Hallo allerseits,
Frank Stähr schrieb am 30.03.2009 17:14 Uhr:
Unbedingt. Wer kennt sie nicht, die Normalteiler. Wusstet ihr, dass
eine Untergruppe mit Index 2 immer ein Normalteiler ist? Denkt mal
drüber nach … ;-)
Das kann doch nicht so schwer sein …
Sei also G=(G,∘) eine Gruppe und H⊆G eine Untergruppe von G mit (G:H)=2,
d.h. G/H={iH,jH} Partition von G. Zu zeigen ist: H ist Normalteiler von
G, d.h. ∀g∈G: gHg⁻¹∈H (»beidseitige Schluckeigenschaft«). Beweis: Für
a∈G gilt:
• a∈H: Da H Gruppe, folgt 1∈aH, also H⊆aH. Mit aH⊆H (trivial) folgt
(Rechtsnebenklasse analog) aH=H=Ha.
• a∈G∖H: Dann gilt H⊍aH=G=H⊍Ha, also aH=Ha.
Multiplikation von aH=Ha mit a⁻¹ führt auf die Behauptung.
Viele Grüße,
Dennis-ſ
