Â
Olá, pessoal!Sendo m e k inteiros não negativos e n um inteiro maior que 1, de modo que 2^m  e 5^k sejam, respectivamente, a maior potência de 2 e a maior potência de 5 que dividem o fatorial de n, como provar que m > k?Abraços do Ennius.
 --
Esta mensagem foi verificada pelo sistema
) Todo elemento x pertencente a K possui um simétrico -x pertencente a K, tal
que x + (-x) = 0
Usando-se somente esses axiomas, pode-se provar que x = -x se, e somente se, x
= 0?
Abraços do Ennius.
___
--
Esta mensagem
.
Abraços do Ennius!
_
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
absurdo. Portanto: q é positivo ou nulo. Abraços do Ennius!_  De: brped...@hotmail.com Enviada: Sábado, 12 de Julho de 2014 17:53 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Quociente da divisão euclidiana Colegas da lista, Sendo m e n
ão inteiros positivos; a>1, m>n)Abraços do Ennius.  --
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Caros Colegas,
Como obter, pela divisão de polinômios, o quociente e o resto da divisão de a^m
- 1 por a^n - 1?
(a, m e n são inteiros positivos; a>1, n>m)
Abraços do Ennius.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se
Desculpem-me o equívoco. Faço a correção.
Teorema:
O resto da divisão euclidiana de a^m - 1 por a^n - 1 é a^r - 1, sendo r o resto
da divisão euclidiana de m por n.
(a, m e n são inteiros positivos; a>1, m>=n )
Abraços do Ennius!
De: enn...@bol.com.br
E
Olá, pessoal!
Aproveitando as recentes questões, proponho a demonstração do seguinte teorema:
"O resto da divisão euclidiana de a^m - 1 por a^n - 1 é o mesmo resto da
divisão euclidiana de m por n."
(a, m e n são inteiros positivos; a>1 e m>=n)
Agradeço a atenção de vocês.
A
Caros Colegas,
Dados os números reais x e y, parece-me que "subtrair x de y" significa obter
"y - x".
Já vi, entretanto, quem diga que significa "x - y ".
Gostaria de saber o que vocês pensam a respeito.
Desde já, muito obrigado.
Um abraço do Ennius!
___
Caros Colegas,
Sendo x um número complexo qualquer e n um número inteiro positivo, como provar
que x^n = 0 se, e somente se, x = 0?
Abraços do Ennius!
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar
Faltou indicar que q>=1, pois n>= 5^k.  Fiz a correção abaixo.
De: enn...@bol.com.brEnviada: Quinta-feira, 17 de Abril de 2014 20:42Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] quociente de n/(2^k) > quociente de n/(5^k)Como 5^k > 2^k, o quociente da divisão euclidiana de n por 5^k (chamarei de
Como 5^k > 2^k, o quociente da divisão euclidiana de n por 5^k (chamarei de q)
é menor ou igual ao quociente da divisão euclidiana de n por 2^k (chamarei de
Q).
Vamos escrever:
n = q.(5^k) + r , onde r é o resto da divisão de n por 5^k.
n= Q.(2^k)+ R, onde R é o resto da divisão de n por 2^k.
V
Caros Colegas,
Pode-se demonstrar por indução sobre n (somente sobre n) que o produto de n
inteiros consecutivos quaisquer é múltiplo do fatorial de n?
Até agora não consegui nenhuma demonstração assim.
Agradeço-lhes a habitual gentileza.
Abraços do Ennius Lima
O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise Combinatória.
Na verdade, pode-se provar que a afirmação é válida, sendo p um inteiro maior
ou igual a zero, e n um inteiro qualquer.
Abraços do Ennius!
_
De
Caros Colegas,
Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do
fatorial de p?
(n e p são naturais maiores do que 1.)
Desde já, agradeço-lhes a atenção.
Abraços do Ennius Lima!
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
sso formalmente.
Desde já, muito obrigado.
