Esta não é, ao meu ver, uma demonstração formal do fato, mas dá uma boa idéia de porque funciona. Mais formalmente, precisasmos entender o que significa o número 0,9999999... . Trata-se de uma série geométrica de termo geral an = 9 . 10^(-n), de razão q = 0,1 e termo inicial a1=0,9. Como 0 < q < 1 , a série converge para o valor ( prova-se por indução, por exemplo ) S = a1/ ( 1 - q) = 0,9 / [1-(0,1)] = 1 . Logo, 0,999999... , como disse o Matemático Japonês, nada mais é do que uma utra notação para o número 1 , em termos de série. (Frederico Reis Brito - Mestre e doutorando em Matemática)
>From: "Eduardo Grasser" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: [obm-l] 0,99999... vs 1 >Date: Mon, 15 Apr 2002 16:18:41 -0300 > >A melhor demonstração é a mais simples. > >Chama-se x = 0,99999... >Assim, é fácil ver que 10x = 9,99999... >ao subtrairmos um número de outro, temos 10x - x = 9 >9x = 9 >x = 1 > >Ninguém ainda conseguiu me dar uma demonstração formal matemática que >disminta essa. > >Eduardo Grasser - Professor de Matemática >Campinas SP > >----- Original Message ----- >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Monday, April 15, 2002 3:36 PM >Subject: [obm-l] 0,99999... vs 1 > > > > Há pouco mais de um mês circulou neste forum a pergunta "0,9999... é >igual >a > > ou diferente de 1?" > > > > Houve demonstrações de ambas as hipóteses, houve quem apostou que se >fosse > > diferente (ou igual, não me lembro) saltaria do alto de um edifício, ao >que > > outrem sugeriu que o edifício fosse bastante alto (ou suficientemente >baixo, > > idem). > > > > Eu lancei o desafio em um outro forum, por onde circulam os bostejos dos > > engenheiros e alunos de uma determinada escola de engenharia, de onde >sou > > originário. > > > > Lá, também, houve demonstrações das mais simplórias às mais bodosas de >ambas > > as hipóteses. Se usasse aquela ferramenta que os economistas tanto >gostam - > > média - chegaria à conclusão que 0,999... é ao mesmo tempo igual a e > > diferente de 1, o que é um absurdo em termos matemáticos. Embora não o >seja > > se olharmos a questão sob o ponto de vista da física quântica (vide o > > Paradoxo do Gato de Schröedinguer). > > > > Consultei um professor de matemática da Universidade de Kyoto, com quem >me > > correspondo, e ele me respondeu que 0,999... e 1 são _notações_ >diferentes > > de um mesmo número. De onde concluí que ele quis dizer - sem ter dito - >que > > 0,999... é igual 1. > > > > Estou de volta à origem. > > > > Alguma autoridade matemática (definida como tendo titulação acadêmica em > > matemática) poderia dizer se - e demonstrar que - 0,999... é igual a ou > > diferente de 1? > > > > JF > > > > > > > > >========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > >========================================================================= > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= _________________________________________________________________ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
