma e o produto eram inteiros. Entao, ele me perguntou se havia uma maneira de se saber o numero de modos de se escrever um natural por meio do produto de tres naturais. Eu lhe respondi que iria pensar. Depois de examinar alguns casos cheguei (seguindo unicamente meu coracao) a uma conjectura, cuja falside foi verificada pelo Prof. Morgado, apesar de ter funcionado bem para uma grande quantidade de casos. []s, JOSIMAR -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 5 de Maro de 2001 10:38 Assunto: Re: fatoracao ( correcao ) Estou corrigindo a mensagem abaixo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: fatoracao Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47 Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : AQUI : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 O CERTO E: T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26
fatoracao
De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar
Re: fatoracao
Bem depois detentar bastante, cheguei a uma resposta (não sei se está certa...) queficou em função da decomposição em fatores primos do número. Testei alguns valores eparece dar certo...Abaixonão coloquei o desenvolvimento, apenas o valor a que cheguei para resposta. OBS: comb(n,p) = combinação de n, p a p [x] = menor inteiro maior ou igual a x Considerei a decomposição em fatores primos de n, n = 2^a1 . 3^a2 . 5^a3 . ... .pn^an (pn é o maior primo que divide n)e defini uma função F(x)N - N x -(3.[(x+1)/2]+comb(x+2,2)) / 6 se x 3.k , k natural e x -(3.[(x+1)/2]+comb(x+2,2) + 2) / 6 se x= 3.k , k natural Achei então, que o número M de maneiras em que podemos escrever um natural n como produto de 3 naturais é M = F(a1) + F(a2) +F(a3) +...+ F(an)ou M = Somatório ( F(ai) ) i:1-n Ex: n = 1 = 1^1; M = F(1) = 1 n = 2= 2^1; M = F(1) = 1 n =3= 3^1; M = F(1) = 1 n = 4= 2^2; M = F(2) = 1 n =5= 5^1; M = F(1) = 1 n = 6 = 2^1.3^1; M = F(1) +F(1) = 1 + 1 = 2 n =7= 7^1; M = F(1) = 1 n = 8 = 2^3 ; M = F(3) = 3 n = 24 = 2^3 . 3 M = F(3) + F(1) = 3 + 1 = 4 Está certo ??? Era essa a resposta esperada??? Abraço, André - Original Message - From: josimat To: OBM Sent: Sunday, March 04, 2001 12:26 PM Subject: fatoracao De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar
Re: fatoracao
Opa! Eu mesmo já descobri que está errado! Para 24 achei M=4 mas na verdade devia ser M=6 (1,1,24 ; 1,2,12 ; 1,3,8 ; 1,4,6 ; 2,2,6; e 2,3,4). Desculpa... Abraço, André - Original Message - From: André Amiune To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 05, 2001 2:05 AM Subject: Re: fatoracao Bem depois detentar bastante, cheguei a uma resposta (não sei se está certa...) queficou em função da decomposição em fatores primos do número. Testei alguns valores eparece dar certo...Abaixonão coloquei o desenvolvimento, apenas o valor a que cheguei para resposta. OBS: comb(n,p) = combinação de n, p a p [x] = menor inteiro maior ou igual a x Considerei a decomposição em fatores primos de n, n = 2^a1 . 3^a2 . 5^a3 . ... .pn^an (pn é o maior primo que divide n)e defini uma função F(x)N - N x -(3.[(x+1)/2]+comb(x+2,2)) / 6 se x 3.k , k natural e x -(3.[(x+1)/2]+comb(x+2,2) + 2) / 6 se x= 3.k , k natural Achei então, que o número M de maneiras em que podemos escrever um natural n como produto de 3 naturais é M = F(a1) + F(a2) +F(a3) +...+ F(an)ou M = Somatório ( F(ai) ) i:1-n Ex: n = 1 = 1^1; M = F(1) = 1 n = 2= 2^1; M = F(1) = 1 n =3= 3^1; M = F(1) = 1 n = 4= 2^2; M = F(2) = 1 n =5= 5^1; M = F(1) = 1 n = 6 = 2^1.3^1; M = F(1) +F(1) = 1 + 1 = 2 n =7= 7^1; M = F(1) = 1 n = 8 = 2^3 ; M = F(3) = 3 n = 24 = 2^3 . 3 M = F(3) + F(1) = 3 + 1 = 4 Está certo ??? Era essa a resposta esperada??? Abraço, André - Original Message - From: josimat To: OBM Sent: Sunday, March 04, 2001 12:26 PM Subject: fatoracao De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar
Re: fatoracao
Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
