> > Sobre o terceiro-excluído e o teorema de Cantor-Schroder-Bernstein: > > "Sobre Cantor e o terceiro excluído, ainda, vale notar que este artigo > postado no arXiv em 2019 (mesmo ano em que foi publicado o livro do John L > Bell sobre o contínuo e o infinitesimal?), e atualizado pela última vez há > apenas dois meses, afirma que o teorema de Cantor-[Schröder]-Bernstein não > pode ser demonstrado sem apelo ao Princípio do Terceiro Excluído: > https://arxiv.org/abs/1904.09193 > Isto tem um impacto importante, claro, na caracterização da ordem usual > entre cardinais transfinitos." > > Muito interessante... O que eu sabia a respeito desse teorema é que ele > não pode ser demonstrado por métodos puramente categoriais, pelo cálculo > categorial (usando apenas a álgebra da composição de morfismos). Para > demonstrá-lo precisamos lançar mão de ferramentas especiais disponíveis na > categoria dos conjuntos e funções. A primeira vez que tomei ciência disso, > achei que era uma falha do poder descritivo da teoria de conjuntos > categorial, mas o William Lawvere não interpreta dessa maneira. Ele > simplesmente diz que, como o cálculo categorial é insuficiente, temos um > indício de que devem existir categorias em que a afirmação não é um > teorema, ou seja, é mais uma propriedade especial da categoria de conjuntos > e funções (como o axioma de escolha, que é dito ser equivalente ao > princípio do terceiro excluído): >
Não sei exatamente como seria formulada esta equivalência entre o Axioma da Escolha e o Princípio do Terceiro Excluído, mas no > > [image: Cantor-Bernstein.jpg] > > (Conceptual Mathematics, segunda edição, p. 106.) > > Tem muito assunto para um volume que realmente possa figurar na estante de > lógica sobre dialética e lei do terceiro-excluído (mas acho que não terá > nenhuma conexão direta com antropologia ou linguística, ou biologia e > sociologia...) :-) > > Abraços, > > Márcio > > > Em sex., 21 de out. de 2022 às 13:08, Joao Marcos <botoc...@gmail.com> > escreveu: > >> > Essa é fácil. Vai para a estante de sociologia, apesar do título. >> > >> > Mas o assunto evocado no título e que nos remete à lógica, dialética e >> princípio do terceiro excluído (talvez ausente neste livro), não está de >> modo algum liquidado e um trabalho sério sobre o tema poderia figurar na >> estante de lógica... >> >> Obrigado pela excelente e provocadora resposta, Márcio. >> >> No prefácio, que dá para ler online a partir do link que eu mandei >> antes, o autor ---que é bacharel em Direito, mestre em Economia, >> doutor em Filosofia, e professor de Ciência Política da USP--- fala de >> uma visita que recebeu do Chomsky (quando se encontrava em uma >> campanha política na qual "perdeu para um psicopata"), e diz que o >> livro em tela foi inicialmente pensado como uma crítica do modelo >> econômico brasileiro calcado no patrimonialismo e na escravidão, mas >> acabou virando um pequeno tratado transitando da biologia para a >> antropologia, e desta para a linguística, informado pela filosofia, >> pela economia e pela sociologia. (É fascinante, independentemente >> disto, ler sobre a formação humana e atuação política do autor, neste >> mesmo prefácio.) >> >> > O John Lane Bell (não confundir com John Stewart Bell) conclui sua >> análise sobre o problema da variação contínua com a seguinte observação: >> > >> > "Marx and Engels, and their Marxist successors, thought that the >> analysis of variation would require the creation of a dialectical logic or >> a “logic of contradiction”. But traditional logic survived in mathematics, >> largely as a result of the replacement of variation by stasis at the hands >> of the great nineteenth century arithmetizers Weierstrass, Dedekind and >> Cantor. As we have seen, Cantor replaced the concept of a varying quantity >> by that of a completed, static domain of variation which may be regarded as >> an ensemble of atomic individuals—thus, like the Pythagoreans, replacing >> the continuous by the discrete. He also banished inf i nitesimals and the >> idea of geometric objects as being generated by points or lines in motion. >> > >> > But as we know, certain mathematicians and philosophers raised >> objections to the idea of “discretizing” or “arithmetizing” the linear >> continuum. Brentano, for example, rejected the idea that a true continuum >> can be completely analyzed into a >> > collection of discrete points, no matter how many of them there might >> be. >> > >> > It was only with Brouwer, for whom the phenomenon of temporal variation >> was fundamental, that logic became an issue within mathematics. Rejecting >> the >> > Cantorian account of the continuum as purely discrete, Brouwer identif >> i es points on the line as entities “in the process of becoming” in a >> temporal, even subjective sense, that is, as embodying variation generating >> a potential inf i nity. He rejects the law of excluded middle for such >> objects, a move which led, as we have seen, to a new form of logic, >> intuitionistic logic. It is a remarkable fact that this logic is compatible >> with a very general concept of variation, which embraces all forms of >> (objective) continuous variation, and which in particular allows the use of >> (continuous) infinitesimals. While its roots lie in the subjective, >> intuitionistic logic is thus revealed to have an objective character. >> > >> > The application of intuitionistic logic to resolve the contradiction >> engendered by variation shows that it was not in the end necessary—as >> claimed by dialectical philosophy—to reject the law of noncontradiction, >> but rather its dual the >> > law of excluded middle." >> > >> > (Apêndice E do livro "The Continuous, the Discrete >> > and the Infinitesimal in Philosophy and Mathematics".) >> > >> > Essa opinião é interessante, especialmente porque ele parece ter sido o >> orientador de doutorado do Graham Priest. >> >> Sobre Cantor e o terceiro excluído, ainda, vale notar que este artigo >> postado no arXiv em 2019 (mesmo ano em que foi publicado o livro do >> John L Bell sobre o contínuo e o infinitesimal?), e atualizado pela >> última vez há apenas dois meses, afirma que o teorema de >> Cantor-[Schröder]-Bernstein não pode ser demonstrado sem apelo ao >> Princípio do Terceiro Excluído: >> https://arxiv.org/abs/1904.09193 >> Isto tem um impacto importante, claro, na caracterização da ordem >> usual entre cardinais transfinitos. >> >> Fiquei curioso agora em saber o que mais John L Bell teria a dizer >> sobre concepções potencialistas em Filosofia da Matemática, uma vez >> que se permita que o construtivismo contribua à matemática com sua >> abordagem sensível à variância temporal e se possa recuperar com isso >> alguns aspectos da dialética hegeliana / marxiana. >> >> > Aí onde ele deixou o problema, parece que temos um bom ponto de partida >> para uma pesquisa séria sobre o assunto. >> >> Sem dúvida! >> >> Abraços, >> Joao Marcos >> >> -- >> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ >> > -- http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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