Uma dúvida que eu tenho sobre o Teorema de Godel (o segundo): Godel prova que um sistema consistente não pode provar sua própria consistência. Mas, mesmo que provasse, o que adiantaria? Quero dizer, por que o fato de eu provar que o sistema é consistente, implicaria que ele é consistente? (isso não é verdade, pois num sistema inconsistente eu provo tudo, inclusive sua consistência). Isso tem a ver com o teorema da completude (aquele que diz que consequencia semântica é o mesmo que sintática, na lógica de primeira-ordem)? Além disso, não poderia provar a consistência de um sistema na meta-linguagem (assim como o próprio Teorema de Godel foi provado na meta-linguagem)?
>From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel >Date: Mon, 17 Dec 2001 16:41:06 > >Ola Andre, Bruno e >demais colegas desta lista, > >Os conceitos de COMPLETUDE e CONSISTENCIA nao sao antagonicos em si ... > >No seculo XIX e anteriores o conceito de SISTEMA FORMAL ainda nao estava >suficientemente maduro e as tenues formalizacoes que se conheciam e se >tentavam pressupunham a CONSISTENCIA e a COMPLETUDE meramente por um FE mal >formulada ... > >Mas claramente que foi e é um ideal a ser perseguido que todo SISTEMA >FORMAL >construido seja CONSISTENTE e COMPLETO : > >1) Todos querem que as afirmacoes sobre os objetos do sistema sejam >demonstraveis com os recursos de inferencia do proprio sistema ( COMPLETUDE >) >2) Todos querem que nao seja possivel provar uma afirmacao e a sua negacao >( >CONSISTENCIA ) > >Ser simultaneamente CONSISTENTE e COMPLETO, mais que um mero desejo ou >opcao, e uma necessidade de todo SISTEMA FORMAL : ou ele encerra estas duas >qualidades ou ele e inaceitavel. > >Ve-se portanto que CONSISTENCIA e COMPLETUDO nao sao propriedades a priori >antagonicas. Conviverem harmoniosamente e o ideal de Todo Sistema formal ! > >Nos hoje sabemos que sao propriedades antagonicas em todo sistema formal >que >possa a ser parafraseado ou reduzido a Aritmetica. > >Voce entende quando dizemos LIM Xn=A ? Voce dira que SIM ! E vai apresentar >a definicao classica ( dada por Cauchy ) : > >Qualquer que seja epsilon maior que zero, existe N0 tal se N for maior que >N0 entao modulo( Xn - a) e menor que epsilon. > >O que voce fez ? Reduziu ou parafraseou um conceito complicado de analise ( >Limite ) atraves de propriedades sobre os numeros : Aritmetizou a Analise. >E >assim que os Matematicos faziam e se davam por satisfeitos. > >Bertrand Russel foi mais alem. Ele procurou "logicizar" a Aritmetica. Na >cabeca dele as coisas funcionavam mais ou menos assim : Dado que toda a >Matematica pode ser reduzida a Aritmetica, vou reduzir toda a Aritmetica a >Logica e, com isso, mostro que toda a Matematica nao passa de um >desenvolvimento da Logica. Ele publicou tres famosos livros neste sentido. >"Os Principia" da Logica. Foi em cima deste trabalho de Russel que Godel >trabalhou ... > >Godel tinha "bagagem" para pareciar o Sentido Cultural de seu trabalho... > >Godel, Como Penrose e Poincare, alem de Matematico, pertencia tambem ao >"Circulo de Viena" ( Matematicos que se reuniam em Viena e discutiam sobre >a >Filosofia e Historia da Ciencia. Criaram o Positivismo Logico. Rudolf >Carnap, entre outros, era do Grupo. Leia "Os Pensadores - Circulo de Viena >" >) e era amigo de Einstein. Gostava de Fisica e Filosofia. O titulo do >trabalho dele foi mais ou menos assim : "Sobre os Sistema formais do >Principia Matematica e Sistemas Correlatos" > >Godel explicitamente afirma que foi inspirado pelo PARADOXO DE RICHARD. > >O que ele fez, em sintese, foi mostrar que toda afirmacao sobre os numeros >pode ser transfomada em um numero e, a seguir, aplicar uma variante do >Paradoxo de Richard. O Livro de james Newman, "O teorema de Godel", e muito >bom neste sentido. > >Mas o Livro de Newman e de divulgacao e voce apenas entende as coisas mais >ou menos. A melhor referencia (e que te estimulo a consultar ) sobre o >teorema de Godel e outros resultados interessantes estao em "O teorema de >Godel e a Hipotese do Continuo", de uma Fundacao Portuguesa cujo nome nao >me >ocorre agora ( talvez seja Fundacao karlouse Gurbeijhan ou algo parecido ). >Todo os pre-requisitos para entender o Teorema de Godel e os demais >resultados estao no proprio livro. > >Dizem que quando Von Newman soube do resultado de Godel, cancelou tudo que >ia fazer so para estudar o teorema e muitos outros Grandes matematicos da >epoca proclamaram ( como