>>"el carcelero le da UN nombre". De lo cual deducimos que solo uno de ellos (B y C)
>se salva y el otro es ejecutado, por lo
cual A tambien queda exento de la ejecucion. En ese caso las probabilidades a
posteriori de ejecucion quedarian para nosotros (Pa, Pb, Pc) = (0 , 1/2, 1/2) y para A
(Pa, Pb, Pc) = (0 , 0, 1) ó (0, 1, 0) ¡¡Lo que se le puede sacar a un carcelero!!<<
Not exactly ;-) pq A podría ser ejecutado por más q tenga información privilegiada, no?
En cualquier caso como prometí daría la solución a decir verdad conozco dos
demostraciones aparentemente rigurosas pero contradictorias entre sí!
(a) De acuerdo con la primera las probabilidades después de la información del
carcelero son (Pa, Pb, Pc) = (1/2 , 0, 1/2)
(b) De acuerdo con la primera las probabilidades después de la información del
carcelero son (Pa, Pb, Pc) = (1/3 , 0, 2/3)
Personalmente la solución 1 (q es la mía) tenía la gracia de que tanto antes de la
información como después de la misma la distribución de probabilidad compatible con
las informaciones disponibles pero que daba la máxima incertidumbre (y por tanto era
la menos afectada posible por la información del carcelero).
Sin embargo despues de estudiar la solución 2 (debida a un tal Jaume López) me parece
igualmente buena, evidentemente solo una de las dos es la correcta pero cuál?
[De todas maneras prefiero no proseguir con este tema en este foro pq es claramate
off-topic, si a alguien le interesa en [EMAIL PROTECTED] tb propuese la discusión
y allí sigue prosperando por si a alguien le interesa]
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SOLUCIÓN 1:
1) Llamemos:
suceso C: C será ejecutado al día siguiente
suceso B: B será ejecutado al día siguiente
suceso no-B: B se salva y no será ejecutado
2) Supongamos que el guardián declara que "B no será ejecutado" (= no-B) veamos como
cambian las probabilidades, usando probabilidad condicionada:
P(C/no-B): probabilidad condicionada de C no-B
P(no-B/C): probabilidad condicionada de C no-B
Por un lado tenemos:
P(no-B y C) = P(no-B/C)·P(C)
Y por otro
P(C y no-B) = P(C/no-B)P(no-B)
juntando ambas ecuaciones y despejando P(C/no-B) [q es lo q estamos discutiendo, de
acuerdo con la información suministrada por el carcelero]:
P(C/no-B) = P(no-B/C)·P(C)/P(B) = (1·1/3)/(2/3) = 1/2 es decir que en principio esto
da la razón a todos los que sugierieron que la respuesta correcta era 1/2 y 1/2!
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SOLUCIÓN 2
Vamos ya a por el problema. LLamaré ma, mb y mc a los sucesos muere A, muere B o muere
C. LLamaré, tambien, db y dc a los sucesos "dice que se salva B" y "dice que se salva
"C" respectivamente. Supondremos que el carcelero ha dicho que se salva B (el otro
caso, a partir de este, es trivial). Lo que nos pregunta el problema es p(ma|db),
p(mb|db) y p(mc|db). Para ello nos hace falta saber p(ma) = p(mb) = p(mc) = 1/3 (ya
que, en la probabilidad normal, aun no sabemos la respuesta del carcelero).
Necesitamos también las probabilidades condicionadas "al revés", es decir:
P(db|ma) = 1/2 ya que, en este caso, se salvan B y C, y cada uno tiene iguales
probabilidades de ser mencionado. P(db|mb) = 0 ya que si muere B, el carcelero seguro
q no lo nombra. Por último, P(dc|mb) = 1 ya que si B muere, solo le queda la
posibilidad de decir C. Con estas condiciones, aplicamos trivialmente el teorema de
Bayes.
P(ma|db) = p(db|ma) p(ma) / ( p(db|ma)p(ma) + p(db|mb)p(mb) + p(db|mc)p(mc) )
P(mb|db) = p(db|mb) p(mb) / ( p(db|ma)p(ma) + p(db|mb)p(mb) + p(db|mc)p(mc) )
P(mc|db) = p(db|mc) p(mc) / ( p(db|ma)p(ma) + p(db|mb)p(mb) + p(db|mc)p(mc) )
si substituimos (todos los denominadores son iguales)
P(ma|db) = ( 1/2·1/3 ) / ( 1/2·1/3 + 0·1/3 + 1·1/3 ) = (1/6)/(1/2) = 1/3
P(mb|db) = ( 0·1/3 ) / (1/2) = 0
P(mc|db) = ( 1·1/3) / (1/2) = 2/3
Esta asimetria viene dada por el orden en que hemos conocido las informaciones, ya que
primero hemos conocido una informacion sobre todo el espacio muestral (uno de los tres
morirá) y luego hemos recibido una informacion sobre una parte de este: B se salva.
[Se han eliminado los trozos de este mensaje que no contenían texto]
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