Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao.
O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k<1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> > > From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> > > From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> > > > From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> > > > > On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: > > > > > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: > > > > > >Ola pessoal: > > > > > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. > > > > > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. > > > > > >Prove > > > > > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido > > > > > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos." > > > > > > > > > > Vamos definir > > > > > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) > > > > > ou se (5<x<6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6. > > > > > > > > Acho que você não deveria incluir x > 5, você assim está > > > > mudando o problema. > > > > > > > > > > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que > isto > > é > > > > > falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)<5 entre 0 e > 5 > > ou > > > > > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o > > > > > percurso de 6 milhas em 30 minutos. > > > > > > > > ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 > > > > donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. > > > > > > > > > > Está tudo certo? > > > > > > > > Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. > > > > > > > > Um problema mais difícil seria: > > > > pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso > > > > medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido > > > > em exatamente 6 minutos? > > > > > > Ola pessoal e Nicolau! > > > > > > Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. > > > Basta definir > > > f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) > > > > > > Ver que > > > f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 > > > > > > E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) < 5 ou f(x) >5 para todo > > x. > > > > > > Um problema realmente mais dificil seria: > > > pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo > > > exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? > > > > > > A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! > > > > > > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > > > > > > Ola pessoal! > > > > Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a > > dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um > > teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente > me > > vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: > > > > O TEOREMA > > Seja f:[0,1]->[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. > > Seja k (0<k<1) um numero real. > > CORRECAO!!! > ===(0<k<1/2)=== > > Desculpe a confusao! > > > Entao existe (pelo menos) um numero x (0<=x<=1-k) tal que > > f(x) + k = f(x + k). > > > > O ARGUMENTO GEOMETRICO > > Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k < f(x + k) para todo x. O que > > isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + > k > > eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce > > exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a > reta > > afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta > acima > > dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas > convence! > > Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa > > de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. > > > > Um abraco! > > > > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
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