Ennius Lima
___
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Caros Colegas,Seria possÃvel calcular quantas soluções inteiras não negativas tem a equação 2x + 3y = 500, sem resolver a equação?Desde já, muito obrigado.Ennius Lima___ Â
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
ac
resposta da questão é 50401.
Abraços do Ennius!
__
De: ralp...@gmail.com
Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 11:16
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais
Isso mostra que sao 201
A resolução que enviei através do Pedro Chaves, pois meu e-mail estava tendo
problemas, parece que está equivocada.
Pode algum colega me ajudar?
Grato.
Ennius Lima
De: brped...@hotmail.com
Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 01:54
Para: obm-l
Caros Colegas,
Quantas soluções naturais tem a equação diofantina x + 2y + 5z = 1000?
(Incluo o zero entre os números naturais)
Desde já, agradeço-lhes a atenção.
Ennius Lima
__-
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
Caros Colegas,
Gostaria de obter uma demonstração, bem detalhada se possível, do teorema
abaixo.
Teorema:
Se a série a_1 + a_2 + ... + a_n + ... é convergente,
então lim a_n = 0
Desde já, muito obrigado.
Ennius Lima
--
Esta mensagem foi
or", na
definição de limite de uma sequência?
Abraços do Ennius
___
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entra
Como podemos provar que a sequência com termo geral a_n = 1 - 1/(n+1) converge para 1?(Obs.: Usar diretamente a definição de limite de uma sequência.)Ennius Lima___Â
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo
Caros Colegas,
Como podemos provar que são equivalentes as afirmações "x tende a mais
infinito" e "x + r tende a mais infinito"? ( x é uma variável real, r é uma
constante real.)
Feliz Anovo Novo para todos!
Ennius Lima
termo desta nova série for diferente de zero, pode-se concluir ainda,
que sua soma será maior do que zero.
Essas conclusões resultam imediatamente da definição de série convergente.
Abraços do Ennius!
De: Pedro Chaves < brped...@hotmail.com >
Enviada: Quarta
Na verdade, eu quis dizer 2,344999...
Creio que falta algo na demonstração dada pelo Pedro José, a quem muito
agradeço.
Gostaria de um exame melhor da questão, se possível for.
Abraços do Ennius!
De: Pedro José < petroc...@gmail.com >
Enviada: Quinta
Caros Colegas,
Como provar que 2,345 = 2,345... = 2,34999... ?
Desde já, muitíssimo grato!
Ennius Lima
__
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo
Caros Colegas,
Como provar que uma sequência crescente limitada converge para seu supremo?
Abraços!
Ennius Lima
_
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo
Caros Colegas,
Como provar o teorema abaixo?
Desde já, muito grato.
Ennius Lima
Teorema:
Quando se insere, em qualquer ordem, um ou mais termos (números reais) a uma
série de números reais obtém-se:
--- uma série divergente, se a série inicial é divergente;
--- uma série
Caros Colegas,
Sendo a, b, m e n inteiros positivos tais que a^(1/m) e b^(1/n) são
irracionais, como podemos provar que a soma a^(1/m) + b^(1/n) também é
irracional?
Abraços do Ennius!
__
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
Caros Colegas,
Parece-me que a expressão "série infinita" é redundante, pois, a meu ver, não tem nenhum significado matemático a expressão "série finita".  Basta, a meu ver, escrever "série".Vocês concordam?Abraços do Ennius Lima!
Caros Colegas,Como provar que |x^n| = |x|^n , sendo x um número real qualquer e n um inteiro positivo?Abraços do Ennius__
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Caros Colegas,
Indico por r(x) a raiz quadrada do inteiro positivo x.
Mostrar que r(n+2) - r(n+1) < r(n).
Abraços do Ennius Lima!
___
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de per
Caros Colegas,
Como provar que a igualdade x^n = y^n implica |x| = |y|, quando x e y são
números reais quaisquer e n é um inteiro positivo?
Abraços do Ennius Lima!
___
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se
dias.
