Oi Hermógenes, Em linhas gerais, acho que o ponto é que muitas teorias são também incompletas de uma forma “boring”. Há até mesmo casos em que a sentença indecidível em questão é falsa na interpretação pretendida. Aqui é interessante observar que, na aritmética de Robinson, Q, por exemplo, a sentença falsa ‘∃x (s(x) = x)’ é indecidível.¹ Diria que privar os teoremas da incompletude de seu aspecto semântico, é, de certa forma, desmembrar um de seus aspectos mais fascinantes: não se trata apenas de demonstrar a incompletude, de apresentar uma sentença indecidível; trata-se de construir uma sentença verdadeira mas indemonstrável, provando assim que em tais teorias da aritmética “razoáveis”, como PA, nunca poderão cumprir a ambição de capturar o conjunto de sentenças verdadeiras de sua interpretação pretendida. Abraços, Bruno ¹Construa uma interpretação não-standard cujo domínio compreenda os números naturais e um único elemento intruso, c (digamos, Julío César). Agora defina a função sucessor da seguinte forma: s’(n)=s(n) para n ∈ ℕ, onde ‘s’ denota a função sucessor usual, e, sobretudo, s’(c)=c. Além disso, defina: m +’ n = m + n para todo m,n ∈ ℕ, onde ‘+’ denota a adição usual, mas n +’ c = c +’ n = c. Similarmente, estipulemos o seguinte (além da definição usual da multiplicação para números naturais): n ×’ c = c ×’ n = 0 se n for 0; n ×’ c = c ×’ n = c caso contrário, para n ∈ ℕ. Essa interpretação respeita todos os axiomas de Q, contudo a sentença ‘∃x (s(x) = x’ é verdadeira, visto que s’(c)=c.
-- Bruno Bentzen https://sites.google.com/site/bbentzena/ On Monday, July 3, 2017 at 8:37:42 PM UTC+8, Hermógenes Oliveira wrote: > > Rodrigo Freire <freir...@gmail.com <javascript:>> escreveu: > > > > > [...] > > > > O vocabulário da teoria de grupos é exclusivamente matemático, e os > > axiomas são tomados como determinantes exaustivos das noções > > matemáticas envolvidas (operação de grupo), muito mais que no caso > > da aritmética. > > Não sei se compreendi muito bem a analogia. > > Normalmente, a noção de grupo é definida como *uma* operação sob um > conjunto de elementos que satisfazem determinados axiomas. Porém, > diversas operações *distintas* satisfazem os axiomas de grupo. Em que > sentido poderíamos dizer que os axiomas determinam exaustivamente a > operação? > > Em contraste, você conseguiria ver como os axiomas de AP determinariam > exaustivamente (ou pelo menos, possuem a pretensão de determinar > exaustivamente) a noção de número natural? > > > -- > Hermógenes Oliveira > > -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br. Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/9d73231d-c6f5-4812-842c-e3d47fc91c1b%40dimap.ufrn.br.
