Caros membros da lista de lógica,
Escrevemos a respeito do artigo recentemente (5 de dezembro) publicado
nesta lista: "Twist-Valued Models for Three-Valued Paraconsistent Set
Theory", de Carnielli e Coniglio. Em razão do tema, tão próximo ao nosso
trabalho, sentimos a necessidade de apontar alguns aspectos importantes,
para que as afirmações não induzam em erro os pesquisadores que trabalham
nessa área.
Em primeiro lugar, a validade nas estruturas Twisted, que são as novas
estruturas introduzidas no artigo, é booleana e, portanto, o primeiro
resultado principal Teorema 8.21 (como todos os lemas precedentes) é uma
consequência direta (e não uma extensão) do resultado bem conhecido de que
as estruturas a valores booleanos validam todos os axiomas ZFC (veja o
livro do Bell "Set Theory"). A razão é que
(i) a validade é definida apenas em função do primeiro componente do
produto (definição 4.7),
(ii) as operações "meet", "join", "arrow", e "~" da Twist-algebra são as
mesmas da álgebra booleana, no primeiro componente,
(iii) o conjunto de valores designados de álgebra booleana twisted é tomado
como {(1,a) : a é qualquer elemento da álgebra}.
o que leva ao fato de que as álgebras booleanas twisted com as operações
mencionadas em (ii) e o conjunto de valores designados mencionado em (iii)
não são nada além de álgebras booleanas. Portanto, as estruturas twisted
não oferecem novos modelos para ZFC.
O segundo resultado principal do artigo Theorem 9.4 e Remark 9.5 afirma que
a estrutura twisted para PS_3 (introduzida como reasonable implication
algebra, necessária para produzir modelos de teoria de conjuntos no artigo
"Generalized algebra-valued models of set theory", de Loewe e Tarafder) é
um modelo de todos os axiomas de ZFC. Embora não haja provas desta
afirmação no artigo, é fácil mostrar que isto é falso. De fato, há
instâncias (do esquema) de separação que não são válidas no modelo a
valores na álgebra PS_3.
Atenciosamente,
Sourav Tarafder
Giorgio Venturi
Il giorno gio 5 dic 2019 alle ore 19:54 Joao Marcos <botoc...@gmail.com> ha
scritto:
> Coincidentemente (?), o Sourav Tarafder fez uma excelente exposição do
> trabalho precursor dele sobre o tema, esta tarde, na USP:
>
> 1st Workshop "Studies in Mathematical Workshop"
> https://sites.google.com/site/studiesinmathematicallogic/programa
>
> Vocês têm sorte de poder dialogar diretamente com ele sobre o assunto,
> dado que ele é atualmente Professor Visitante aí mesmo na UNICAMP,
> trabalhando com o Giorgio Venturi!
>
> Abraços,
> JM
>
>
> On Thu, Dec 5, 2019, 12:36 Walter Carnielli <walter.carnie...@gmail.com>
> wrote:
>
>> Caros colegas:
>>
>> Em vista do interesse do assunto, julgamos apropriado divulgar,
>> abraços,
>> Walter
>> =========================
>> Twist-Valued Models for Three-valued Paraconsistent Set Theory
>> W. Carnielli and M. E. Coniglio
>> https://arxiv.org/pdf/1911.11833.pdf
>>
>> Light abstract:
>>
>> Paraconsistent set theory (PST) is the theoretical move to maintain
>> the freedom of defining sets, while stripping the theory of
>> unnecessary principles, so as to avoid triviality -- a disastrous
>> consequences of contradictions involving sets in ZF. A hard problem
>> is to find good models for PST.
>>
>> B. Löwe and S. Tarafder proposed in 2015 a class of algebras based on
>> a certain kind of implication which satisfy several axioms of ZF. From
>> this class, they found a specific 3-valued model called PS3 which
>> satisfies all the axioms of ZF, and can be expanded with a
>> paraconsistent negation *, thus obtaining a paraconsistent model of
>> ZF. The logic (PS3 ,*) coincides (up to the language) with da Costa
>> and D'Ottaviano logic J3, a 3-valued paraconsistent logic that have
>> been proposed independently in the literature by several authors and
>> with different motivations such as CluNs, LFI1 and MPT.
>>
>> We propose in this paper a family of algebraic models of ZFC based on
>> LPT0, another linguistic variant of J3 introduced by us in 2016. The
>> semantics of LPT0, as well as of its first-order version QLPT0, is
>> given by twist structures defined over Boolean algebras.
>>
>> Twist-valued models are natural generalizations of the Boolean-valued
>> models of set theory independently introduced by Scott, Solovay and
>> Vopěnka.
>>
>> Our twist-valued models are adapted to provide a class of twist-valued
>> models for (PS3,*), thus generalizing Löwe and Tarafder's results. It is
>> shown that they are in fact models of ZFC (not only of ZF).
>> ====================================
>>
>> Walter Carnielli
>> https://waltercarnielli.com/
>>
>> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
>> Department of Philosophy
>> State University of Campinas –UNICAMP
>> 13083-859 Campinas -SP, Brazil
>>
>> CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379
>>
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