Â
Em 27 de junho de 2013 20:30, ennius <MailScanner detectou uma possível tentativa de fraude de ".." MailScanner detectou uma possível tentativa de fraude de ".." enn...@bol.com.br> escreveu:
Caros Colegas,  Embora as questões abaixo já tenham sido abordada
uais; não sendo
todos iguais, o produto não é máximo."
Abraços do Ennius!
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
Caros Colegas,
Sendo x e y números inteiros, como provar que a igualdade x.y = 1 implica
|x| = |y| = 1 ?
Desde já, muito obrigado.
Ennius Lima
-
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo
Colegas da Lista,
Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras,
além de x = 4 e y = 2?
--
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Colegas da Lista:
Seja q o quociente da divisão euclidiana de D por d (D e d são inteiros
positivos, e D é maior ou igual a d).
Como provar que q é positivo?
Abraços do Ennius.
___
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
Caros Colegas,
Pode-se demonstrar que qualquer linha que vá do ponto A ao ponto B, não sendo o
segmento de reta AB, é menor que esse segmento?
Ou esse fato é, necessariamente, um axioma?
Abraços do Ennius Lima!
=
Instru
Caros Colegas,
Sendo x e y números inteiros, como provar que a igualdade x.y=0 implica x=0 ou
y=0 ?
Gostaria de uma solução no âmbito da teoria dos números, isto é: no universo
dos números inteiros.
Abraços do Ennius Lima
Queridos Colegas,
Sendo a e b números inteiros, como podemos provar que se a equação
x^2 + ax + b = 0 possui uma raiz inteira, então ela divide b.
Um grande abraço do Ennius Lima
Caros Colegas,
Sendo a_1, a_2, ... , a_n números inteiros, não todos nulos, e a_k um inteiro
qualquer, como provar que o mdc (a_1, a_2, ..., a_n, a_k) = mdc ( mdc(a_1, a_2,
..., a_n), a_k)?
Abraços do Ennius Lima
Colegas da lista,
Como podemos demonstrar que o mdc de dois ou mais números inteiros (não todos
nulos) pode ser representado como combinação linear (usando-se somente
inteiros) desses números?
Desde já, muito obrigado.
Ennius Lima
Caros Amigos ,
Como poderemos provar as duas afirmações abaixo?
1) O mdc de dois números ímpares consecutivos é 1.
2) O mdc de dois números pares consecutivos é 2.
Abraços do Ennius Lima
Queridos colegas,
Quantas vezes aparece o algarismo 0 (zero), quando escrevemos todos os números
naturais de 1 a 10^n (exclusive)? ( n é natural diferente de zero.)
Obs.: Desconsiderar números com zero inicial (07, 058, por exemplo).
Abraços do Ennius Lima
Caros Colegas,
Na base 7, em quantos zeros termina o produto 1 x 2 x 3 ... x 66? (Os fatores
estão na base 7.)
Abraços do Ennius
__
=
Instru��es
Creio que a correção é desnecessária. Não consegui ainda, contudo, resolver a
questão.
Abraços!
Ennius Lima
_
Em 26/10/2012 20:55, Pedro Chaves < brped...@hotmail.com > escreveu:
Caros colegas,
Trago a seguinte q
2 ?
(Na verdade, temos agora outra versão do Postulado.)
Abraços do Ennius Lima!
__
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a
Caros Colegas,
Sendo A, B e I matrizes quadradas de ordem n (I é matriz identidade), como
provar que a igualdade AB = I implica BA = I ?
Abraços do Ennius
divisão de n por D.Abraços do Ennius._
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm
de n por D.
Abraços do Ennius.
_
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Caros colegas,
Sabendo-se que é nulo o determinante da matriz M (dada abaixo), cujos elementos
são números reais, mostrar que sua primeira linha é combinação linear das
outras linhas.
abc
M =def
ghi
Abraços do Ennius
Caros Colegas,
Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação x1 + x2 + ... + x10 = 100?