proclamam ) que o resultado foi revolucionario na >mais ampla expressao deste termo. > >Se voce me permite uma opiniao, o resultado de Godel foi mais importante e >revolucionario que a teoria da relatividade e so a Mecanica Quantida pode >rivalizar, em importancia, com ele. Mas isto e apenas uma opiniao ... > >Godel, Einstein, Newton, Descartes, Gauss, Heisemberg, entre uns poucos >outros, sao pessoas nas quais muitas de suas investigacoes ( e portanto de >suas inquietacoes ) se situam nas fronteiras entre a Ciencia e a Filosofia. >Eles sao Matematicos-Filosofos e os seus trabalhos mais importantes "Tocam >Fundo" em nossos valores e pressuposicoes ja arraigadas. > >O Teorema de Godel nao "TOCOU BAGUNCA NA MATEMATICA"... Pelo Contrario, >quando a maioria queria reduzir esta ciencia a um jogo logico de simbolos >sem sentido ( projeto formalista ), ele mostrou que entre o ceu do ideal >formalista e a terra da realidade matematica, havia muito mais aspectos a >serem considerados do que pressupunha a vao filosofia deles. > >Um abraco >Paulo Santa Rita >2,1439,171201 > > > > > > > > > > > > > > >>From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel >>Date: Sat, 15 Dec 2001 00:15:02 -0200 >> >>At 17:56 14/12/01 -0300, you wrote: >>>vc disse sobre as propriedades do sistema formal e >>>sobre a consistencia e a completude.Como vc encara o >>>antagonismo das duas últimas???Vc apenas sabe o que >>>Godel provou ou ENTENDE BEM o que ele demonstrou???è >>>uma coisa de fácil entendimento como 2+2=4,ou ele >>>demonstrou de forma dificil de se entender e vc só >>>memorizou o resultado??Vc está entendendo o que quero >>>dizer??O que quero falar se isso é uma coisa clara >>>,lógica ,que está na cara ,ou um resultado avançado. >> >>Metendo-me na conversa: >> >>Acho que o teorema de Gödel não é difícil de se entender (talvez entender >>bem o papel da "aritmética de Peano" no enunciado seja o mais confuso), >>mas >>a demonstração é bem complicada. >> >>Bruno Leite >> >> >>>--- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > >>>Ola Rogerio e demais >>> > colegas desta lista, >>> > >>> > E importante que se compreenda corretamente o que e >>> > um SISTEMA FORMAL e o >>> > que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal >>> > sistema. Estes sistemas tem, >>> > a grosso modo : >>> > >>> > 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos ) >>> > 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou >>> > postulados ) >>> > >>> > NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA >>> > PROPRIEDADE DITADA POR >>> > UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE >>> > TENHAMOS DELES. Tudo que >>> > se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia >>> > logica dos axiomas e dos >>> > teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se >>> > construir novos objetos em >>> > estrita obediencia as regras de construcao. >>> > >>> > 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for >>> > possivel provar uma afirmacao e >>> > a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar >>> > que "A e B" eu nao >>> > poderei provar que "A e nao B" >>> > >>> > 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as >>> > afirmacoes sobre os objetos puder >>> > ser provada com os recursos de inferencia do proprio >>> > sistema, isto e, nao >>> > pode haver uma propriedade usufruida por alguns >>> > objetos do sistema que seja >>> > indemonstravel com os recursos de inferencia do >>> > sistema. >>> > >>> > Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um >>> > dos objetivos perseguidos >>> > para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando >>> > ele ja esta >>> > suficientemente maduro e ja deu bons resultados. >>> > >>> > A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois >>> > conceitos acima, de >>> > COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para >>> > qualquer sistema formal >>> > que use minimos recursos da Aritmetica, isto e : >>> > >>> > "Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda >>> > afirmacao sobre os objetos >>> > do sistema puderem ser demonstradas com os recursos >>> > de inferencia do >>> > sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer, >>> > nos seremos capazes de >>> > provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro >>> > lado, o sistema formal >>> > for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de >>> > provarmos um teorema e >>> > a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale >>> > dizer, haverao propriedades >>> > validas dos objetos do sistema que nos nao seremos >>> > capazes de provar com os >>> > recursos de inferencia do proprio sistema." >>> > >>> > Nao existe Teorema da Completude na Geometria >>> > Euclidiana. Nao no sentido de >>> > COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que >>> > a geometria euclidiana >>> > seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a >>> > consistencia da Algebra >>> > depende da Aritmetica e a prova da consistencia >>> > desta ultima parece muito >>> > dificil de ser conseguida ... >>> > >>> > Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema >>> > de Godel e algo ruim e >>> > negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de >>> > todos os Matematicos >>> > formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam >>> > o sentido intuitivo que >>> > damos aos objetos matematicos, reduzindo a >>> > Matematica a um jogo logico sem >>> > graca, sem semantica e sem sentido. >>> > >>> > Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao >>> > propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao >>> > de um de seus objetos : sao portanto propriedades do >>> > TODO. Visto por este >>> > angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades ( >>> > consistencia, completude >>> > ) que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera >>> > consideracao das partes >>> > que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A >>> > MERA SOMA DAS PARTES. O >>> > cara formalista pressupoe justamente o contrario. >>> > Ele pensa que conhecendo >>> > bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos >>> > indefinidos ) vai poder explicar >>> > ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na >>> > frente dele. E o SONHO >>> > EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE >>> > EXPLICAM TODO O >>> > UNIVERSO. >>> > >>> > Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA >>> > SEMANTICA, NO FIM, NA >>> > FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como >>> > algo mais que mera >>> > filosofia barata. Se se retirar o sentido das >>> > coisas, as coisa perdem o >>> > sentido. Agora, como articular de forma consistente >>> > e seria este sentido ? >>> > >>> > Todos os danos que estamos causando ao mundo >>> > natural, que vem ha anos >>> > preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam >>> > de nossa ignorancia com >>> > respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal >>> > seria que nos nos >>> > relacionassemos com a natureza respeitando os seus >>> > acontecimentos ou o papel >>> > que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta >>> > linguagem, como sempre, e >>> > a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de >>> > Godel o primeiro passo >>> > neste sentido. >>> > >>> > Um abraco >>> > Paulo Santa Rita >>> > 6,1500,141201 >>> > >>> > >>> > >>> > >From: "Rogerio Fajardo" >>> > <[EMAIL PROTECTED]> >>> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>> > >To: [EMAIL PROTECTED] >>> > >Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel >>> > >Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000 >>> > > >>> > >Olá, >>> > > >>> > > O que diz o teorema da completude da geometria >>> > euclideana? Alguns livros >>> > >chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e >>> > parece que diz que todos os >>> > >modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre >>> > si. Mas isso não >>> > >implica >>> > >que não existe sentenças independentes na geom. >>> > euclideana? E isso não >>> > >contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria >>> > eu posso expressar a >>> > >aritmética)? >>> > > >>> > >Rogério >>> > > >>> > > >>> > >>> >_________________________________________________________________ >>> > >Join the world’s largest e-mail service with MSN >>> > Hotmail. >>> > >http://www.hotmail.com >>> > > >>> > >>> > >>> > sta >>> > >>> > >>>_________________________________________________________________ >>> > O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e >>> > imprimir as suas fotos: >>> > http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx >>> > >>> >>>_______________________________________________________________________________________________ >>>Yahoo! GeoCities >>>Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! >>>GeoCities. 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