Mais um ponto pra conversa de voces: >https://arxiv.org/abs/1904.09193Cantor-Bernstein implies Excluded Middle Pierre Pradic <https://arxiv.org/search/math?searchtype=author&query=Pradic%2C+P>, Chad E. Brown <https://arxiv.org/search/math?searchtype=author&query=Brown%2C+C+E>
We prove in constructive logic that the statement of the Cantor-Bernstein theorem implies excluded middle. This establishes that the Cantor-Bernstein theorem can only be proven assuming the full power of classical logic. The key ingredient is a theorem of Martín Escardó stating that quantification over a particular subset of the Cantor space 2ℕ, the so-called one-point compactification of ℕ, preserves decidable predicates. abracos logicos, Valeria On Sat, Oct 22, 2022 at 8:46 AM Cassiano Terra Rodrigues < cassiano.te...@gmail.com> wrote: > Camaradas, essa discussão é realmente muito interessante. > Com relação ao livro do Haddad, não o li e não posso me pronunciar, mas > conferi o texto disponibilizado online, mencionado pelo JM. Não é a > primeira vez q Haddad escreve mesclando experiência pessoal com política. > Por melhor escritor ele seja, e por mais q seja nele o meu voto > institucional para o governo do estado, sugiro a leitura de Bourdieu, "A > ilusão biográfica". > Com relação à discussão matemática, propriamente, não tenho competência > para discutir os desenvolvimentos da matemática no século XX. Se escrevo, > então, é na tentativa de não parecer demasiado arbitrário para lembrar > apenas uma perspectiva q estudei um pouco e, penso eu, pode ajudar a pensar > certos aspectos da discussão, uma vez q, como professor de filosofia, não > posso deixar de notar q o labirinto do continuum de Leibniz ainda causa > grandes especulações. > A questão da validade do 3º excluído aparece já na filosofia de C.S. > Peirce. Peirce critica a identificação do conjunto dos números reais com um > genuíno continuum, mas eu não vou entrar nisso aqui, pois não conseguiria > resumir e envolve mais matemática do q eu conheço. Vou direto para a > concepção de continuidade, que CSP entende de duas maneiras, segundo as > suas categorias de primeiridade (relativa a puras possibilidades, o que ele > chama de "vagueness", vagueza), segundidade (relativa a existências reais, > ou fatos brutos, como ele se expressa) e terceiridade (relativa a mediações > semióticas e, por conseguinte, generalidades). CSP afirma que o 3º excluído > não se aplica ao que é geral, ao passo que o princípio de contradição não > se aplica ao que é vago. Vagueza e generalidade são *continua*, no > sentido de que alguma qualidade no *contínuo *de qualidades ou nunca pode > ser identificada com precisão absoluta e, portanto, só pode ser entendida > como uma variação infinitesimalmente pequena do aspecto qualitativo em > questão, ou pode vir a ser identificada, embora nem sempre o seja. > CSP não quer dizer que. para uma proposição *p *, nem tanto *p *como > *não-p *são válidos ou inválidos, ou seja, ele não afirma q vários > valores de verdade são possíveis para uma mesma situação conhecida. Peirce > enfatiza propriedades na lógica de predicados: para todas as propriedades > *p *, nenhum sujeito tem e simultaneamente não tem a propriedade *p * (nem > tanto “S é P” quanto “S não é P”), e assim o princípio da não-contradição > apenas vale para itens (sujeitos, se pensarmos numa proposição categórica) > *explicitamente > definidos. *Mas a vagueza não é exatamente uma propriedade, é o domínio > do q é apenas possível, e possibilidades não podem ser esses itens ou > sujeitos. O estatuto metafísico das possibilidades é assim – e este é um > movimento típico de Peirce – definido por uma interpretação ontológica dos > princípios lógicos. Ontologicamente falando, há possibilidades e, como > tais, possibilidades não excluem as suas contrárias *im*possibilidades. Em > outras palavras, se algum sujeito singular é ou não uma instância de uma > certa possibilidade, isso não pode ser decidido com base na possibilidade > ela mesma - se um sujeito pode ser, esse seu "poder-ser" não exclui o seu > "poder-vir-a-não-ser". O fato de o princípio da não-contradição não valer > refere-se, assim, ao caráter modal das entidades que a categoria de > primeiridade descreve (digamos assim, perdoem-me a expressão). A expressão > lógica dessa situação é que “S pode ser P” e “S pode ser não-P” podem ser > ambas proposições verdadeiras. Assim, tanto “Pode chover amanhã” quanto > “Pode não chover amanhã” são verdadeiras. > A generalidade também é contínua, mas, por outro lado, pode ser > especificada relativamente às suas instâncias particulares em eventos reais > e, por isso, o 3º excluído não vale para ela. Assim como antes, não devemos > entender essa afirmação tendo em mente a formulação do 3º excluído de que > uma proposição *p *pode ser V ou F ou nenhuma das duas coisas. Assim, não > podemos afirmar que proposições referentes a mediações gerais, v.g, "Todos > os prefeitos são políticos", aceitam um terceiro valor de verdade, como > seria o caso se fosse descartado o 3º excluído tal como concebido pela > lógica proposicional mais conhecida atualmente. A ideia de CSP é que, para > todas as propriedades *P, *qualquer sujeito tem propriedade *P *ou não (ou > “S é P” ou “S é não-P”). Mais uma vez, o princípio vale explicitamente > apenas para indivíduos definidos. Dessa forma, dizer que o 3º excluído não > se aplica remete ao estatuto ontológico do tipo de possibilidades que são > gerais e caracterizadas pela terceiridade , ou seja, algo da natureza