Abraços!
Ennius Lima
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas
Desejo calcular quantos digitos tem o fatorial de 7000, e nao em quantos zeros
termina.
Ennius
_
Em 13/09/2012 10:55, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com >
escreveu:
2012/9/13 ennius :
>
Prezados Colegas,
Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 (ou
de qualquer outro número natural grande)?
Desde já, muito obrigado.
Ennius Lima
=
Instru��es para entrar na lista, sair da
Queridos Colegas
Sabendo-se que k, t e v são números inteiros tais que:
--- k é negativo, t é positivo, v é positivo ou nulo, t é maior que v ---
como podemos mostrar que kt + v é negativo?
Agradeço-lhes a habitual atenção.
Abraços.
Ennius
Prezados amigos da Lista:
Como podemos provar que a raiz n-ésima de (a + b) é menor que soma das raízes
n-ésimas de a e b?
( n é natural diferente de zero, a e b são números reais positivos.)
Abraços!
Ennius Lima
=
Instru
Caros Amigos,
Na sucessão dos números primos (positivos), qual é o milésimo termo?
Existe fórmula para o cálculo direto?
Abraços do Ennius Lima.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http
Caros Colegas,
Qual o melhor procedimento para calcular (sem usar programas de computador)
quantos dígitos tem o fatorial de um número natural grande (5000, por exemplo)?
Abraços do Ennius Lima.
=
Instru��es para entrar
Amigos da Lista,
Gostaria de obter uma resolução, se possível for, da questão abaixo.
Abraços do Ennius!
QUESTÃO:
Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, e que não podem ser escritos
como potências de mesma base e expoente inteiro, mostrar que a equação
exponencial b^x = a não possui
Amigos da Lista,
Gostaria de obter uma resolução, se possível for, da questão abaixo.
Abraços do Ennius!
QUESTÃO:
Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, e que não podem ser escritos
como potências de mesma base e expoente inteiro, mostrar que a equação
exponencial b^x = a não possui
Caros Colegas,
Peço-lhes uma prova, se possível for, da propriedade abaixo.
Propriedade: A média harmônica e a média geométrica, de n números reais
positivos dados, são iguais somente se os n números forem todos iguais.
Agradeço-lhes muitíssimo desde já.
Ennius Lima
Caros Colegas,
Pode-se provar , sem recorrer às propriedades da multiplicação, que a igualdade
x = -x implica x=0? (Estamos no corpo dos números reais.)
Abraços do Ennius!
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
Caros Colegas,
Dados os números primos positivos p e q, com phttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Caros Colegas,
Como podemos provar que a parte inteira de n/(2^k) é maior que a parte inteira
de n/(5^k),
para todo inteiro n>1 e n maior ou igual a 2^k? (k é inteiro positivo.)
Abraços do Ennius.
=
Instru��es para ent
Caros Colegas,Sabemos que 2^4 = 4^2 e (-2)^(-4) = (-4)^(-2). Minha dúvida: Existem outros pares (x,y) de inteiros disntintos que satisfazem a igualdade x^y = y^x?Abraços do Ennius.
=
Instruções para entrar na lista, sair
Caros Colegas, Gostaria muito de obter uma demonstração do teorema abaixo.Teorema:Seja M uma matriz quadrada de ordem n>1. Se o determinante de M é nulo, então M possui alguma fila que seja combinação linear de suas filas paralelas.Abraços!Ennius L
Olá, amigos!
Caso alguém tenha paciência, gostaria que fizesse uma demonstração do teorema
abaixo.
Teorema:
Seja M uma matriz quadrada de ordem n>1. Se o determinante de M é nulo, então M
possui alguma fila que seja combinação linear de filas paralelas.
Abraços!
Ennius L
Caro Torres,à exatamente a formalização que desejo obter.Um abraço!Ennius
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
termo
central da sequência obtida é a raiz quadrada de n. ---
Meu abraço a todos!!!
Ennius Lima
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
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