de um > poder ser – e estes não são os sujeitos exigidos pelo 3º excluído. Aqui, a > expressão lógica é que tanto “S tem que ser P” quanto “S tem que ser não-P” > podem ser falsos (“É necessário chover amanhã” e “Não é necessário chover > amanhã”). E mesmo que ocorra um caso especial, a falha geral do 3º excluído > se deve ao fato de que os objetos singulares do *continuum *de > possibilidades permanecem indeterminados em relação a todos os aspectos > que não são abrangidos pela possibilidade real do *continuum* em questão. > Assim, esses objetos possuem muitos aspectos indeterminados. Disso, CSP > pode concluir: “O geral pode ser definido como aquilo a que o princípio do > terceiro excluído não se aplica. Um triângulo em geral não é isósceles, nem > equilátero; nem é um triângulo em escaleno geral [mas algum triângulo tem > de ser, ele afirma alhures]. O vago pode ser definido como aquilo a que o > princípio de contradição não se aplica. Pois não é falso que um animal (num > sentido vago) seja macho, nem que um animal seja fêmea [mas se não é nem > uma nem outra coisa, só é possível dizer especificando o indivíduo]”. [CP > 5.505]. Outras especificações de continuidades são igualmente possíveis e > indeterminadas (diferentes tipos de triângulos), enquanto no caso de > imprecisões podem aparecer propriedades contraditórias (animais > hermafroditas ou sem gênero). Em outras palavras, relativamente à secundidade, > a categoria dos fatos brutos e da existência determinada, uma existência > real pode ser definida pela validade de ambos os princípios, pois a > individualidade, quando considerada como a determinação completa de todas > as propriedades, deve obedecer a ambos os princípios: é necessário a um > determinado indivíduo possuir a propriedade *p *ou não a possuir (possuir > a sua contraditória *não-p*), mas não ambas: "Embora os princípios de > contradição e 3º excluído possam ser considerados como se constituíssem, > juntos, a definição da relação expressa por 'não', ainda assim, eles também > implicam que tudo o que existe consiste em indivíduais”. [CP 3.612]. Em > resumo, é um ato pragmático de "asserção" q torna possível determinar o que > se fala, e como, e porque é isto e não aquilo etc. > Peirce, no entanto, e sem surpresa alguma, é claro, não aceitava a > determinação absoluta de todas as propriedades como uma definição do modo > existencial dos objetos ou eventos individuais e reais, pois isso tornaria > impossível superar a descontinuidade. Vagueza e generalidade também são > inerentes à existência individual, ainda que de forma “infinitesimal” (por > falta de uma palavra melhor), em contraste com as duas categorias de > possibilidade contínua. É por isso que Peirce mantém uma definição > (platônica, note-se) de existência individual como *reatividade *: “Tudo > o que existe, ex-iste *, isto *é, realmente age sobre outros existentes, > então obtém uma auto-identidade e é definitivamente individual”. [EP II: > 342]. Eu poderia reagir ou ter reagido contra a minha vontade, diz ele em > outro lugar. De acordo com essa definição, portanto, apenas objetos ideais > podem ser absoluta e completamente determinados, e assim a determinação > totalmente completa e absoluta e a submissão aos princípios do 3º excluído > e de contradição só é possível para objetos ou eventos ideais. Poder-se-ia > destacar indivíduos singulares em todas as dimensões da realidade e níveis > do discurso sem impor absolutamente a exigência ontológica da determinação > completa, pois a reatividade é o caráter definidor da *haecceitas *do > indivíduo. Parece q, ao menos isso, estamos vendo bem nos nossos tempos. > Nas histórias da matemática q eu conheço, raramente o nome de C. S. Peirce > é mencionado; às vezes, seu pai, Benjamin Peirce, é lembrado como > descobridor da idempotência, e quase só isso. É compreensível, vez q CSP > era um outsider mesmo enquanto vivo e a narrativa dominante do > desenvolvimento da lógica e da matemática no século XX tornou hegemônica > uma história q inclui Cantor, Frege, Russell-Whitehead, Gödel, ZF em linha > mais ou menos contínua. Ultimamente, as contribuições de CSP têm sido > recuperadas. Eu, particularmente, não acho q se trata apenas de > contribuições potenciais à história da lógica, uma vez q Tarski conhecia > muito bem os trabalhos de CSP (as palestras na UNICAMP mostram isso) e q o > teorema de Löwenheim-Skolem pode ser remontado aos escritos sobre lógica > dos relativos (ver o trabalho de Geraldine Brady). Então, dada essa > digressão, penso q é bastante razoável considerar q sempre é possível > pragmatizar as nossas dicotomias de modo a usar a lógica sem sacrificar as > possibilidades, q sempre existem, mesmo q momentaneamente não consigamos > identificá-las. Mas alguém consegue e isso é o q faz diferença. > Perdoem-me se escrevo demais, tenho essa tendência a ser prolixo, mas é > por receio de errar. > Abraços, > cass. > > > >>> -- > LOGICA-L > Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de > Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> > --- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. > Para ver essa discussão na Web, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/ad37953a-e96e-4599-9fd0-b1c88da2c2aan%40dimap.ufrn.br > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/ad37953a-e96e-4599-9fd0-b1c88da2c2aan%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer> > . > -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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